建构倍比关系模型：苏教版三年级数学上册“倍的认识”教案

建构倍比关系模型：苏教版三年级数学上册“倍的认识”教案

一、教材与学情深度析解

“倍”的概念是苏教版小学数学三年级上册第四单元“两、三位数除以一位数”中的重要组成部分，通常编排在笔算除法学习之前。这一安排具有深刻的数学逻辑与认知心理学依据。“倍”的本质是刻画两个数量之间的一种比较关系，它既是除法意义应用的具体情境（等分除与包含除），又是后续学习分数、比、比例等概念的认知基石。从学生认知发展序列来看，经历了低年级“比多少”（差比关系）的直观感知后，“倍”的学习标志着学生正式从加减运算思维进入乘除运算思维，开始用“倍”来描述两个数量之间的“率”关系，这是学生数感与模型思想发展的一次飞跃。

三年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。其思维特点是以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维发展。在学习本课前，学生已熟练掌握表内乘除法，具备“几个几”的乘法认知结构，能够进行简单的等分活动。然而，他们的认知难点在于：第一，容易将“倍”与“个”混淆，即关注绝对数量的差值而非比率关系；第二，受“比多少”的强认知干扰，难以跳出“差比”思维定式；第三，从具体实物操作到抽象数学符号“倍”的概括过程中存在障碍；第四，在非整数倍（一个数不是另一个数的整数倍）情境中容易产生认知冲突。

因此，本课的教学核心绝非简单教会学生套用“一个数÷另一个数”的算法，而是引导学生经历从具体情境中抽象出“倍”的含义、建构“倍”的直观模型、理解“倍”作为一种关系的全过程，实现从“数量”到“关系”的认知跃迁，为除法意义的理解铺设感性通道。

二、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.结合具体情境，理解“倍”的含义，知道“求一个数是另一个数的几倍”就是求一个数里面包含几个另一个数。

2.能利用学具操作、图形表征等方式，初步建立“倍”的直观模型。

3.能正确列式解答“求一个数是另一个数的几倍”的简单实际问题，并能够用规范的语言进行表述。

（二）过程与方法

1.经历从实际情境中抽象出“倍”的概念的过程，通过观察、操作、比较、圈画、交流等活动，积累丰富的数学活动经验。

2.在解决问题的过程中，初步学会用图形、符号等直观方式表征数量关系，发展几何直观能力。

3.通过变式练习与对比分析，体会“倍”与“几个几”、“倍”与“差”之间的联系与区别，渗透模型思想与类比思想。

（三）情感态度与价值观

1.在探究“倍”的关系的过程中，感受数学与生活的密切联系，体验数学学习的乐趣。

2.在小组合作与交流中，敢于发表自己的见解，倾听他人的意见，培养合作意识与科学探究精神。

3.通过解决富有挑战性的问题，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

三、教学重难点

教学重点：充分经历“倍”的概念形成过程，理解“倍”的含义，初步建立“倍”的认知模型。

教学难点：理解“倍”表示两个数量之间的一种关系，而非一个具体的数量；能主动沟通“倍”与之前所学“几个几”乘法模型的内在联系。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含主题情境图、动态演示过程、分层练习题组）；实物投影仪；定制化学习单（含操作记录、圈画区、思维导图雏形）；磁贴教具（不同颜色的圆片、小棒图）。

2.学生准备：每人一套学具（如小棒、圆片、三角形卡片等）；直尺；彩笔。

五、教学过程

（一）创设情境，引发认知冲突，聚焦核心问题

1.情境导入，激活旧知。

课件出示校园劳动实践基地情境图：第一块地种了2棵向日葵，第二块地种了6棵向日葵。

师：同学们，从图中你知道了哪些数学信息？你能用学过的知识比较一下这两块地向日葵的数量吗？

预计学生回答：第二块地比第一块地多4棵；第一块地比第二块地少4棵；第二块地的棵数是第一块地的3倍（若有学生提前说出，则追问“你是怎么想的”，将其想法作为宝贵资源）。

师：刚才同学们用“多多少”或“少多少”来比较，这是我们以前学习的“差比”。今天，我们来学习一种新的比较方法。

2.操作感知，初步建模。

师：请拿出你的小棒，在第一行摆2根，代表第一块地的向日葵。在第二行摆6根，代表第二块地的向日葵。怎样摆能更清楚地看出它们之间的关系？

引导学生将第二行的6根小棒，每2根为一份进行整理。教师巡视，选取典型摆法投影展示。

师：像这样，把第二行的6根小棒，每2根圈成一份，可以圈出几份？

生：3份。

师：我们就可以说，第二行小棒的根数是第一行的3份。在数学上，当两个数量进行比较时，如果像这样，一个数里面包含了几个另一个数，我们就说这个数是另一个数的几“倍”。今天我们就来认识“倍”。（板书课题：倍的认识）

设计意图：从熟悉的“差比”引入，制造认知冲突，自然引出新的比较需求。通过学具操作，将“6里面有3个2”的包含关系具体化、可视化，为“倍”的概念提供坚实的物质表象支撑，实现从“份”到“倍”的初步语言转换。

