2025-2026学年山西长治市上党区第一中学校高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列两个变量中,具有相关关系的是A.正方体的体积棱长B.匀速行驶的汽车的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力2.，，则（）A. B. C. D.3.已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（）A.10 B.20 C.30 D.404.某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（）A.120分，75 B.120分，20 C.115分，65 D.115分，1405.如图，正方体中，的中点为N，则异面直线与CN所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（）A. B. C. D.7.下列结论正确的是（）A.如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1B.命题的“，”否定是“，”C.一组数据从小到大排列为4、6、7、8、10、m、16、18、19、20，若该组数据的60%分位数是14，则D.残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低8.已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（）A. B.展开式中的常数项为45C.含的项的系数为 D.展开式中的有理项有6项10.某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（）A.该学生的眼睛近视的概率为0.69B.该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8C.如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3D.如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为11.已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（）A. B.为偶函数 C. D.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则__________.13.如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－则点M的轨迹方程为________．14.一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.随着新冠肺炎疫情的阴霾逐渐消散，国内旅游行业迎来了发展机遇．飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气，航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况．某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系x1020304050y13457（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若某航班飞机晚点，试估算旅客的投诉次数．参考公式：．16.人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：男教师女教师总计优秀201535非优秀10515总计302050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？（2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82817.某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起.（1）从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率；（2）从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望.18.已知函数，其中.（1）当时，求在处的切线；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围.19.为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立.（1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值；（2）若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望；（3）在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明：

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列两个变量中,具有相关关系的是A.正方体的体积棱长B.匀速行驶的汽车的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力答案：C解析：解答过程：对于A，正方体体积与棱长是确定的函数关系，A不是；对于B，匀速行驶的汽车的行驶距离与时间是确定的函数关系，B不是；对于C，人的身高会影响体重，但不是唯一因素，它们具有相关关系，C是；对于D，人的身高与视力无任何关系，不具有相关性，D不是.2.，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出对数型复合函数的定义域，化简集合B，再利用补集、交集的定义求解.解答过程：由有意义，得，解得或，则或，，而，所以.故选：A3.已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（）A.10 B.20 C.30 D.40答案：B解析：思路：先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式的常数项，进而得解.解答过程：令得，解得，二项式的展开式的通项公式为且，所以当时，；当时，，所以二项式展开式的常数项为.故选：B4.某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（）A.120分，75 B.120分，20 C.115分，65 D.115分，140答案：D解析：解答过程：因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，所以该公司的平均成绩为分，该公司成绩的方差为.5.如图，正方体中，的中点为N，则异面直线与CN所成角的余弦值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据图形找到异面直线与的平行线，确定异面直线的平面角，再根据角之间的关系解出该角的余弦值，可得出答案.解答过程：连接交于点，由正方体可知，则与所成的角为异面直线与所成的角.由图可知，则，，设正方体的棱长为，，，则，则异面直线与所成的角余弦值为.6.年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，求，，再根据条件概率的公式求结论即可.解答过程：设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，则，，则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率，故选：D.7.下列结论正确的是（）A.如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1B.命题的“，”否定是“，”C.一组数据从小到大排列为4、6、7、8、10、m、16、18、19、20，若该组数据的60%分位数是14，则D.残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低答案：C解析：思路：A由相关系数的意义判断；B由全称命题的否定为特称命题判断；C应用百分位数的求法列方程求参数值判断；D由残差图中水平带状区域与预报精度关系判断.解答过程：A：如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值就接近于1，故A错误；B：由全称命题的否定为特称命题，则“，”否定是“，”，故B错误；C：由题设，则，故C正确；D：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故D错误.8.已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：通过同构，将方程，转换成，构造函数，通过其单调性，问题转换成方程在上恰有两个不同实根，进而可求解.解答过程：函数定义域为，令，两边乘整理得：

