2025-2026学年陕西省高三下册5月联考数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为原点，则（）A.12 B.16 C.20 D.244.若圆锥的底面积为，高为4，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.5.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知是偶函数，且当时，，则（）A.2 B.3 C.29 D.307.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.8.已知正数x，y满足，则一定有（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某公司统计了今年前5个月购买办公用品的费用（单位：元），分别为14500，5800，11600，6000，8700，则（）A.这组数据的极差为8700B.这组数据的平均数为9320C.这组数据的第80百分位数为11600D.添加一个新的数据，在极差保持不变的条件下，方差可能变大10.已知抛物线：的焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点在第一象限），轴，垂足为，设，，则（）A.的取值范围是 B.是增函数C.是增函数 D.是增函数11.已知正四面体的棱，的中点分别为，．空间中的动点满足．设点的轨迹为，则（）A.轨迹上满足的点有无数个B.轨迹上满足的点有无数个C.轨迹上满足的点有无数个D.轨迹上满足的点仅有两个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，，则________．13.若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，________．14.已知袋中有3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回），三人只能看到别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手中是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手中是什么颜色的球．”若两人会根据已知信息进行推理，并且不说谎，则甲手中是红球的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若的面积为3，求的最小值．16.已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的．（1）求的方程．（2）过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明．①直线与的斜率之和为定值；②直线与的斜率之积为定值．17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值．18.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：．19.在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量．（1）求，的值；（2）求的分布列；（3）记是的数学期望，证明：．附：对任意随机变量，有．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求解一元二次不等式得到集合B，再根据并集的运算规则计算A与B的并集即可.解答过程：对不等式因式分解，可得，解得，因此，已知，根据并集的定义可知，.2.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题设.3.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为原点，则（）A.12 B.16 C.20 D.24答案：C解析：解答过程：由题设，，则，所以.4.若圆锥的底面积为，高为4，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设圆锥的底面圆的半径为，则，解得，又高为4，故圆锥的母线长为，所以该圆锥的侧面积为.5.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先由判断是否能推出，再由判断是否能推出，即可得出结果.解答过程：已知充分性：若因为，所以,所以,所以；必要性：若，则当时，，所以必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.方法提示：本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型.6.已知是偶函数，且当时，，则（）A.2 B.3 C.29 D.30答案：C解析：思路：先根据偶函数的性质求出时函数的表达式，再利用对数函数的性质化简函数，最后根据对数列项求和计算.解答过程：当时，，当时，，因为是偶函数，所以在中，都满足，代入中可得7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，结合图形可得，在中用余弦定理求与的关系，进而在中用余弦定理求离心率.解答过程：由双曲线定义得：，轴是的中垂线，在轴上，故，设，由得，则，因此.，故，在中由余弦定理可得：，代入：，故，结合得.在中由余弦定理可得：，代入，化简得：，将代入可得：，化简得：，故.8.已知正数x，y满足，则一定有（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：原式可化为​设，，可知在单调递增，在单调递减，最大值为​，因此设，求导得，故在单调递增.又因为，因此​