（二）多元表征，深化概念理解，沟通知识联系

1.语言表征，规范表达。

师：现在谁能用“倍”来说一说这两行小棒的关系？

引导学生完整表述：把第一行的2根小棒看作1份，第二行的6根小棒里面有这样的3份，所以第二行小棒的根数是第一行的3倍。

教师强调：“看作1份”的标准量是关键。同桌互相说一说。

2.图形表征，抽象概括。

课件将小棒图抽象成几何图形（如圆形）。

第一行：○○

第二行：○○○○○○

师：现在没有小棒了，我们用圆来代替。你还能看出第二行圆的个数是第一行的几倍吗？你是怎么看的？

生：把第一行的2个圆圈起来看作1份，第二行有3个这样的2，就是3份，所以是3倍。

师：你能在第二行里圈一圈，让大家一眼就看出是3倍吗？

学生在学习单上操作，课件动态演示圈画过程：每2个圆为一个圈，圈出3份。

师：圈的过程就是在找“几个几”。第二行有3个2，我们就说第二行是第一行的3倍。

3.算式表征，建立联系。

师：这种“倍”的关系，能用我们学过的算式表示吗？

引导学生思考：求6里面有几个2，用什么方法计算？

生：用除法计算，6÷2=3。

师：这个3表示什么意思？（3个2；3份；3倍）。“倍”不是单位名称，它表示的是两个数之间的关系，所以得数后面不写“倍”字。但我们在口头表达和书写结论时要写上。

完成板书：6÷2=3→6是2的3倍。

师：谁能结合这幅图，完整地说一说这个算式的意思？

生：把2个圆看作1份，6个圆里面有这样的3份，也就是6里面有3个2，所以6是2的3倍，用除法算6÷2=3。

4.变式对比，稳固认知。

变式一：改变标准量。

第一行：○○○（3个）

第二行：○○○○○○（6个）

师：现在谁是谁的几倍？先圈一圈，再和同桌说说，最后写出算式。

学生自主探究，汇报：把第一行3个圆看作1份，第二行6个圆里面有2个3，所以6是3的2倍。算式：6÷3=2。

变式二：改变比较量。

第一行：○○（2个）

第二行：○○○○○○○○（8个）

师：独立完成。汇报：8里面有4个2，8是2的4倍。算式：8÷2=4。

变式三：相等量的倍数关系。

第一行：○○○○（4个）

第二行：○○○○（4个）

师：有趣的情况出现了。现在第二行是第一行的几倍？圈一圈，想一想。

引导学生发现：4里面有1个4，所以4是4的1倍。

师：一个数是它自身的1倍。这在以后的学习中很有用。

变式四：非整数倍的渗透（作为弹性内容）。

第一行：○○○（3个）

第二行：○○○○○○○（7个）

师：7是3的几倍呢？还能正好圈出整份吗？

引导学生发现：7里面有2个3，还多1个。所以我们可以说7是3的2倍多一些，或者准确地说，7除以3商2余1。这为以后学习非整数倍（分数、小数）埋下伏笔。

设计意图：通过“语言描述—图形圈画—算式表达”的三重表征，帮助学生从动作感知、形象思维逐步过渡到抽象思维。多重变式练习，旨在让学生在不同情境中识别“倍”的关系的本质，理解“标准量”的变化对倍数的影响，并通过相等量倍数为1、非整数倍的初步感知，拓展概念的认知边界，防止思维僵化。

（三）迁移应用，解决实际问题，内化数学模型

1.基础应用，巩固算法。

课件出示教材例题：蓝花有2朵，黄花有6朵，红花有8朵。

（1）黄花是蓝花的几倍？

学生独立列式：6÷2=3。口答：黄花是蓝花的3倍。

（2）红花是蓝花的几倍？

学生独立列式：8÷2=4。口答：红花是蓝花的4倍。

师：都是和蓝花比，为什么倍数不一样？

生：因为黄花的朵数、红花的朵数不同，它们里面包含的蓝花的份数就不同。

师：看来，和谁比很重要，这个“谁”就是标准，是1份的量。

2.逆向与综合应用，发展思维。

问题一：已知倍数，求比较量。

师：如果蓝花还是2朵，黄花的朵数是蓝花的5倍，黄花有多少朵？你能用学具摆出来，或用图画出来吗？

学生操作：先摆2朵蓝花（作为1份），黄花要摆出这样的5份，也就是5个2朵，共10朵。

师：这其实是我们学过的什么问题？（求几个几是多少）用什么方法？（乘法）算式：2×5=10（朵）。原来，“求一个数的几倍是多少”就是求几个几是多少，用乘法。

问题二：信息甄选与问题提出。

课件提供多条信息：小明有5本故事书，科技书的本数是故事书的3倍，漫画书有15本，连环画比故事书少2本。

师：根据这些信息，你能提出关于“倍”的数学问题并解答吗？

如：科技书有多少本？（5×3=15本）漫画书的本数是故事书的几倍？（15÷5=3）你发现了什么？（科技书和漫画书都是15本，但它们与故事书的关系不同，一个是3倍，一个是…哦，这里也是3倍，巧合。）这组练习沟通了“求一个数是另一个数的几倍”（除法）和“求一个数的几倍是多少”（乘法）之间的逆运算关系，构建完整的“倍”的知识网络。

