广东省深圳市南山区第二外国语学校2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷

广东省深圳市南山区第二外国语学校2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．计算7-1的结果是（）A．7 B．-7 C．17 D．-2．下列事件中，属于随机事件的是（）A．同位角相等B．两个负数的和是正数C．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°D．如果a，b为实数，那么a+b=b+a3．截至2025年3月，我国已全面掌握14纳米芯片量产技术，7纳米工艺进入风险试产阶段.已知14纳米=0.000000014米，则数据0.000000014用科学记数法表示为（）A．1.4×103 B．14×10−8 C．4．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中∠C=∠DBE=90°，∠A=45°，∠E=30°.若AB∥DE，则∠CBD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性6．下列算式不能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2a-b） B．（4y+x）（x-4y）C．（-m+3n）（-m-3n） D．（-3a+b）（b-3a）7．如图，点D在BC上，AC=AE，且∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE的度数为（）A．60° B．70° C．74° D．75°8．如图，已知点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线.若四边形ACEF的面积为15，AB=6，则在△ABC中，AB边上的高为（）A．4 B．5 C．8 D．10二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9．若xm=2，xn=3，则xm+n=.10．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表；投篮次数1100100010000投中次数9899059012频率0.900.890.910.90则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是（精确到0.1）.11．光的逆向反射又称再归反射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜.夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），其原理如图所示，且∠1=∠3，∠2=∠4.若∠1=41°，则∠2的度数为.12．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，角平分线AD，CE相交于点O，AE=25，CD=30，AC=.13．如图，在△ABC中，点D为AB边中点，DE⊥AC，垂足为E.以BC为斜边作等腰Rt△BFC，使得直角顶点F恰好在DE上.若AC=20，DF=4，则AECE的值为三、计算题：本大题共1小题，共18分。14．计算：（1）a2（2）7a（a+b）；（3）9992（用整式的乘法公式简便计算）；（4）（3x-2y）（x+2y）；（5）先化简，再求值：[（x+2y）2-（5x+y）（5x-y）-5y2]÷（-2x），其中x=1，y=-3.四、解答题：本题共6小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．16．已知：如图，AD∥BC，∠B+∠BCD=180°，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E.求证：∠CFE=∠E.请将下面的证明过程补充完整：证明：∵AD∥BC（已知），∴∠2=∠E.∵AE平分∠BAD（已知），∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠E=∠1.又∵∠B+∠BCD=180°（已知），∴AB∥.∴∠1=（两直线平行，同位角相等）.∴∠CFE=∠E（等量代换）.17．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图.（1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近；（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？（3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为3518．如图，点B，F，C，E在直线l上，AC∥DF，AB∥DE，AB=DE.（1）求证：BF=CE；（2）若∠A=100°，∠FED=30°，求∠BFD的度数.19．对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）=a2-bc+d2.（1）计算（1，2）☆（3，-2）的结果为；（2）对于数x，y，若x+y=8，（x，x）☆（y，y）=46.①求xy的值；②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF.若AB=2x，AD=x，EF=2y，FG=y，求图中阴影部分的面积.20．问题探究（1）如图①，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4.点P为直线l上的动点，则AP+BP的最小值为；（2）如图②，已知△ABC边AC上有一点D，且满足AD=CB，过点A作AE∥BC，并截取AE=AC，连接ED，求证：ED=AB；问题解决（3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏.等腰三角形空地为如图③所示的△ABC，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，点F分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即BE+AF最小.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=55°，CD⊥AB，垂足为点D.那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当BE+AF最小时，∠AFD的度数；若不能，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】C【知识点】负整数指数幂【解析】【解答】解：由负整数指数幂的意义可知，7故答案为：C【分析】本题考查负整数指数幂的意义，底数不为0时，a−1=1a，所以2．【答案】A【知识点】等式的基本性质；三角形内角和定理；事件的分类；同位角的概念；正数、负数的概念与分类【解析】【解答】解：A.同位角相等，在没有“两直线平行”条件时，可能成立，也可能不成立，属于随机事件；B.两个负数的和一定是负数，不可能是正数，是不可能事件；C.在ΔABC中，∠A+∠B+∠C=180D.若a,b为实数，则故答案为：A【分析】本题考查随机事件､必然事件和不可能事件的判断。随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。”同位角相等”只有在两直线平行时一定成立，题中没有给出平行条件，因此属于随机事件。3．【答案】D【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数【解析】【解答】解：0故答案为：D【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法。科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤a<10。把小数点向右移动8位得到1.4，所以指数为4．【答案】B【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质【解析】【解答】解：∵∠C=9∴∠ABC=18∵∠DBE=9∴∠BDE=6∵AB∥DE∴∠ABD=∠BDE=6∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=6故答案为：B【分析】本题考查三角形内角和､平行线性质及角的差。先利用直角三角形内角和求出∠ABC和∠BDE，再由AB∥DE得到同位角相等，最后用大角减小角求出∠CBD。5．【答案】D【知识点】三角形的稳定性【解析】【解答】解：人字梯加上拉杆后，整体结构形成三角形，而三角形具有稳定性。

