2025-2026学年山西省晋城市高平一中实验学校等校高三下册考前自测数学试题 含答案

/数学考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（）A.4 B.5 C.2 D.34.若函数则（）A. B. C. D.5.某中学一个数学课外兴趣小组经常在周末利用AI技术构建现实生活中的数学模型，对学过的各章节知识进行复习．若该兴趣小组构建了一个神经网络方面的损失函数模型，并随机取a，b的数据如下表，则为整数的概率为（）的数据取值为6，8，9b的数据取值为12，13，14，15，18A. B. C. D.6.古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（）A. B. C. D.7.已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（）A. B. C.5 D.98.如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（）A. B.15 C.10 D.410.已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（）A. B.C.当时，为奇函数 D.11.已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某新能源汽车工厂随机抽取10名检测工人，对他们某天检测的新能源汽车车辆数进行统计，统计数据如下表，则这10名工人检测车辆数的第60百分位数是______．检测车辆数1011121415检测工人数2313113.已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______．14.已知在钝角中，角A，B，C的对边分别为．，则角的取值范围为______；若，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知公比不为1的等比数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点．（1）求证：平面PCD．（2）求直线PB与平面EFD所成角的正弦值．17.某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件．（1）求；（2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望．18.如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若，求实数的值；（3）设，若点满足，求点的轨迹方程．19.已知函数为常数，曲线在点，处的切线的斜率为．（1）求函数的解析式．（2）证明：当时，导函数恰有一个极大值．（3）证明：函数在区间上恰有两个零点．

数学考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，故A正确.2.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：．3.已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（）A.4 B.5 C.2 D.3答案：B解析：解答过程：设点的横坐标为，可知，准线为，所以，解得．4.若函数则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，.5.某中学一个数学课外兴趣小组经常在周末利用AI技术构建现实生活中的数学模型，对学过的各章节知识进行复习．若该兴趣小组构建了一个神经网络方面的损失函数模型，并随机取a，b的数据如下表，则为整数的概率为（）的数据取值为6，8，9b的数据取值为12，13，14，15，18A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据古典概型的概率公式，结合分类讨论思想求解即可.解答过程：因为为整数，所以当时，可取12，13，14，15，18；当时，可取12，15，18；当时，可取12，14，18；所以为整数的概率为．6.古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：如图，连接，正方形ABCD的边长为，，，解得，圆的面积为．7.已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（）A. B. C.5 D.9答案：D解析：思路：先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可.解答过程：，，∵当时，，则，，若存在，使得成立，只需，解得，结合选项，实数的取值不可能是9．8.如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由可得点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧，分析可得点到BD的距离的最小值为，进而可得面积的最小值为，再根据棱锥的体积公式结合题设可求得，进而求解即可.解答过程：由，则点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧，如图，连接AC交BD于点四边形ABCD为正方形，为AC的中点，且，．设点到BD的距离为，则，面积的最小值为．平面，解得，设长方体的外接球的半径为，，长方体的外接球的表面积为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（）A. B.15 C.10 D.4答案：CD解析：解答过程：由圆，圆心为，半径为，∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2，∴只需点到直线的距离小于或等于2，，解得，结合选项，实数的取值可以为10，4.10.已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（）A. B.C.当时，为奇函数 D.答案：ACD解析：思路：对于A，利用放缩法判断即可；对于B，求出，进一步判断即可；对于C，根据函数的奇偶性及对数运算判断即可；对于D，结合复合函数的导数得到，进一步判断即可.解答过程：对于A，，即，A项正确；对于B，的定义域为，，所以，B项错误；对于C，的定义域为，当时，，，所以，所以为奇函数，C项正确；对于D，设，，，即，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，D项正确．11.已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.当时，答案：BCD解析：思路：根据与的关系结合题设可得，进而求解判断即可；由可得，进而结合可得，即可判断；对于C，由，结合二次函数的性质求解判断即可；对于D，易得当时，，且，进而利用累加法求解判断即可.解答过程：对于A，，，而，，故A错误；对于B，，而，则，即，，故B正确；对于C，，而，当时，，故C正确；对于D，，，当时，，且，，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某新能源汽车工厂随机抽取10名检测工人，对他们某天检测的新能源汽车车辆数进行统计，统计数据如下表，则这10名工人检测车辆数的第60百分位数是______．检测车辆数1011121415检测工人数23131答案：13解析：解答过程：该10名工人检测车辆数从小到大排序为10，10，11，11，11，12，14，14，14，15，，故从小到大，选取第6个数和第7个数的平均数作为第60百分位数，即．13.已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______．答案：4解析：解答过程：联立，得，则，解得，且，所以，解得．14.已知在钝角中，角A，B，C的对边分别为．，则角的取值范围为______；若，则______．答案：①.②.##解析：思路：利用正、余弦定理和诱导公式对式子进行化简.解答过程：∵在钝角中，，，，或（舍去），，，，由，可得．，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知公比不为1的等比数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等比数列的性质，和题目已知条件，列出方程，求出公比，进而写出通项公式；（2）根据等比数列前项和公式，求出，再构造数列，进而分组求出.（1）设等比数列的公比为，且，，，由等比性质可知，因为，所以，.（2），．16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点．（1）求证：平面PCD．（2）求直线PB与平面EFD所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理，作辅助线，构造平行四边形，证明结果即可；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量和法向量，进而根据线面角的向量方法求出结果.（1）如图，取PD的中点，连接，分别是BC和PA的中点，，且，为平行四边形，．平面平面平面PCD．（2）如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，所以．设平面EFD的法向量为，则，令，则．设直线PB与平面EFD所成的角为，，∴直线PB与平面EFD所成角的正弦值为．17.某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件．（1）求；（2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望．答案：（1）（2）解析：012思路：（1）根据题意结合组合知识求解即可；（2）由题意，的可能取值为0，1，2，利用全概率公式分别求出每一个对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可.（1）由题意，．（2）记架甲种无人机试飞合格为事件，则，．由题意，的可能取值为0，1，2，∴，，，的分布列为012．18.如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若，求实数的值；（3）设，若点满足，求点的轨迹方程．答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）根据题设求出，进而求解即可；（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可；（3）设，由可得，由可得，进而得到，结合求出，进而代值求得，进而求解即可.（1）双曲线的焦距为，则，，解得，双曲线的标准方程为．（2）设，联立，得，且，则，，，整理得，解得或．（3）设，即，，，∵，，点的轨迹方程为．19.已知函数为常数，曲线在点，处的切线的斜率为．（1）求函数的解析式．（2）证明：当时，导函数恰有一个极大值．（3）证明：函数在区间上恰有两个零点．答案：（1）（2），设则，其中恒成立，设，则．当时，，当，即时，，函数在上单调递减，又，，使得，即，∴对于，有．当时，，，函数在上单调递增；当时，