，所以，故A正确，B错误；，因为在单调递增，所以​，存在满足条件的正实数；取，因为在单调递减，可得​，也存在满足条件的正实数；因此C、D错误.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某公司统计了今年前5个月购买办公用品的费用（单位：元），分别为14500，5800，11600，6000，8700，则（）A.这组数据的极差为8700B.这组数据的平均数为9320C.这组数据的第80百分位数为11600D.添加一个新的数据，在极差保持不变的条件下，方差可能变大答案：ABD解析：思路：根据极差，平均数和百分位数逐一验证即可求解.解答过程：由题意得，这组数据的极差为，故A正确；这组数据的平均数为，故B正确；由，所以这组数据的第80百分位数为：，故C错误；在极差不变的条件下，添加的新数据在范围内，若添加一个远离原平均数9320的数（如5800或14500），会使平方和的增大幅度超过样本量的增大幅度，方差变大，故“可能变大”成立，故D正确.10.已知抛物线：的焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点在第一象限），轴，垂足为，设，，则（）A.的取值范围是 B.是增函数C.是增函数 D.是增函数答案：BC解析：思路：表示出以为圆心、为半径的圆的方程后联立抛物线方程，可解出点坐标及范围，从而可得、，再判断各函数单调性即可得.解答过程：由题意可得，则以为圆心、为半径的圆的方程为，联立，消去可得，解得或，由题意可得且，则且，则，即，则，，故，；对A：由上述计算可得，故A错误；对B：，在上单调递增，故B正确；对C：，在上单调递增，故C正确；对D：，则在上单调递减，在上单调递增，故D错误.11.已知正四面体的棱，的中点分别为，．空间中的动点满足．设点的轨迹为，则（）A.轨迹上满足的点有无数个B.轨迹上满足的点有无数个C.轨迹上满足的点有无数个D.轨迹上满足的点仅有两个答案：ACD解析：思路：由题意可得，点位于以，为直径的球面上，建立空间直角坐标系，设，列出与，的式子即可求解.解答过程：设正四面体棱长为，中点，分别为，中点，动点满足，则点位于以，为直径的球面上，两球交线为圆（位于中垂面），如图，连接，，，由正四面体的性质可得，，，，又因为，平面，平面，且平面，所以平面，因为平面，平面，所以，，因为为中点，所以，因为，所以，以为原点建立空间直角坐标系，为轴，过点作轴平行于，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设，所以轨迹的方程为，且，对于A选项，，，，化简得到，与轨迹的方程为一致，故轨迹上的所有点满足，有无数个，故A正确；对于B选项，因为，，，所以化简可得，与轨迹联立可得，解得，仅有2个解，非无数个，故B错误；对于C选项，因为，则，，所以恒成立，故轨迹上的所有点满足，有无数个，故C正确；对于D选项，因为，所以，，所以，与轨迹联立可得，解得，仅两个解，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，，则________．答案：解析：思路：根据等比数列的性质求解.解答过程：因为等比数列中，，，所以，即，所以，所以.13.若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，________．答案：4解析：思路：根据函数的奇偶性得到方程，求出，代入求值即可解答过程：是偶函数，故，则，即，，，，，由于对恒成立，故，所以，，由于，故的最小正周期为，故当时，取得最小值，最小值为，此时最大，满足要求，故，所以.14.已知袋中有3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回），三人只能看到别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手中是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手中是什么颜色的球．”若两人会根据已知信息进行推理，并且不说谎，则甲手中是红球的概率为________．答案：##解析：思路：甲、乙两人看到的可能情形，可确定丙手中的球的颜色，从而得到甲手中是红球的概率.解答过程：从5个球依次不放回的抽出3个，共有个基本事件，由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙、丙两人手里的小球肯定不是两个白球；由“乙不知道自己拿的是什么颜色的球”知，甲、丙两人手里的小球肯定也不是两个白球；若乙看到丙拿的是白球，甲不论拿的是什么颜色的球，则由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙自己肯定拿的是红球；但乙不知道自己拿的是什么颜色的球，所以丙拿到的肯定是红球.因为丙拿到红球的情况共有种，此条件下甲拿到红球的情况共有种，所以甲手中是红球的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若的面积为3，求的最小值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由三角恒等变换及余弦定理化简得证；（2）由三角形面积公式得到的关系，利用正弦函数的取值范围求的最小值.（1）因为，所以，又，所以，即，所以，即.证毕.（2）因为，，所以，因为，所以，所以，解得，所以当时，的最小值为.16.已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的．（1）求的方程．（2）过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明．①直线与的斜率之和为定值；②直线与的斜率之积为定值．答案：（1）椭圆的方程为；（2）命题①正确，定值为。解析：思路：（1）由椭圆焦点得，结合短轴长与长轴长的比例关系及求解参数，即可得椭圆方程；（2）设过的直线方程与椭圆联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式，验证其为定值.（1）由题意可知：解得因此椭圆的方程为（2）命题①正确，证明如下：当斜率不存在或斜率不为时，设过的直线方程为，，将直线方程代入椭圆方程得：

，整理得，由韦达定理得：

，，化简得,当斜率为时，设，显然，故命题①成立.17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证.（2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果.（3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值.（1）由条件得，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，因为，所以平面，，垂足为，平面，所以，，平面，所以平面，，，所以.（3）由（1）（2）可知，两两垂直，以为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量，则：，令，则，所以，设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为，则.18.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得；（3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明