2025-2026学年重庆市复旦中学教共体高一下册期中数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若∥，则（）A.2 B. C. D.32.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（）A.， B.，C.， D.，3.已知复数，则的虚部是（）A.5 B. C. D.4.已知向量满足，且，则（）A.1 B.2 C. D.5.在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（）A.三边不全相等的锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形6.已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（）A. B. C. D.8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.若的面积为，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为B.用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台D.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为：10.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A.在复平面内对应的点可能是B.C.的实部与虚部之积小于等于3D.复数，则的最大值为11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数范围内方程的根为________．13.若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________.14.现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．（1）求复数；（2）求复数；（3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．16.如图长方体，底面是边长为3的正方形，高为4，E为的中点．（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积；（2）求三棱锥和长方体的体积之比．17.记的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，是中线，求的长.18.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若点M在线段上，，，求的最小值．19.如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记．（1）当时，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的取值范围．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若∥，则（）A.2 B. C. D.3答案：C解析：思路：根据向量平行的坐标表示运算求解.解答过程：因为，若∥，则，即.故选：C.2.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：解答过程：对A，因为零向量跟任何向量共线，则两者是共线向量，故A错误；对B，因为，则两者不是共线向量，则B正确；对C，由于，，则，是共线向量，故C错误；对D，由于，，则，是共线向量，故D错误.3.已知复数，则的虚部是（）A.5 B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解即可.解答过程：复数，则，所以所求虚部是.故选：B4.已知向量满足，且，则（）A.1 B.2 C. D.答案：B解析：思路：先根据得，进而得，即可得.解答过程：因为，所以，故.故选：B5.在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（）A.三边不全相等的锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形答案：D解析：思路：由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论.解答过程：在中，，又，故．由余弦定理得，结合，得，解得，所以一定是等边三角形．故选：D．6.已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出圆台高，再利用体积公式求解.解答过程：由题意上下底面的半径为1，3，则圆台的高，所以圆台的体积故选：B7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，两边平方可得，整理可得，即，即，则，而，于是，所以．8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18答案：C解析：思路：由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.解答过程：由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.若的面积为，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为B.用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台D.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为：答案：AD解析：解答过程：若的面积为，根据，可得直观图的面积为，可知A正确；当用一个不平行于底面的平面去截圆锥，得到的不是圆台，可知B错误；侧棱的延长线相交于一点才是棱台，可知C错误；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，设圆锥母线为，底面半径为，可得，解得：：，可知D正确．10.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A.在复平面内对应的点可能是B.C.的实部与虚部之积小于等于3D.复数，则的最大值为答案：ACD解析：思路：根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D.解答过程：，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，复平面的点，其模为正确；错误；令，则有，所以实部与虚部之积，C正确；，则，D正确.故选：ACD.11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为答案：ACD解析：思路：先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.解答过程：因为，所以由正弦定理，得，即，因为，所以，且，所以.选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，故，解得b，所以选项B错误；选项C：由正弦定理，得，即，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，故选项C正确；选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因为，所以，故，，解得，因为，所以，即是直角三角形，所以内切圆的半径为，所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.方法提示：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数范围内方程的根为________．答案：解析：解答过程：由，得，所以x=±−16=±413.若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________.答案：解析：思路：利用投影向量的意义求解即可.解答过程：向量，，则，所以在方向上的投影向量为.故14.现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为______.答案：解析：思路：将三棱锥侧面沿着展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到A的最短距离.解答过程：将三棱锥侧面沿着展开，如图：则，由余弦定理可得：,则，所以截面周长的最小值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．（1）求复数；（2）求复数；（3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．答案：（1）（2）（3），，另一根为解析：思路：（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解；（2）根据复数的除法的运算求解；（3）将代入方程运算求出，代回方程求解.（1），所以复数的共轭复数为．（2）因为，所以所以.（3）若是关于的方程的一个根，则，即，所以解得：，，则，即，所以方程另一根为．16.如图长方体，底面是边长为3的正方形，高为4，E为的中点．（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积；（2）求三棱锥和长方体的体积之比．答案：（1）长方体的表面积为66，它的外接球的表面积为；（2）解析：思路：（1）根据长方体的表面积公式直接求解即可，求出外接球半径，即可求出外接球表面积；（2）求出长方体体积，根据等体积法求出三棱锥的体积，即可求出体积之比.解答过程：（1）由题可得该长方体的表面积为，该长方体的外接球的半径为，则外接球的表面积为；（3）长方体的体积为，，则三棱锥和长方体的体积之比为.17.记的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，是中线，求的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值；（2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理.（1）因为，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；（2）根据数量积的定义，由，得，又，在中由余弦定理得：∵，∴，所以18.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若点M在线段上，，，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）在中，利用正弦定理边角互化，化简得到，所以；（2）利用面积关系可得关系，然后利用基本不等式求最值.（1）在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，则，两边平方得，又，所以，，于是，解得，所以．（2）由（1）知，由，则，由，，则，则，即，因此，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．19.如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记．（1）