初高中数学暑假衔接材料：第11讲 函数的单调性（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第11讲函数的单调性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：图像法求单调区间题型2：单调性判定与证明题型3：复合函数单调性题型4：由单调性求参数题型5：单调性解不等式题型6：单调性比较大小题型7：单调性求最值题型8：由最值求参数题型9：恒成立与能成立问题题型10：平均变化率04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航单调性的定义单调区间单调性的证明单调性的判定复合函数单调性函数的最值1.理解增函数、减函数的定义，明确函数单调性与单调区间的概念，能结合函数图像直观认识函数的增减变化规律。2.掌握用定义证明函数单调性的标准步骤（取值、作差变形、定号、下结论），能规范完成简单函数单调性的证明。3.掌握函数单调性的常用判定方法（图像法、性质法、复合函数“同增异减”法则），能准确求出函数的单调区间。4.理解函数最大值、最小值的概念，能结合函数的单调性求解函数在指定区间上的最值与值域。5.能运用函数的单调性比较函数值大小、解函数不等式，掌握含参函数单调性问题的分类讨论思路。学习重点：函数单调性的定义与几何意义，单调性的判定与证明方法，利用单调性求解函数的单调区间与最值。学习难点：函数单调性的严格定义证明，复合函数单调区间的求解，含参函数的单调性讨论与综合应用。

知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的单调性1.单调性的定义增函数减函数定义一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看,图象是上升的自左向右看,图象是下降的温馨提示：定义中的有以下3个特征（1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间．温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质．（2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等．（3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性．3.复合函数的单调性一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”增增增增减减减增减减减增即时即练下列图象表示的函数为减函数的是（

）A．

B．

C．

D．

知识点02最值定义几何意义最大值一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最大值．函数的最大值是图象最高点的纵坐标最小值一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最小值．函数的最小值是图象最低点的纵坐标注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素．（2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值．（3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值．即时即练已知.(1)用定义证明fx在区间上是增函数；(2)求该函数在区间上的最大值与最小值.知识点03直线的斜率及平均变化率1.直线的斜率一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称为直线的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在．（1）直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度．（2）若记，相应的，则当时，斜率可记为．2.平均变化率一般地，当时，称为函数在区间时)或时)上的平均变化率．（1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立；（2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立．即时即练函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．m1，m2的大小无法确定

题型1：图像法求单调区间【典例1-1】（2026·高一·广东潮州·阶段检测）已知函数y=fx的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（

）A．fx的单调递减区间为B．fx的最大值为C．fx的最小值为D．fx的单调递增区间为【典例1-2】（2026·高一·山东德州·开学考试）若函数fx的图象如图所示，则其单调递增区间是（

A． B．C． D．【变式1-1】函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（

）

A．定义域为；单调递增区间为B．定义域为；单调递增区间为，C．定义域为；单调递增区间为D．定义域为；单调递增区间为【变式1-2】函数y=fx的图象如图所示，其单调递增区间是（

A． B． C． D．【变式1-3】（2026·高二·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（

）A． B．和 C． D．题型2：单调性判定与证明【典例2-1】已知函数，证明：函数fx在上单调递减；【典例2-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论．(2)求该函数在区间上的最大值与最小值．【变式2-1】（2026·高一·广西钦州·期末）已知函数．(1)证明fx在上单调递增；(2)设，若gx在上满足恒成立，求实数k的取值范围．【变式2-2】（2026·高一·云南普洱·期末）已知函数fx是一次函数，且．(1)求fx(2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明．【变式2-3】已知函数，判断并证明函数fx在上的单调性.题型3：复合函数单调性【典例3-1】（2026·高一·全国·期末）函数的增区间是______．【典例3-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）函数的单调递减区间是________．【变式3-1】（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是_____．【变式3-2】（2026·高一·福建泉州·期中）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______.【变式3-3】（2026·高一·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________.题型4：由单调性求参数【典例4-1】（2026·高一·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是_____．【典例4-2】（2026·高二·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________【变式4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是________.【变式4-2】（2026·高一·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数a的取值范围为______．【变式4-3】（2026·高一·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是__________.题型5：单调性解不等式【典例5-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知fx是定义在上的增函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2026·高一·山西晋中·期中）已知函数y=fx是定义在R上的减函数，且，则不等式的解集为（

）A．−∞,0 B． C． D．【变式5-1】（2026·高一·天津·期中）若函数fx是定义域为R，且对，且，有，不等式的解集为（

）A． B．0,+∞ C． D．【变式5-2】（2026·高一·陕西延安·期中）已知定义在R上的函数fx满足对任意的x1、，当x1≠x2时，成立，则不等式A． B．C． D．【变式5-3】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（