3.生活拓展，体会价值。

师：“倍”在生活中无处不在。你能举例说一说吗？

学生可能会说：我的年龄是弟弟的2倍；爸爸的体重是我的3倍；教室黑板的长度是课桌长度的几倍……

课件展示生活中的“倍”：商品包装上的“加量50%”（即1.5倍）、地图比例尺、杠杆原理中的力臂关系等图片，让学生体会数学的广泛应用。

设计意图：应用环节遵循“巩固—变式—拓展”的逻辑。从直接应用模型解决问题，到逆向、开放性问题，旨在培养学生思维的灵活性与深刻性。联系生活实际，让学生感受到“倍”是一个有意义的数学模型，而非枯燥的算式，提升数学应用意识。

（四）回顾反思，建构知识体系，升华思想方法

1.梳理总结。

师：今天这节课我们认识了什么？（倍）什么是“倍”？怎么求一个数是另一个数的几倍？

引导学生用自己的语言总结：两个数比较，把其中一个数作为1份的标准，看另一个数里面有几个这样的1份，就是它的几倍。求一个数是另一个数的几倍，就是求一个数里面包含几个另一个数，用除法计算。

师：我们是怎么认识“倍”的？（摆一摆、圈一圈、说一说、算一算）从具体事物到图形，最后用算式表示，这是一种重要的数学学习方法。

2.对比沟通。

课件呈现：

比较方式 关系 关键词 方法

比多少 相差关系 多、少 减法

求倍数 倍数关系 倍 除法

师：“倍”和以前学的“比多少”有什么不同？

引导学生得出结论：“比多少”关心的是两个数量相差多少，结果是另一个具体的数量；“倍”关心的是一个数量是另一个数量的几份（几倍），结果表示的是两个数量之间的一种比率关系。

3.自我评价。

师：请完成学习单上的“学习反思区”。

（1）我今天学到了__________。

（2）我通过__________方法理解了“倍”。

（3）我能解决__________问题。

（4）我还有__________疑问或想进一步研究__________。

设计意图：通过系统的回顾、梳理与对比，将新知识“倍”纳入学生已有的认知结构，明确其与“比多少”的本质区别，完成对“比较”概念认知的升级。自我评价环节关注学生的元认知发展，培养其反思习惯与自主学习能力。

六、分层作业设计

（一）基础巩固题（全员必做）

1.画一画，填一填。

（1）△△△

画○，○的个数是△的2倍：。

算式：

（2）☆☆☆☆☆☆

圈一圈：☆☆☆☆☆☆，☆的个数是★的3倍，★有（）个。

算式：__________

2.看图列式计算。

（图示：第一行4只小鸡，第二行12只小鸭）

问题：小鸭的只数是小鸡的（）倍。

算式：__________

3.解决问题。

小明踢了9个毽子，小芳踢了3个毽子。小明踢的个数是小芳的几倍？

（二）能力提升题（大部分学生选做）

1.想一想，填一填。

（1）18是6的（）倍，18是9的（）倍，18是3的（）倍。

（2）一个数是5，另一个数是它的4倍，另一个数是（）。

（3）24是（）的6倍，24是（）的8倍。

2.解决问题。

学校合唱队有女生24人，男生8人。

（1）女生人数是男生的几倍？

（2）如果再来4名男生，现在女生人数是男生的几倍？

（3）你还能提出其他关于倍数的问题并解答吗？

（三）思维拓展题（学有余力学生选做）

1.探究题。

爸爸今年35岁，儿子今年5岁。

（1）今年爸爸的年龄是儿子的几倍？

（2）去年爸爸的年龄是儿子的几倍？

（3）明年爸爸的年龄是儿子的几倍？

（4）观察（1）（2）（3）的结果，你有什么发现？为什么？

2.开放题。

用“12”、“3”、“倍数”这三个词，编一个数学小故事，并写出相关的算式和结论。

七、板书设计

倍的认识——求一个数是另一个数的几倍

核心概念：一个数里面有几个另一个数→就是它的几倍（关系）

操作感知：

第一行：||（2根）→标准（1份）

第二行：||||||（6根）→每2根一份，有3份

多元表征：

语言：6里面有3个2，6是2的3倍。

图形：○○圈“1份”

○○○○○○圈出“3份”

算式：6÷2=3

（比较量）（标准量）（倍数）

方法：求一个数是另一个数的几倍→用除法计算

联系：一个数的几倍是多少→用乘法计算（几个几）

对比：“倍”（比率关系，除法）vs“比多少”（相差关系，减法）

八、教学评价设计

本课教学评价贯穿于教学全过程，采用多维、发展的评价方式。

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在操作、讨论、汇报环节的参与度、合作意识、语言表达的规范性与逻辑性。教师使用简易记录符号（如√、△、○）记录典型表现。

2.3.操作评价：通过巡视学生摆学具、圈图形，评价其是否理解“1份