2025-2026学年云南省文山州富宁县新纪元云贵发展中心高一下册第二次月考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则（）A. B. C. D.3.已知，为虚数单位，若，则A. B. C. D.4.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C.4 D.5.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，已知，则边上的中线的长度为（）A. B. C. D.56.在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（）A. B. C. D.7.在直角中，斜边长为a，若所在平面内关于点A对称的两点P，Q满足，则的最大值为（）A.0 B. C. D.8.已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若是方程的两根，则D.若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是（）A.若，则为直角三角形B.若，则C.若，则△ABC为锐角三角形D.若，，则△ABC的外接圆半径是411.已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则（）A.碳原子与氢原子之间的距离为B.正四面体外接球的体积为C.正四面体的体积为D.任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知中.角的对边分别是，若，则等于__________.13.下图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3，若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为________.14.欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（是虚数单位）．（1）求复数的共轭复数；（2）若，求、的值．16.以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的外接圆柱．（1）求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比；（2）若正三棱柱的高为6，其内切圆柱的体积为，求该正三棱柱的底面边长．17.在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．18.如图，圆锥SO的底面半径，轴截面SAB（经过旋转轴SO的截面）是等边三角形，点P为母线SA上一点，且，点Q为半圆弧的中点．（1）求圆锥SO的外接球体积；（2）动点M从点P沿圆锥SO表面运动到点Q，求点M运动的最短路程．19.在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且.（1）当时，（ⅰ）求角；（ⅱ）若，，求的值；（2）若，且，，求的最小值.

数学满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的四则运算法则即可计算.解答过程.故选：A.2.已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：计算出向量的坐标，即可得出，即可得解.解答过程：由题意可得，则，所以，.故选：D.3.已知，为虚数单位，若，则A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，则,选D.4.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C.4 D.答案：A解析：思路：设圆锥的母线长为，圆锥的高为，根据题意得到，求得母线长，即可求解.解答过程：设圆锥的母线长为，圆锥的高为，因为圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，可得，解得，则圆锥的高为.故选：A.5.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，已知，则边上的中线的长度为（）A. B. C. D.5答案：C解析：思路：根据斜二测画法的规则即可求解.解答过程：由斜二测画法还原得原图，在中，，，，所以，故边上的中线的长度为.故选：C.6.在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，则在分别利用余弦定理可得的关系，再利用基本不等式可得面积的最大值.解答过程：设，，，由余弦定理可得，，消去得，又，联立消去x得所以，当且仅当时等号成立，因此.故选：B.7.在直角中，斜边长为a，若所在平面内关于点A对称的两点P，Q满足，则的最大值为（）A.0 B. C. D.答案：A解析：思路：用作为基底表示出平面向量，再根据数量积的定义、运算律以及二次函数的性质即可解出．解答过程：因为，所以，当且仅当同向时取等号．故选：A．8.已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先找和的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.解答过程：如图，取BC的中点为E，BD的中点为，所以为的外心，连接AE，EF，设的外心为，因为，即为等边三角形，所以点在AE上，且设球心为，连接OG，OF，则平面平面BCD，因为平面平面BCD，所以，因为为等边三角形，为BC的中点，所以，因为平面平面BCD，平面平面，面，所以平面BCD，则，又平面BCD，所以，同理平面ABC，所以，故四边形OGEF是矩形.由，可得，故，又，设球的半径为，则，所以球的表面积.故选：C.二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若是方程的两根，则D.若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为答案：ABD解析：思路：根据共轭复数的概念，复数与一元二次方程根的关系，复数的几何意义，逐一判断各选项正误，求出结果.解答过程：设，则，由，得，所以，所以A正确；当时，化简得，即，所以，所以B正确；是方程的两根，根据韦达定理可知，则，所以C错误；当时，复平面内对应的点的组成图形为扇环，外侧半径为2，内侧半径为1，面积为，所以D正确；故选：ABD.10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是（）A.若，则为直角三角形B.若，则C.若，则△ABC为锐角三角形D.若，，则△ABC的外接圆半径是4答案：AB解析：思路：根据题意，化简得到，可判定A正确；由，得到，进而得到，结合正弦定理，可判定B正确；设，利用余弦定理，求得的值，可判定C错误；利用正弦定理，求得外接圆的半径，可判定D错误.解答过程：对于A中，因为，由正弦定理得，所以，即因为，可得，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，因为在区间为减函数，可得，所以，又由正弦定理，可得，所以B正确；对于C中，因为，由正弦定理得，设，其中，由余弦定理得，因为，所以，所以为钝角三角形，所以C错误；对于D中，由，，可得外接圆的直径为，所以外接圆的半径为，所以D错误.故选：AB.11.已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则（）A.碳原子与氢原子之间的距离为B.正四面体外接球的体积为C.正四面体的体积为D.任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为答案：ACD解析：思路：对于A，由题A正确，对于B，为正四面体外接球的半径正四面体外接球的体积为B错误，对于C，，为正三角形正四面体的体积为C正确，对于D，设D正确.解答过程：如图所示，正四面体中，点是正四面体的中心，连接，，，，于是．设点在平面内的射影为，连接，正四面体的棱长为1，则，所以，，则碳原子与氢原子之间的距离为，选项A正确；由A可知，为正四面体外接球的半径，则正四面体外接球的体积为，B错误；正四面体的体积，C正确；设，其中，在中，由余弦定理得，故任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知中.角的对边分别是，若，则等于__________.答案：解析：思路：利用正弦定理求出即可得解.解答过程：因为，所以，所以，所以.故答案为.13.下图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3，若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为________.答案：解析：思路：根据莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到，求得其周长，再根据曲侧面三棱柱的高为10求解.解答过程：解：由题意得：底面是由三段以20为半径，圆心角为的圆弧构成，所以底面周长为，又曲侧面三棱柱的高为10，所以曲侧面三棱柱的侧面积为，故14.欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________．答案：①.②.解析：思路：根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空.解答过程：，，所以，由题意可得，所以，又因为，所以，则.故；.方法提示：关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（是虚数单位）．（1）求复数的共轭复数；（2）若，求、的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得出；（2）利用复数的除法和复数相等可得出关于、的方程组，即可解得、的值.（1）解：，所以z的共轭复数．（2）因为，即，也即，所以，解得．16.以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的外接圆柱．（1）求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比；（2）若正三棱柱的高为6，其内切圆柱的体积为，求该正三棱柱的底面边长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据棱柱和圆柱的体积公式，分别求得正三棱柱和外接圆柱的体积，即可求得体积比；（2）先求得底面正三角形的内切圆的半径，结合圆柱的体积公式，列出方程，即可求解.（1）解：设正三棱柱的底面边长为a，高为h，则底面外接圆的半径，可得正三棱柱的体积为，其外接圆柱的体积为，所以正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比为.（2）解：由正三棱柱的底面为边长为的等边三角形，可得底面三角形内切圆的半径，所以内切圆柱的体积为因为内切圆柱的体积为，可得，解得，所以，所以该正三棱柱的底面边长为.17.在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）利用，得，化简得，从而得到的值。（2）由，得到，再利用辅助角公式，结合，从而得解。解答过程：（1）∵，∴，即，∴．（2）∵与的夹角为，∴，故，即，化简得又，∴，，即．故的值为。方法提示：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，根据三角函数的值求角，属于基础题．18.如图，圆锥SO的底面半径，轴截面SAB（经过旋转轴SO的截面）是等边三角形，点P为母线SA上一点，且，点Q为半圆弧的中点．（1）求圆锥SO