，

设，求导得，故在R上单调递增，由，可得：，故原函数恰有两个零点，等价于方程在上恰有两个不同实根，令，求导：​当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此的最小值为，且，；时，，故方程有两个不同实根，需满足，即​，故的取值范围是.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（）A. B.展开式中的常数项为45C.含的项的系数为 D.展开式中的有理项有6项答案：ABD解析：思路：根据已知二项式写出其展开式通项，结合系数之比求得，进而依次分析判断各项的正误.解答过程：由题设，二项式展开式通项为，，由，且，则，所以，可得，所以，A对，则，，令，则，故常数项为，B对，令，则，故含的项的系数为，C错，令，则，故共有6项，D对.10.某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（）A.该学生的眼睛近视的概率为0.69B.该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8C.如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3D.如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为答案：AC解析：思路：根据概率乘法公式及对立事件的概率对选项逐一分析即可.解答过程：对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确；对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误；对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确；对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误.故选：AC.11.已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（）A. B.为偶函数 C. D.答案：ACD解析：解答过程：选项A：令代入已知等式：，得，故，故A正确.选项B：令代入已知等式：，已知，对任意：若，可得；若，在原函数关系式中令，得，再令，得.因为，所以，即，此时也有.等式仍成立.因此是奇函数，不是偶函数，故B错误.选项C：由为偶函数，得，令，即，说明关于直线对称.推导得：，，因此，故C正确.选项D：由，得，故周期.计算一个周期内的函数值：，，，，即一个周期和为.已知，因此，故D正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则__________.答案：5解析：思路：先求导数，再求出的值从而确定的解析式，即可求出的值.解答过程：对求导得，所以，解得，所以，.13.如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－则点M的轨迹方程为________．答案：解析：思路：求动点M的轨迹方程，首先设M的坐标为（x，y），由已知点A、B的坐标代入求得直线AM、BM的斜率，由乘积为即可得到点M坐标的关系式，将其整理化简可得到M的轨迹方程，最后去除多余点解答过程：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－5，0）．所以直线AM的斜率kAM＝（x≠－5），同理，直线BM的斜率kBM＝（x≠5）．由已知有·＝（x≠±5），化简，得点M的轨迹方程为故14.一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种.答案：解析：思路：设，则有，可知的最小值为，最大值为，根据这三个数的构成进行分类讨论即可得.解答过程：由，可得，所以.不妨设，则，还有一个数为，显然，，对于任意取值，都有如下情况，当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；当时，三个数为，，，对应，，，有种方法.因为，所以一共有种.故答案为.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.随着新冠肺炎疫情的阴霾逐渐消散，国内旅游行业迎来了发展机遇．飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气，航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况．某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系x1020304050y13457（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若某航班飞机晚点，试估算旅客的投诉次数．参考公式：．答案：（1）（2）11次．解析：思路：（1）根据表中的数据先求出，，，再利用公式求出，从而可求得回归方程；（2）将代入回归方程可估算旅客的投诉次数．（1），，，，，所以y关于x的线性回归方程是．（2）当时，，所以旅客的投诉次数约为11次．16.人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：男教师女教师总计优秀201535非优秀10515总计302050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？（2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.（2）分布列见解析，解析：思路：（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.（2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可.（1）零假设:这次成绩是否优秀与性别无关.根据表中数据，计算得到根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.（2）的可能取值为.;;;的分布列为：012数学期望.17.某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起.（1）从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率；（2）从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望.答案：（1）（2）分布列见解析，解析：思路：（1）先应用正态分布求解概率再应用全概率公式计算求解；（2）应用二项分布得出概率及分布列，最后应用二项分布数学期望公式计算求解.（1）由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为，乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为从这批混合零件中随机抽取一件是甲生产线生产的概率为，是乙生产线生产的概率为，由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且所以的分布列为01234P所以18.已知函数，其中.（1）当时，求在处的切线；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围.答案：（1）（2）时，在单调递增，在单调递减；时，在，单调递增，在单调递减；时，在上单调递增；时，在，单调递增，在单调递减；（3）解析：思路：（1）应用导数的几何意义求切线方程；（2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可；（3）将问题化为的图象与直线有两个不同的交点，并应用导数研究函数性质，利用其图象分析参数范围.（1）当时，，则，又，则，切线方程为，即；（2）函数的定义域为，∴，若，则，，，所以在上单调递增，在上单调递减，若，令，则或，当，即时，或，所以在，上单调递增，在上单调递减；当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增；当，即时，或，，所以在，上单调递增，在上单调递减；综上：时，在上单调递增，在上单调递减；时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减；（3），令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点，所以，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，且时，时，，大致图象如下，要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即，所以a的取值范围是.19.为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且