2025-2026学年山西长治市上党区第一中学校高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.角的终边经过点且，则实数的值为（）A.4 B. C. D.34.下列命题正确的是（）A.空间不同三点确定一个平面B.三条两两相交的直线在同一平面内C.垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直D.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行5.在中，点满足，且，则（）A. B. C. D.6.已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，，且，，则球的表面积为A. B. C. D.8.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（

）米．A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列说法正确的是（

）A.在复平面内对应的点为 B.C.的虚部为 D.10.已知函数，则（）A. B.在区间上单调递增C.曲线关于点中心对称 D.方程在区间上有3个解11.如图，在正方体中，M为中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为.当A，P，C三点共线时，则（）A.正方体的体积为64B.当AB的中点在α上时，截面图形的面积为C.记MP的中点为Q，CQ的最小值为D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则______.13.已知，，则向量在方向上投影向量坐标为_________.14.如图，在矩形中，，．现将沿折起，得到如图所示的三棱锥，则该三棱锥体积的最大值是___________，此时，其内切球的半径是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若是单位向量，且，求与的夹角．16.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）求三棱锥A﹣PEC的体积．17.如图为函数的一个周期内的图象.（1）写出的解析式；（2）若的图象向右平移2个单位长度得到的图象，写出的解析式；（3）指出的周期、频率、振幅、初相.18.如图，正方体的棱长为1，（1）求证：平面；（2）求：与平面所成的角大小；（3）求钝二面角的大小.19.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围；（3）若恒成立，求实数的最小值.

数学一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：利用复数的乘法法则求出积，再求出该复数对应点的坐标并判断其所在象限即可.解答过程：复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为又，故点在第二象限，所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.解答过程：命题“”的否定是，故选：C3.角的终边经过点且，则实数的值为（）A.4 B. C. D.3答案：B解析：解答过程：由三角函数的定义得，平方化简得，解得（正根舍去）.4.下列命题正确的是（）A.空间不同三点确定一个平面B.三条两两相交的直线在同一平面内C.垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直D.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行答案：D解析：思路：直接利用平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用判定、、、的结论．解答过程：解：对于：空间中不共线的三点确定一个平面，故错误；对于：三条两两相交但是不经过同一点的直线在同一个平面内，故错误；对于：垂直于平面内任意一条直线的直线与该平面垂直，故错误；对于：过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故正确；故选：．5.在中，点满足，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由可得为的中点，结合得到，进而结合三角形的内角和求解即可.解答过程：由，则为的中点，因为，所以，则，而，则，即.故选：D.6.已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立，即可得.解答过程：如图，正方体中，，，平面为平面，其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的必要不充分条件.7.已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，，且，，则球的表面积为A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件可将四面体补成一个长方体，再根据长方体与外接球关系求球半径，最后根据球表面积公式求结果.解答过程：因为面，所以，所以可补成长宽高分别为一个长方体，其外接球为球，半径为，因此球的表面积为，选C.方法提示：若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．8.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（

）米．A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，利用直角三角形边角关系、余弦定理建立方程，再解方程组求解作答.解答过程：设，在中，，，在中，，，在中，，，在中，，即，在中，，即，由，得，于是，解得，所以滕王阁的高度.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列说法正确的是（

