初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第11讲 绝对值不等式和三角不等式（原卷版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第11讲绝对值不等式和三角不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航绝对值绝对值不等式三角不等式1.绝对值的定义及其几何意义。2.各种绝对值不等式的解法。3.三角不等式的应用及其推广。学习重点：绝对值的意义、因式分解、不定方程或者方程组。学习难点：运用绝对值的意义来解含绝对值的不等式，利用三角不等式来求参数的最值或者范围。1.解绝对值不等式的思想是化去绝对值符号，转化为整式不等式（主要是一次、二次不等式）解之；【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性.2.绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何意义法；②平方法；③分段讨论法.3.含参数问题一定注意几何意义，数轴上标根以及最后确定解集时，要注意区间的开闭.4.绝对值三角不等式的变形种种：（1）；（2）；（3）.（注意不等式成立的条件）5.三角不等式中的恒成立与有无解问题的方法：分离常数法.6.常见误区：注意三角不等式成立的条件与拓展结论.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01利用几何意义法解不等式绝对值的几何意义即实际含义，就是数轴上两点之间的距离；所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解.【经典例题】【例1】不等式的解集是（）A．B．C．D．【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案.【例2】解不等式【技巧归纳】去绝对值符号之前，可适当对绝对值内的代数式进行化简，化简后可较容易判断符号或确定零点.【例3】已知，（）（A）（B）（C）（D）【技巧归纳】其中的分式不等式应移项、通分再求解，最后的解为两个不等式的交集.【对点练习】【练习1】不等式的解集为（）A．B．C．D．【练习2】若集合，则__________.【练习3】若，化简的结果是（）（A）（B）（C）（D）知识点02利用平方法解不等式当不等式的两边都出现绝对值（或恒大于等于零）时，就可以利用不等式可两边平方的性质来去掉绝对值符号：.【经典例题】【例4】【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案.【例5】不等式的解集是__________.【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案.【对点练习】【练习4】解不等式【练习5】解不等式知识点03利用分类讨论法解不等式一般地，当无法直接去绝对值，或者出现多个绝对值符号时，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.【经典例题】【例6】不等式的解集是__________.【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案.【例7】解不等式【技巧归纳】解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义；二是根据绝对值的性质：或.【例8】不等式的解是__________.【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案.【例9】解不等式【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接套用前面给的公式，然后进行化简就可以得出答案.【例10】解不等式【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案.【例11】解不等式【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案.【例12】解不等式【技巧归纳】去绝对值符号之前，直接进行分类讨论，然后进行化简就可以得出答案.【对点练习】【练习6】解不等式【练习7】解不等式【练习8】不等式组的解集是（）(A)(B)(C)(D)【易错警示】本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方；另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号，当然本题还可用特殊值排除法求解.【练习9】解不等式【练习10】不等式的解集是（）A．B．C．D．【技巧归纳】去绝对值符号之前，不能直接套用公式的，应该分类讨论，按照分x≥0和x<0两种情况，分别解不等式，进而可求出答案.知识点04含参数的不等式含参数的绝对值不等式分为三类：①给定解集求参数；②简单恒成立问题；③讨论参数取值解不等式；其解决方法都可以利用前面三种方法来进行求解，有时也可以利用参变分离、数形结合的方法来简化计算.【经典例题】【例13】关于的不等式的解集是[-1,5]，那么的值是（）()()()()【技巧归纳】将形如ax+1≤b转化为−b≤ax+1≤b，再分类讨论解出x的取值集合，利用集合相等的概念解二元一次方程组即可求出a，【例14】若不等式的解集为全集，求实数的求值范围.【技巧归纳】利用绝对值不等式分段求解的方法，设y=|x+1|+|x−1|求得实数m的取值范围即可.【例15】已知（1）当时，求不等式的解；（2）当时，求实数的取值范围.【易错警示】（1）首先分别解绝对值不等式与一元二次不等式，再根据a的取值范围，求两不等式的解集的交集，即可得解；（2）由解集为∅，即−2+a，2+a【对点练习】【练习11】已知不等式的解集为，求的值.【练习12】已知，使不等式在实数集上的解集不是空集，求的取值范围.【练习13】设全集（是常数），且，则（）A．B．C．D．知识点05三角不等式1.定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立.2.推广：（1）如果、是实数，那么（由定理通过代换可以推得）；（2）如果、、是实数,那么，当且仅当时，等号成立.【经典例题】【例16】设不等式（常数）的解集是，设不等式（常数）的解集是，则（）A． B． C． D．【技巧归纳】由此题的条件，结合三角不等式，可知，从而得到，即可得解.【例17】已知、是实数，写出不等式等号成立的所有条件【技巧归纳】根据，，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解.【例18】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为______.【易错警示】注意：题设中的关键词“存在”与“成立（有解）”并存，这与“恒成立”本质不同，千万不要混淆；再利用三角不等式求出的最小值为3，即得解.【对点练习】【练习14】若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是（）A．(－∞，5) B．[0，5)C．(－∞，1) D．[0，1]【练习15】代数式y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为1.（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为.2.（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为.3.（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式.4.（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为.5.（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为6.（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是.7.（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为．8.（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意的实数，的最小值为．9.（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是.10.（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是．11.若关于x的不等式对于任意恒成立，则实数a的取值范围是________．12.不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）13.不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）14.不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）15.若集合,则（）（A）（B）（C）（D）16.不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）17.不等式的解集是（）A.B.C.D.18.不等式的解集是（）A．B．C．D．19.若不等式的解集为，则实数等于（）A.B.C.D.20.（24-25高一上·上海·期中）（1）解关于的不等式组（2）设，证明：若是奇数，则是奇数.21.（24-25高一上·上海·期中）已知函数满足(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．22.解不等式2