频率方程的零根和重根情形

频率方程的零根和重根情形演示文稿第一页，共86页。频率方程的零根和重根情形第二页，共86页。频率方程的零根和重根情形回顾：（1）两个例子系统存在刚体运动，此时柔度矩阵F

不存在，刚度矩阵奇异。（2）多自由度系统的自由振动刚度矩阵半正定，，系统为半正定系统，此时存在f(

t)=at+b的刚体模态。即本节将讨论的零固有频率的情形m1m2k1k2m3多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第三页，共86页。对于n

自由度系统：广义特征值问题：有非零解的充要条件：若必有：K

为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系统的刚度矩阵K

是半正定的。结论：说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产生弹性恢复力。多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第四页，共86页。假定系统中相应的主坐标方程：积分，得：a、b由初始条件决定表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第五页，共86页。设为零固有频率对应的刚体位移模态正交性条件要求：其中，为系统的除刚体位移之外的其它模态设为与所对应的主坐标令：系统消除刚体位移后的自由振动可得约束条件：利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的。右乘：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第六页，共86页。例：初始条件：求系统响应mmkkmkm多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形解：方法一动力方程:固有频率:奇异矩阵第七页，共86页。模态矩阵：正则模态：令：得：初始条件：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形展开，得：第八页，共86页。在正则坐标中分两种情况求解（1）时运动方程：解：初始条件：得：所以：（2）时代入初始条件，可求得：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第九页，共86页。在正则模态中的响应：写成矩阵：原物理空间的自由振动响应：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第十页，共86页。解：方法二：利用约束条件代入约束条件：代入方程，并整理：mmkkmkm多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形非奇异矩阵奇异矩阵第十一页，共86页。求得固有频率：方法一：方法一：正则模态：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第十二页，共86页。模态空间响应：初始条件：物理空间响应：第一个质量块的响应：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第十三页，共86页。写成矩阵形式：方法一结果：消除了刚体位移多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第十四页，共86页。频率方程的重根情形在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的特征值都是特征方程的单根。复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况例如，柔性航天结构下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振型问题多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第十五页，共86页。假使是r

重根即有：其余的都是单根将代入特征值问题表达式：

特征矩阵的秩：即：n

个方程中只有n-r

个是独立的例如当是单根时，r=1n

个方程中只有n–1个是独立的多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形即

r=2为简单计，令：则计算对应的模态时，中有2个是不独立的方程将的最后两个元素的有关项移至等号右端：第十六页，共86页。第十七页，共86页。第1、第2阶模态：（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件（不正交）令：也是如下方程的解：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第十八页，共86页。要正交，需满足：即：解得待定系数c

为：c

得到后，即可得到相互正交的多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第1、第2阶模态：（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件（不正交）令：第十九页，共86页。相互正交又分别与相互正交？模态矩阵：可使质量矩阵及刚度矩阵同时对角化即：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形第二十页，共86页。教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动第二十一页，共86页。多自由度系统的受迫振动系统对简谐力激励的响应动力吸振器模态叠加法系统对任意激励力的响应多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第二十二页，共86页。回顾：单自由度系统的受迫振动系统对简谐力激励的响应x为复数变量，分别与和相对应

设：复频响应函数引入：系统响应：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第二十三页，共86页。系统对简谐力激励的响应多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动

设n

自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励

系统受迫振动方程：实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应为激励频率为广义激励力的幅值列阵X为复数列阵多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第二十四页，共86页。系统受迫振动方程：稳态解：振幅列向量简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。代入，得：记

多自由度系统的幅频响应矩阵则有：因此：工程中：阻抗矩阵导纳矩阵多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第二十五页，共86页。H