）A.在复平面内对应的点为 B.C.的虚部为 D.答案：ABD解析：思路：根据复数的坐标表示，可判定A正确；由复数模的计算公式，可判定B正确；由复数的定义，可判定C错误；根据复数的运算法则，可判定D正确.解答过程：对于A，由复数，可得复数在复平面内对应的点为，所以A正确；对于B，有复数模的计算公式，可得，所以B正确；对于C，由复数，可得的虚部为，所以C错误；对于D，由，所以D正确；10.已知函数，则（）A. B.在区间上单调递增C.曲线关于点中心对称 D.方程在区间上有3个解答案：BC解析：解答过程：对于A，的最小正周期，可得A错误；对于B，时，，故在区间上单调递增，故B正确：对于C，，可得曲线关于点中心对称，故C正确；对于D，，即，所以，，即，，故在上只有两个解和，故D错误．11.如图，在正方体中，M为中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为.当A，P，C三点共线时，则（）A.正方体的体积为64B.当AB的中点在α上时，截面图形的面积为C.记MP的中点为Q，CQ的最小值为D.的最小值为答案：BCD解析：思路：根据A，P，C三点共线确定点位置，利用直角三角形勾股定理求出棱长即可判断A，找出截面图形为矩形，求出面积判断B，分析出点Q的轨迹为线段，再确定时，CQ取得最小值，解三角即可判断C，利用展开图及余弦定理求解即可判断D.解答过程：对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD中点，取的中点，连接,则解得AD=2，所以正方体的体积故A错误;对于B，记中点为E，连接，显然有故点在上，则截面图形为矩形，又所以则截面图形的面积为故B正确；对于C，取MB中点F，MD中点G，连接FG，点Q的轨迹为线段又所以因为点G到平面BB₁C₁C的距离为所以则，所以均为锐角，故当时，CQ取得最小值，因为，所以，故CQ的最小值为，故C正确；对于D，将沿BD向下翻折与平面BDD₁B₁共面，连接则B₁P+PC的最小值即为线段B₁C的长度，P为与BD的交点，因为所以由余弦定理得，则故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则______.答案：解析：思路：将代入方程计算即可求解出的值.解答过程：因为是的一个虚根，所以，化简可得，所以，解得，故答案为.13.已知，，则向量在方向上投影向量坐标为_________.答案：解析：解答过程：，故向量在方向上投影向量坐标为.14.如图，在矩形中，，．现将沿折起，得到如图所示的三棱锥，则该三棱锥体积的最大值是___________，此时，其内切球的半径是___________．答案：①.②.解析：思路：可确定当平面平面时，三棱锥体积最大，作，由面面垂直性质可知平面，由三棱锥体积公式可求得结果；首先求得三棱锥的表面积，根据可构造方程求得结果.解答过程：由题意知：当平面平面时，三棱锥的体积最大．作，垂足为，连接．平面平面，平面平面，平面，平面，，，，，，三棱锥的体积最大值；此时，，，，从而．，，，，，三棱锥的表面积．设三棱锥内切球的半径为，则，即，解得：．故；.方法提示：结论点睛：设多面体内切球半径为，体积为，表面积为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若是单位向量，且，求与的夹角．答案：（1）或.（2）解析：思路：（1）设向量的坐标，由模的坐标表示，及向量平行的坐标表示，列出关于的方程组，即可求解；（2）由，得到，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.（1）解：设，因为，且，可得，即，解得或，所以向量或.（2）解：由向量为单位向量，可得，因为，可得，又因为，可得，所以，则，因为，可得，即向量与的夹角为．16.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）求三棱锥A﹣PEC的体积．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）利用空间关系易由线线平行证明线面平行；（2）利用空间关系易由线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直；（3）有了线面垂直，就有了高线，所以就可以求三棱锥的体积.（1）连结，交于点，连结，∵是正方形对角线交点，∴为的中点，由已知为线段的中点，∴，又平面，平面，∴平面；（2）为线段的中点，∵平面，平面，，在正方形中，，又，平面，平面，又平面，，又平面,平面；（3）平面，∴三棱锥的体积.17.如图为函数的一个周期内的图象.（1）写出的解析式；（2）若的图象向右平移2个单位长度得到的图象，写出的解析式；（3）指出的周期、频率、振幅、初相.答案：（1）；（2）；（3）周期，频率，振幅、初相为.解析：思路：（1）图象知函数的最大值为，最小值为，周期为，进而得，，再结合函数图象过点待定得，进而得答案；（2）结合函数图象平移变换求解即可；（3）根据函数周期、频率、振幅、初相概念依次求解即可.解答过程：解：（1）由题知函数的最大值为，最小值为，周期为，所以，，即，所以函数，又因为函数图象过点，所以将点代入解析式得，又因为，所以，所以（2）的图象向右平移2个单位长度得的图象，所以（3）由（2）知，的周期，频率，振幅、初相为18.如图，正方体的棱长为1，（1）求证：平面；（2）求：与平面所成的角大小；（3）求钝二面角的大小.答案：（1）证明过程见解析（2）（3）解析：思路：（1）由得到平面（2）连接，，证明与平面垂直，得到与平面所成的角为的余角，通过为等边三角形得出的大小，再得到所求角.（3）连接，证明平面，求出与所成角，进而得到钝二面角的大小（1）正方体中，，又平面，且平面平面（2）连接，，正方体中，平面，且平面，，又，且，，又，且平面，平面平面与平面所成的角为的余角，又为等边三角形，，与平面所成的角为.（3）连接，平面，平面，，又，且，，，且平面，平面，平面又由（2）知平面，且与所成角为，∴钝二面角的大