）A． B． C． D．题型6：单调性比较大小【典例6-1】（2026·高一·江苏宿迁·期中）已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【典例6-2】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知，且fx在0,2上单调递减，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【变式6-1】（2026·高一·上海徐汇·月考）设，奇函数fx在上减函数，且有最小值2，则函数（

）A．是上的减函数且最大值 B．是上的增函数且最小值C．是上的减函数且最大小值 D．是上的增函数且最大值【变式6-2】（2026·高一·四川南充·期中）已知函数，且不等式fx≥0的解集为，若，，，则m，n，p的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．题型7：单调性求最值【典例7-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知定义在R上的函数，且，(1)求的值；(2)利用定义证明函数y=fx在区间上单调递减；(3)求函数y=fx在区间的最大值和最小值.【典例7-2】（2026·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数fx，满足当x=3时，fx取得最大值5，且(1)求二次函数fx(2)若，求函数fx的最大值；(3)已知函数的值域为，求实数k的取值范围.【变式7-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数fx满足．(1)证明：；(2)证明：fx在上单调递减，并求fx在上的值域．【变式7-2】（2026·高一·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数单调性的定义证明：函数fx在上单调递增；(2)求函数fx在区间上的最大值和最小值.题型8：由最值求参数【典例8-1】设函数，若是fx的最小值，则实数t的取值范围是___________.【典例8-2】已知二次函数，当时，函数有最大值2a，则a=______．【变式8-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为______.【变式8-2】已知函数在区间上的值域为0,1，则______．【变式8-3】函数在上的最大值为，则a=______.【变式8-4】（2026·高一·上海·期末）已知函数的最小值为−3，则a=_____题型9：恒成立与能成立问题【典例9-1】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，a∈R，(1)当时，求关于不等式的解集(2)当a=1时，若对任意1，不等式恒成立，求实数k的取值范围(3)若对任意恒成立，则实数x的取值范围【典例9-2】（2026·高一·安徽淮北·期末）已知二次函数f(x)过点，点(0,1)，点(1)求f(x)的解析式；(2)若，对任意恒成立，求实数k的取值范围．【变式9-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数．(1)，求实数m的取值范围；(2)，使得，求实数m的值；(3)，求实数n的取值范围．【变式9-2】（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数的定义域为．(1)请用单调性定义证明：fx(2)当x>0时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【变式9-3】（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知函数．(1)若不等式的解集是−1,4，求a，b(2)解关于x的不等式；(3)若函数fx的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【变式9-4】已知函数，，(1)判断并证明函数fx(2)若存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围．【变式9-5】（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，．(1)若，方程有解，求实数m的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．题型10：平均变化率【典例10-1】（2026·高二·陕西·阶段检测）函数从1到2的平均变化率为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例10-2】（2026·高一·北京海淀·期中）已知函数fx=x2，则fxA．1 B． C．3 D．4【变式10-1】（2026·高一·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【变式10-2】函数，当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)的平均变化率为（

）A．2.1 B．1.1 C．2 D．1

1．（2026·高一·四川德阳·期末）已知定义在R上的函数fx为增函数，则关于m的不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2026·高一·江西吉安·期中）已知函数fx满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2026·高一·天津东丽·期中）已知fx在上是减函数，，若，则下列正确的是（

）A． B．C． D．以上都可能4．（2026·高一·浙江·期中）设，若不等式fx≥0的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（

）A．4 B． C． D．6．（2026·高二·北京·期末）对于以下四个函数：①y=x；②；③；④y=1x．在区间上函数的平均变化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④7．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数m的最小值是（

）A． B． C．3 D．−39．（2026·高一·湖南·阶段检测）设函数，若，且x1≠x2，使成立，则实数a的取值范围是（

A． B． C． D．10．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是R上的单调函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，且对任意的（且a<b），总存在，使得，则（

）A． B． C． D．13．（多选题）（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数，则（

）A． B．C．fx在区间0,1上单调递减 D．fx在区间14．（多选题）（2026·高一·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（

）A．f(x)的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数在的值域为D．函数的值域为15．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（

）A．fxB．当，fx的最大值为1C．不等式的解集为D．fx的单调递减区间为16．（多选题）（2026·高一·福建漳州·期末）定义域为的函数fx满足，则（

）A． B．fx为增函数C． D．17．（2026·高一·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________.18．（2026·高一·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则