2025-2026学年四川绵阳中学高一下册第一学月考试数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台2.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C.i D.3.已知向量满足，=1，则向量的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（）A. B.C. D.5.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（）A. B.2 C. D.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（）A. B.4 C.2 D.7.已知△ABC满足，则△ABC的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形8.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（）A.每个面都是等边三角形B.每个面都是直角三角形C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，，，则角的可能取值为（）A. B. C. D.10.设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.B.C.若，则在复平面内对应的点位于第三象限D.若，则的最大值是611.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点Q，则下列结论正确的是（）A.P的坐标为B.Q的坐标为C.D.在方向上的投影向量为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则______.13.如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角）为，则M，N之间的距离为________米.14.如图，在四边形中，，，，，.则的面积的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知p，q为实数，若在复数范围内，是关于的方程的一个根.求的值.（2）若复数为纯虚数，求m的值.16.已知向量，的夹角为，且．（1）若，求的坐标；（2）若，，求的最小值．17.已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且.（1）求角C；（2）若，的面积为，D为边的中点，求的长.18.在中，P为的中点，O在边上，交于R，且，设，.（1）求的值，并用，表示；（2）若，，，求的余弦值；（3）若点H在上，且，设，，，且.求的取值范围.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，设点为的费马点，求；（3）设点为的费马点，求的最小值.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台答案：C解析：解答过程：试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C．2.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C.i D.答案：B解析：思路：根据题意，由复数的运算即可得到结果.解答过程：由题意可得，所以z的虚部为，故选：B.3.已知向量满足，=1，则向量的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°答案：C解析：思路：由向量夹角余弦公式可得答案.解答过程：由题可得，则，又，则向量的夹角为60°.故选：C4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量的线性运算求解.解答过程：解：，，，，故选：C5.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：根据题意，过点，分别作轴和轴的平行线，即可得到的坐标，再由两点间距离公式，即可得到结果.解答过程：根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线，与轴和轴分别交于点，，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则，，则的坐标为，则，，故原图中，的坐标为，A的坐标为，故，故选：C.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（）A. B.4 C.2 D.答案：A解析：思路：根据三角形面积公式，结合已知条件求得，再利用余弦定理，即可求得.解答过程：由于，故，由于，的面积为，故，整理得，解得；由余弦定理可得，解得.故选：A.7.已知△ABC满足，则△ABC的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形答案：D解析：思路：根据已知得到，利用正弦定理可求得，结合三角形内角和为以及两角和的正弦公式可求得，即可确定三角形形状.解答过程：解：根据得到：，由正弦定理，可得，又C为三角形的内角，得到，可得，又，∴，即，∴，且A和B都为三角形的内角，∴，则的形状为等腰三角形．故选：D．8.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（）A.每个面都是等边三角形B.每个面都是直角三角形C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形答案：D解析：思路：根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可.解答过程：如图，每个面都是等边三角形，A不选；每个面都是直角三角形，B不选；三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，，，则角的可能取值为（）A. B. C. D.答案：AB解析：思路：由正弦定理，可得，又，所以，又，可得，可判断各个选项.解答过程：由正弦定理，可得，又，所以，又，所以，即角为锐角，所以角的取值范围为，故A，B正确.故选：AB.10.设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.B.C.若，则在复平面内对应的点位于第三象限D.若，则的最大值是6答案：BCD解析：思路：设，利用复数共轭、模的运算判断A、B，通过三角形式求出的实部虚部判定所在象限，再由复数模的几何意义看出对应点在定圆上，结合圆心到原点距离求出最大值，最终得出正确选项为BCD.解答过程：设复数，共轭复数，.选项A：，，当时，，A错误.选项B：，B正确.选项C：，，对应点在第三象限，C正确.选项D：表示在复平面上对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，圆心到原点距离为，，D正确.11.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点Q，则下列结论正确的是（）A.P的坐标为B.Q的坐标为C.D.在方向上的投影向量为答案：AC解析：思路：根据新定义计算判断AB，利用向量的模计算判断C，根据投影向量计算判断D.解答过程：对A，，将点绕点逆时针旋转得到点，则，设，则，所以，解得，则P的坐标为，故A正确；对B，点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点Q，即点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，即，设，则，即，解得，所以Q的坐标为，故B错误；对C，因为P的坐标为，所以，故，故C正确；对D，在方向上的投影向量为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则______.答案：解析：解答过程：由.所以.13.如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角）为，则M，N之间的距离为________米.答案：解析：思路：先根据题目条件求出，，再在中，利用余弦定理求出.解答过程：由题意得，，，，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，故.故14.如图，在四边形中，，，，，.则的面积的最小值为______.答案：解析：思路：利用正弦定理把与表示为的表达式，再把的面积表示出来，从而计算出的面积的最小值.解答过程：在四边形中，，，，,所以，,所以，在中,，，在中，,,所以，由于，所以，，故，所以，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知p，q为实数，若在复数范围内，是关于的方程的一个根.求的值.（2）若复数为纯虚数，求m的值.答案：（1）0；（2）解析：思路：（1）把代入方程，利用复数相等可得答案；（2）利用纯虚数的限制条件可得答案.解答过程：（1）由题意，，因为是实数，则，且，∴.（2）为纯虚数，，或（舍去），即.16.已知向量，的夹角为，且．（1）若，求的坐标；（2）若，，求的最小值．答案：（1）或；（2）.解析：思路：（1）设出的坐标，利用向量模的坐标表示及数量积的定义列式求解作答.（2）利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律建立函数关系，求出最小值作答.（1）设，由，得，即，而向量，的夹角为，则，又，即，解得，于是，即有或，所以的坐标是或.（2）由，得，即，因此，，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.17.已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且.（1）求角C；（2）若，的面积为，D为边的中点，求的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可;（2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可.（1）因为,,且,所以,由正弦定理可得:，即,由余弦定理得:，所以,又,所以.（2）因为,由三角形面积公式得:，解得,因为D为边的中点，所以，在中，，即，所以.18.在中，P为的中点，O在边上，交于R，且，设，.（1）求的值，并用，表示；（2）若，，，求的余弦值；（3）若点H在上，且，设，，，且.求的取值范围.答案：（1），且.（2）（3）解析：思路：（1）以为基底，利用为中点得，设表示出的第一种形式.再由得，利用$B，R，O$三点共线设，得到的第二种形式.由平面向量基本定理比较系数，解方程组求出，即得比值与的表达式.（2）由第一问得到的，先求出和，然后利用已知的模长和夹角条件，分别计算、以及，最后代入夹角公式求得结果.（3）设，则所求比值即为.利用向量的线性运算，将用表示，进而得.由得，代入模长与夹角条件，化简得到关于的函数分析该函数在上的单调性，求得的取值范围即为所求.（1）已知为中点，则.又，且在边上，故.设，，则.于是.因为三点共线，设，则.由平面向量基本定理，比较两式中与的系数，得方程组由第二式得，代入第一式.两边乘得，整理得，故.代入得，因此，且.（2）已知，，，则.由前知，故，.，故.，故..故.（3）由前知.设，，则...由得，其中.代入已知，，：，解得，令，由得，随增大而增大.故随增大而减小.当时，.当时，.故.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，设点为的费马点，求；（3）设点为的费马点，求的