2025-2026学年新疆乌鲁木齐市第五十八中学高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，则（）A. B. C. D.2.已知，则的虚部为（）A.2 B.4 C. D.3.已知向量，且，则（）A.20 B.5 C. D.4.在中，角的对边分别为.已知，则（）A. B. C. D.5.向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（）A. B.C. D.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形7.已知向量，若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.8.国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（）A.米 B.80米 C.米 D.米二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，10.下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. B. C. D.11.在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（）A.B.C.的外接圆半径为D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若则_________．13.已知正方形的边长为，，，则的值为________.14.在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，其中.（1）若为纯虚数，求；（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.16.已知向量满足.（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求向量，的夹角.17.已知是中的对边，，（1）求边c（2）求的值18.在中，．（1）若为的角平分线，且交于，求的长；（2）若为的中线，且交于，求的长．19.在中，．（1）若，的面积为，求c；（2）若，①求面积的最大值；②求周长的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.解答过程：因为，所以.故选：C2.已知，则的虚部为（）A.2 B.4 C. D.答案：A解析：思路：根据复数的有关概念直接得出结果.解答过程：因为，所以则z的虚部为2.故选：A3.已知向量，且，则（）A.20 B.5 C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.解答过程：因为，且，所以，解得.故选：B4.在中，角的对边分别为.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用余弦定理计算可得.解答过程：由余弦定理可得.故选：B5.向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.解答过程：如图，设，所以.故选：D.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案：A解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可.解答过程：在中，由及正弦定理，得，于是，而，则，所以是等腰三角形.故选：A7.已知向量，若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.解答过程：依题意，在上的投影向量为.故选：C8.国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（）A.米 B.80米 C.米 D.米答案：B解析：思路：由题意可得，结合正弦定理计算即可求解.解答过程：由题意可得，米，，则．在中，由正弦定理可得，即，解得米．故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：ACD解析：思路：根据共线向量的坐标表示和基底的概念，结合选项依次判断即可.解答过程：对于A，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故A正确；对于B，因为，所以，不可以作为基底，故B错误；对于C，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故C正确；对于D，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故D正确．故选：ACD10.下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：根据复数的乘法、乘方和除法运算一一计算即可.解答过程：对A，，为实数，故A错误；对B，，为纯虚数，故B正确；对C，，为纯虚数，故C正确；对D，，为实数，故D错误；11.在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（）A.B.C.的外接圆半径为D.答案：BCD解析：思路：根据内心的性质判断A；由余弦定理求出，再由等面积法求出内切圆的半径，即可判断B，利用正弦定理判断C，依题意设，则，同理可设，再由平面向量基本定理得到方程组，求出，即可判断D.解答过程：因为内心是三角形内角平分线的交点，所以在中，，故A错误；由余弦定理可得，因为的面积，所以，故B正确；设的外接圆半径为，则，故，故C正确；对于D：方法一：因为在的平分线上，所以可设，则，同理可设，则，得，又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得，即，故D正确；方法二：利用内心的性质结论，有，即，所以，即，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若则_________．答案：5解析：思路：利用复数的模长公式可求得结果.解答过程：由已知可得.故5.13.已知正方形的边长为，，，则的值为________.答案：解析：思路：用、为基底表示，，再根据数量积的运算律计算可得.解答过程：正方形的边长为，，，，，故．故．14.在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______.答案：解析：思路：由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围.解答过程：由正弦定理可得，即，因为三角形有两解，所以且，则，即，所以，即的取值范围是.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，其中.（1）若为纯虚数，求；（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据复数的有关概念可得不等式组，求解即可；（2）根据复数的几何意义可得不等式组，解之即可求解.（1）由题意可得，解得．（2）由题意可得，即解得，即的取值范围是．16.已知向量满足.（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求向量，的夹角.答案：（1）2；（2）．解析：思路：（1）由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解；（2）由垂直关系的向量表示可得，结合数量积的定义计算即可求解.（1）．（2）由题意得，即，得，所以cosa因为，所以，即向量的夹角为．17.已知是中的对边，，（1）求边c（2）求的值答案：（1）2；（2）.解析：思路：（1）根据余弦定理求边；（2）根据余弦定理和二倍角的余弦公式即可得到答案.（1）在中，由余弦定理得，，即，整理得，解得.（2）在中，由余弦定理得，．18.在中，．（1）若为的角平分线，且交于，求的长；（2）若为的中线，且交于，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）运用等面积法，结合面积公式求解即可；（2）运用中线的向量表达式，结合向量数量积和模公式可解.（1）由，则得，即的长为.（2）由为的中线，则，得，故，即的长为.19.在中，．（1）若，的面积为，求c；（2）若，①求面积的最大值；②求周长的取值范围．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）利用正弦定理，可求