的物理意义：

沿i

坐标的投影式：因此：因此的物理意义为仅沿j坐标作用频率为的单位幅度简谐力时，沿i坐标所引起的受迫振动的复振幅。多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动由于H含有系统的特征方程因此，当外部激励频率接近系统的任意一个固有频率时，都会使受迫振动的振幅无限增大的引起共振。第二十六页，共86页。动力吸振器许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这种振动有时可以采用动力吸振器。有阻尼动力吸振器系统弹簧k2m1、

k1：主系统的质量和弹簧刚度阻尼动力吸振器：m1上作用有简谐激振力质量

m2阻尼cx1x2m2k1m1k2c多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第二十七页，共86页。系统的强迫振动方程：先考虑无阻尼动力吸振器利用直接法得到稳态响应振幅：x1x2m2k1m1k2c多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第二十八页，共86页。主系统不再振动：系统的特征多项式当时反共振此时吸振器振幅主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡x1x2m2k1m1k2多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第二十九页，共86页。无阻尼动力吸振器左图：第一阶模态响应中间：动力吸振器右图：第二阶模态响应多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第三十页，共86页。吸振器参数k2、m2

一般选为：当时反共振记：使吸振器的固有频率和主系统的固有频率相等则可写为：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动x1x2m2k1m1k2第三十一页，共86页。设是由吸振器和主系统组成的两自由度系统的固有频率则由当时反共振多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动x1x2m2k1m1k2并记：第三十二页，共86页。当时反共振代入并设得：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动x1x2m2k1m1k2第三十三页，共86页。当时反共振反共振点0123-6-4-2024共振点共振点x1x2m2k1m1k2多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动虽然出现反共振，但是在反共振的两旁存在两个共振点。第三十四页，共86页。反共振点0123-6-4-2024共振点共振点为了允许激励频率在附近有一定范围的变化s1、s2

应当相距远些x1x2m2k1m1k2多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第三十五页，共86页。反共振点0123-6-4-2024共振点共振点00.10.20.30.40.50.60.70.80.40.60.811.21.41.61.822.22.4随变化曲线当值较大时，s1、s2相距较远k2、m2

变大动力吸振器变得笨拙措施：采用阻尼动力吸振器多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第三十六页，共86页。系统的强迫振动方程：有阻尼动力吸振器采用直接法：稳态响应振幅（复振幅）：x1x2m2k1m1k2c多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第三十七页，共86页。稳态响应振幅（复振幅）：主系统复振幅：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第三十八页，共86页。主系统复振幅：取模，得实振幅：引入下列符号：得无量纲表达：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第三十九页，共86页。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动取：第四十页，共86页。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416分析：当时，系统中无阻尼，两个共振频率点s=0.895，1.12。当s=1

时，反共振，主系统振幅为零。多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第四十一页，共86页。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416当时，系统变成单自由度系统，共振点s=0.976。多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第四十二页，共86页。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416当和时，可见当s＝1时，主系统振幅并不为零，但是和无阻尼系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降。多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第四十三页，共86页。无论阻尼取多少，所有曲线都过S、T两点。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416实际设计有阻尼动力吸振器时，一般选取适当的m2

与k2，使曲线在S和T点有相同的幅值，并且适当选取阻尼，使曲线在S、T两点具有水平切线。ST多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第四十四页，共86页。模态叠加法模态叠加法也可用于分析多自由度系统的受迫振动前面讨论的外部激励为简谐激励，因此可采用直接法进行求解

当外部激励不是简谐激励时，则不能用直接法，此时可采用模态叠加法。下面先用模态叠加法对简谐激励的多自由度系统的受迫振动进行求解，以进一步阐述多自由度系统的共振特性。然后采用模态叠加法对任意外部激励时系统的响应进行求解多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第四十五页，共86页。考虑简谐激励时的情况n自由度系统的动力方程：利用：展开：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动解释如下第四十六页，共86页。考虑简谐激励时的情况n自由度系统的动力方程：利用：展开：模态坐标解：激励频率与第阶固有频率之比

各坐标的受迫振动规律完全类似于单自由度系统的受迫振动规律利用，得：

多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第四十七页，共86页。n自由度系统的动力方程：稳态解：可看出：第j