故答案为：D

【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用。人字梯两侧与中间拉杆组成三角形结构，三角形的形状不容易发生改变，因此可以增强梯子的稳定性。6．【答案】D【知识点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：A.(2a+b)(2a−bB.(4y+xC.(−m+3nD.(−3a+b故答案为：D【分析】本题考查平方差公式的结构。平方差公式为(a+b7．【答案】D【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：∵∠ADC是ΔABD的外角，∴∠ADC=∠1+∠B，又∵∠ADC=∠ADE+∠3，且∠1=∠3，∴∠ADE=∠B。∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。在ΔABC与ΔADE中，∠BAC=∠DAE∴ΔABC≅ΔADE（AAS），∴AB=AD，即ΔABD为等腰三角形。∵∠1=30∴∠B=∠ADB=1∴∠ADE=∠B=75故答案为：D【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质。解题时首先利用三角形外角的性质，结合∠1=∠3的条件，推导出∠ADE与∠B相等；再通过角的和差运算，由∠1=∠2推出∠BAC=∠DAE。结合已知的AC=AE，利用AAS判定定理证明△ABC与△ADE全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=AD，即△ABD为等腰三角形。最后根据等腰三角形两底角相等的性质，结合顶角∠1=30°，计算出底角∠B的度数，再由全等三角形对应角相等，得到∠ADE的度数，对应选项D。8．【答案】C【知识点】三角形的面积；三角形的中线【解析】【解答】解：设S∵AF为ΔABD的中线，∴∴∵D是AC的中点，∴∴又∵E是BC的中点，∴∴设AB边上的高为h，则1即1解得h=8故答案为：C【分析】本题考查三角形中线与面积的关系。中线把三角形分成面积相等的两个三角形，因此可以根据中点和中线逐步确定四边形ACEF与整个ΔABC的面积关系，再利用三角形面积公式求AB边上的高。9．【答案】6【知识点】同底数幂的乘法【解析】【解答】解：∵∴故答案为：6【分析】本题考查同底数幂的乘法。由xm⋅x10．【答案】0.9【知识点】利用频率估计概率【解析】【解答】解：由表格可知，随着投篮次数增加，投中频率稳定在0.90左右。精确到0.1，投中的概率约为0.9。

