2025-2026学年四川阆中中学校高二下册期中学习质量检测数学试题 含答案

/数学一、单选题.（每小题5分，共40分）1.4与9的等比中项为（）A. B. C. D.2.已知数列满足，则（）A.1 B.5 C. D.3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（）A. B. C. D.4.已知数列满足，，则（）A.511 B.1023 C.1024 D.20475.设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（）A.16 B.8 C.4 D.26.已知等比数列中，是方程的两根，则（）A.3 B. C. D.7.函数点处的切线方程为，则等于（）A. B. C.3 D.68.已知函数，则（）A.1 B. C.2 D.二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得5分，部分选对得部分分，选错不得分）9.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A.的最大值为30 B.当或时，取得最大值C.使成立的的最大值为10 D.数列是递减数列10.已知函数，则（）A. B.有两个零点C.在上单调递增 D.轴是曲线的切线11.记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（）A.若，则B.在处的3次泰勒多项式为C.在处的3次泰勒多项式为D.三、填空题（每小题5分，共15分）12.用0，1，2，3这4个数字，可组成________个没有重复数字的三位数（用数字作答）13.数列中，若，，则__________.14.已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______．四、解答题（共77分）15.已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．16.已知数列前n项和为，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．17.已知为等比数列，，．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．18.给定函数（1）求函数的单调区间；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程的解的个数.19.已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：；（3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值.

数学一、单选题.（每小题5分，共40分）1.4与9的等比中项为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由等比中项的定义可得.解答过程：设4与9的等比中项为，则，所以.故选：C.2.已知数列满足，则（）A.1 B.5 C. D.答案：B解析：思路：根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可.解答过程：因为，所以，，，，……所以数列为周期数列，周期为3，又因为，所以.3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：根据题意，三人的选择组合共有种，其中看同一部电影的情况有种，所以三人看同一部电影的概率为．4.已知数列满足，，则（）A.511 B.1023 C.1024 D.2047答案：B解析：思路：由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可.解答过程：由题可知：，当时，，…，累加得：，所以，即，又也适合，则.5.设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（）A.16 B.8 C.4 D.2答案：A解析：思路：设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得.解答过程：设等差数列的公差为，则有，即，由，，成等比数列，则，即，化简得，由，则，即有，解得，故.6.已知等比数列中，是方程的两根，则（）A.3 B. C. D.答案：C解析：思路：利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出．解答过程：是等比数列，设公比为，，是方程的两根，，同号，且，，解得，又，故C正确．故选：C．7.函数点处的切线方程为，则等于（）A. B. C.3 D.6答案：D解析：解答过程：由题意已知，可得.8.已知函数，则（）A.1 B. C.2 D.答案：A解析：解答过程：∵，，当时，，解得.二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得5分，部分选对得部分分，选错不得分）9.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A.的最大值为30 B.当或时，取得最大值C.使成立的的最大值为10 D.数列是递减数列答案：ABC解析：思路：求出的表达式，结合二次函数的知识即可逐项判断．解答过程：对于AB，前项和公式，令，该二次函数对称轴为，所以的最大值在和中的最大值取得，又，，当或时，取得最大值30，故AB正确；对于C，，即，得，又为正整数，故的最大值为10，故C正确；对于D，结合对称轴，可知，在时单调递增，时单调递减，因此先增后减，并非递减数列，故D错误．10.已知函数，则（）A. B.有两个零点C.在上单调递增 D.轴是曲线的切线答案：ACD解析：思路：计算出即可判断A；根据函数零点的定义求解判断B；根据一次函数和对数函数的单调性判断C；根据导数的几何意义求解判断D.解答过程：由，，则，，由于，则，故A正确；令，解得，所以有一个零点，故B错误；因为函数和在上单调递增，且时，，所以函数在上单调递增，故C正确；由，则，由B知，有一个零点1，即，所以在处的切线方程为，故D正确.故选：ACD.11.记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（）A.若，则B.在处的3次泰勒多项式为C.在处的3次泰勒多项式为D.答案：BC解析：思路：求出阶导数判断A，根据定义写出3次泰勒多项式判断BC，利用泰勒多项式求近似值判断D.解答过程：选项A，，则，A错；选项B，，则，，所以，所以，从而在处的3次泰勒多项式为，B正确；选项C，，，，，所以在处的3次泰勒多项式为，C正确；选项D，由选项B知在处的n次泰勒多项式为，，，，所以，D错.三、填空题（每小题5分，共15分）12.用0，1，2，3这4个数字，可组成________个没有重复数字的三位数（用数字作答）答案：18解析：思路：需要分步确定三位数的百位、十位和个位数字.解答过程：组成的数是三位数，故百位不能是，百位有种选择；百位选了一个数字后，十位还有种选择；百位和十位各选了一个数字后，个位还有种选择；一共可以组成没有重复数字的三位数有：（个）故答案.13.数列中，若，，则__________.答案：解析：思路：根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.解答过程：由题意，，可得，所以，所以.故答案为.14.已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______．答案：解析：思路：设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案.解答过程：设切点为，因为函数，所以，则，所以切线方程为：，又切线方程过点，所以，化简得：，令，所以所以当或时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值为，极大值为，的草图如下：过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则，所以.四、解答题（共77分）15.已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．答案：（1）（2）最小值解析：思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值.（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以．（2）因为是等差数列，所以．因为，所以当时，有最小值.16.已知数列前n项和为，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以当时，，两式作差得，又符合上式，故的通项公式为.（2）由（1）知，，则.17.已知为等比数列，，．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设等比数列的公比为，由条件先求出，即可根据等比数列的通项公式求出；（2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出其前n项和.（1）设等比数列的公比为，因为为等比数列，，所以.又，所以，即，解得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，则，所以，所以①，两边同时乘以2可得②，用①的两边减去②的两边可得，所以数列的前n项和为.18.给定函数（1）求函数的单调区间；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程的解的个数.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）作图见解析（3）答案见解析解析：思路：（1）求出函数的导数，解导数大于0，小于0的不等式即可.（2）由（1）作出大致图象.（3）结合（2）的图象，求出函数的图象与直线的交点个数即可.（1）函数的定义域为，求导得，由，得，由，得，所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）由（1）知，函数在处取得最小值，，当时，，函数的大致图象，如图：（3）方程解的个数等价于函数的图象与直线的交点个数，由（2）知当时，方程的解为个；当或时，方程的解为个；当时，方程的解为个.19.已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：；（3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）求导，根据导数的几何意义计算求解；（2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证；（3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可.（1）当时，，，则切线斜率，，所以切线方程为，即，（2）当时，只需证明，，当时，，，此时成立，当时，令，，令