阶主坐标的受迫振动幅度将急剧增大，导致第j

阶频率的共振。当时系统具有n

个不相等的固有频率时，可以出现n

种不同频率的共振。多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第四十八页，共86页。例：三自由度系统求：系统稳态响应2kmmmk2kkx1x2x3P1(t)多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动解：作用力方程：正则振型矩阵：正则坐标下的激振力：第一个正则方程：同理可解出：第四十九页，共86页。外部激励正则振型矩阵：激振频率接近第二阶固有频率，在稳态响应中第二阶振型占主要成分。2kmmmk2kkx1x2x3P0(t)多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第五十页，共86页。考虑任意外部激励时的情况

n

自由度系统：做变换:可写为：正则坐标初始条件：

：正则模态矩阵

得:解为：在得到后，利用得出原系统的解。模态广义力多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第五十一页，共86页。利用主模态坐标求解做变换:可写为：模态坐标初始条件：

：主模态矩阵

得:解为：在得到后，利用得出原系统的解。模态广义力多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动

n

自由度系统：第五十二页，共86页。例：在第一个和第四个质量上作用有阶梯力F零初始条件求：系统响应kmmmmkkF(t)F(t)多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动动力方程：解：第五十三页，共86页。动力方程：正则模态矩阵：利用:得:展开，得：模态力多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第五十四页，共86页。当i=1当解为：矩阵形式：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第五十五页，共86页。原系统响应：多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动第五十六页，共86页。教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动第五十七页，共86页。有阻尼的多自由度系统多自由度系统的阻尼一般粘性阻尼系统的响应多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统第五十八页，共86页。多自由度系统的阻尼任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统第五十九页，共86页。有阻尼的n

自由度系统的强迫振动方程为：阻尼矩阵元素

cij

阻尼影响系数物理意义：是使系统仅在第j

个广义坐标上产生单位速度而相应于第i

个坐标上所需施加的力阻尼力为广义速度的线性函数表示为：阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统第六十页，共86页。有阻尼的n

自由度系统的强迫振动方程为：假定已经得到无阻尼系统下的模态矩阵及谱矩阵做坐标变换：有：即：其中：模态阻尼矩阵虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，但阻尼矩阵一般非对角阵，因而主坐标Y下的强迫振动方程仍然存在耦合。多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统第六十一页，共86页。

非对角例如：三自由度系统c2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统第六十二页，共86页。若非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列近似处理方法。(1)忽略矩阵中的全部非对角元素第i

阶主振型的阻尼系数第i

阶振型阻尼或模态阻尼做变换：n

自由度系统：令：第i

阶振型阻尼比或模态阻尼比多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统第六十三页，共86页。（2）将矩阵C

假设为比例阻尼假定C

有下列形式：a,b：为常数代入中对角阵相对阻尼系数：（3）由实验测定n阶振型阻尼系数多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统第六十四页，共86页。例题两自由度阻尼系统分析对初条件下的响应：1.2.3.第六十五页，共86页。无阻尼振型阻尼可对角化取变换{q}=[F]{x}

解耦方程第六十六页，共86页。初条件模态坐标下响应其中第六十七页，共86页。回物理坐标下第六十八页，共86页。第二个初条件模态响应式中第六十九页，共86页。回物理坐标第七十页，共86页。对第三个条件模态坐标下的响应第七十一页，共86页。回物理坐标第七十二页，共86页。对简谐激励的强迫响应如同单自由度情形,稳态分析可不考虑初条件例题两组激励:

第七十三页，共86页。解:阻尼矩阵其他参数同前例阻尼矩阵恰好对角化对第一组激励解耦方程第七十四页，共86页。稳态解第七十五页，共86页。q1(t)和q1(t)频率相同=w合成后仍以w的简谐振动给定频率比就可以计算出响应计算s1=0.80,0.90,0.95,1.00四组第七十六页，共86页。幅频特性