故答案为：0.9

【分析】本题考查用频率估计概率。当试验次数足够多时，频率会在某个数值附近稳定，这个稳定值可作为概率的估计值。表中投中频率基本稳定在0.90附近，所以概率约为0.9。11．【答案】49°【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵∠1=∠3又∵a∥b∴∠1+∠3+∠2+∠4=18∴2∠1+2∠2=18∴∠1+∠2=9∵∠1=4∴∠2=9故答案为：4【分析】本题考查平行线中的角度关系以及等量代换。根据反射角相等可知对应角相等，再结合入射光线与反射光线平行，得到相关角度和为180°，从而求出12．【答案】55【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：在AC上截取CF=CD，连接OF，∵AD、CE分别是ΔABC的角平分线，∴∠OCF=∠OCD，∠OAF=∠OAE，且∠ACE+∠CAD=1∴∠COD=∠ACE+∠CAD=60在ΔOCF与ΔOCD中，CF=CD∴ΔOCF≅ΔOCD（SAS），∴∠COF=∠COD=60∵∠AOC=180∴∠AOF=∠AOC−∠COF=120∴∠AOF=∠AOE=60在ΔAOF与ΔAOE中，∠OAF=∠OAE∴ΔAOF≅ΔAOE（ASA），∴AF=AE=25。又∵CF=CD=30，∴AC=AF+CF=25+30=55。故答案为：55【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，属于截长补短类几何模型。解题时采用截长法，在AC边上截取CF=CD，构造全等三角形。首先根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理，计算出∠COD的度数为60°；再利用SAS判定△OCF与△OCD全等，得到∠COF=60°，进而推出∠AOF也为60°，与∠AOE相等。然后利用ASA判定△AOF与△AOE全等，得到AF=AE。最后将AC拆分为AF与CF两段，分别代入AE与CD的长度，求和即可得到AC的总长度。13．【答案】3【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：过点B作BG⊥ED，交ED的延长线于点G，则∠G=90∵D是AB的中点，∴BD=DA。∵DE⊥AC，∴∠DEA=∠DEC=90∴∠G=∠DEA。在ΔBDG与ΔADE中，∠BDG=∠ADE∴ΔBDG≅ΔADE（AAS），∴DG=DE，BG=AE。∵ΔBFC是等腰直角三角形，∠BFC=90°，∴∵∠BFG+∠CFE=90°，∴∠BFG=∠FCE（同角的余角相等）。在ΔBFG与ΔFCE中，∠G=∠FEC=9∴ΔBFG≅ΔFCE（AAS），∴FG=CE，BG=FE，∴BG=FE=AE。设AE=m，则FE=m，CE=AC−AE=20−m，FG=CE=20−m。∵DE=DF+FE=4+m，DG=FG−DF=20−m−4，且DG=DE，∴20−m−4=4+m，解得m=6，即AE=6，CE=20−6=14，∴AECE故答案为：3【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及中点的性质，需要通过作辅助线构造全等三角形求解。解题时首先作BG垂直于ED的延长线，利用中点条件与对顶角相等，通过AAS证明△BDG与△ADE全等，得到DG=DE、BG=AE。再结合等腰直角三角形BF=FC的性质，利用同角的余角相等推导出∠BFG=∠FCE，通过AAS证明△BFG与△FCE全等，得到FG=CE、BG=FE，进而推出AE与FE长度相等。接着设AE为m，用含m的式子表示出CE、DE、DG的长度，根据DG=DE列方程求解得到m的值，最后计算AE与CE的比值即可。14．【答案】（1）a（2）7a（3）99（4）(（5）解：原式当x=1，y=−3时，原式=12×1−2×【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】(1)本题考查同底数幂的乘法和除法。同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以两个部分都化为a6(2)本题考查单项式乘多项式。将7a分别乘括号内的a和b，再把所得结果相加。(3)本题考查完全平方公式的简便运算。把999看作1000−1，利用(a−b(4)本题考查多项式乘多项式。将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项。(5)本题考查整式化简求值。先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后除以−2x得到最简式12x−2y，再代入x=1，y=−3计算。15．【答案】解：如图所示，直线CF即为所求的直线．【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角【解析】【分析】本题考查尺规作平行线。利用“作一个角等于已知角”的方法，使∠ACF=∠AOB，因为这两个角是一组同位角，所以根据“同位角相等，两直线平行”可得CF∥OB。16．【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；同旁内角互补，两直线平行；∠CFE【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：∵AD‖BC(已知)，∴∠2=∠E(两直线平行，内错角相等)。∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1=∠2(角平分线定义)。∴∠E=∠1(等量代换)。又∵∠B+∠BCD=180∴AB‖CD(同旁内角互补，两直线平行)。∴∠1=∠CFE(两直线平行，同位角相等)。∴∠CFE=∠E(等量代换)。【分析】本题考查平行线的判定与性质､角平分线定义和等量代换。先由AD‖BC得到一组内错角相等，再由角平分线得到∠1=∠2，从而推出∠E=∠1。接着由同旁内角互补判定AB‖CD，再利用同位角相等得到∠1=∠CFE，最终完成证明。17．【答案】（1）0.50（2）20×0.5=10（个），20-10=10（个）；答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得：10+x解得：x=5；答：需要往盒子里再放入5个白球．【知识点】分式方程的实际应用；频数（率）分布折线图；利用频率估计概率；概率公式【解析】【解答】解：由频率统计图可知，随着摸球次数增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.50附近。故答案为：0.50【分析】(1)本题考查用频率估计概率。大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，由图可知稳定值约为0.50；(2)根据摸到白球的概率约为0.50，用总球数乘白球概率即可估算白球个数，再用总数减去白球个数求出黑球个数；(3)本题考查概率与方程的结合。放入x个白球后，白球数变为10+x，总数变为20+x，根据目标概率3518．【答案】（1）解：∵AC∥DF∴∠ACB=∠DFE∵AB∥DE∴∠ABC=∠DEF在ΔABC和ΔDEF中∠ACB=∠DFE∴ΔABC≅ΔDEF∴BC=EF∵B,∴BC−FC=EF−FC即BF=CE（2）解：由(1)可知，ΔABC≅ΔDEF，∴∠D=∠A=10又∵∠FED=3∴∠BFD=∠D+∠FED=10【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等【解析】【分析】(1)本题考查平行线性质和三角形全等。由两组平行线得到两组对应角相等，再结合已知边AB=DE，可AAS证明ΔABC≅ΔDEF，从而得到BC=EF。由于点B，F，C，E共线，两边同时减去公共线段FC后可得BF=CE；(2)本题考查全等三角形的对应角相等和三角形外角性质。由全等可得∠D=∠A=100°，而∠BFD是19．【答案】（1）-1（2）解：①由题意得：(∵x+y=8∴∴∴64−3xy=46∴3xy=18∴xy=6②由图可知，阴影部分面积为x∵x+y=8∴∴阴影部分面积为52−【知识点】完全平方公式的几何背景【解析】【解答】（1）解：(故答案为：−1【分析】(1)本题考查新定义运算。按照题中规定，把a=1，b=2，c=3，d=−2代入a2(2)①本题考查新定义运算和完全平方公式变形。先把(x,x)∗(y,y)按定义转化为②本题考查整式表示几何面积。根据图形把阴影部分面积表示为x2+y2−1220．【答案】（1）4（2）证明：∵AE∥BC，

∴∠EAD＝∠C，

在△EAD与△ACB中：

AD=CB∠EAD=∠CAE=AC，

∴△EAD≌△ACB（SAS），

（3）解：如图，以FC为边，C为顶点向下作∠FCG＝∠BAE，并使CG＝AB，连接FG，

∵AE＝CF，

∴△ABE≌△CGF（SAS），

∴BE