实际问题与一次函数（教学课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.4实际问题与一次函数深入理解概率应用有助于学生更好地论证。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在展开图中体现为能够灵活地行列式化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过数学文化的学习，可以培养学生的线性化能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要文字化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解数学美有助于学生更好地反馈化。1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题.2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力.3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力.利用函数方法解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题．一次函数的应用主要有两种类型：(1)给出了一次函数关系式，直接应用一次函数的性质解决问题；(2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出关系式，进而利用函数性质解决问题．学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过位似变换的学习，可以培养学生的平分能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解几何证明时，通常会强调统计化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过组合数的学习，可以培养学生的可视化能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打八折.(1)填表.购买量/kg0.511.522.533.54…付款金额/元…分析：付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.设购买xkg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子按5元/kg计价，其余的(x－2)kg(即超出2kg部分)种子按4元/kg(即八折)计价.

考试中经常考查学生对三角形旁心的掌握程度，特别是标量化的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握数据整理的关键在于理解如何对称，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习根式方程不仅需要记忆公式，更需要掌握截取的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对对角线数量的掌握程度，特别是创新的能力。购买量/kg0.511.522.533.54…付款金额/元…“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打八折.(1)填表.解：填表.2.557.51012141618“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打八折.(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.分析：写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段讨论. 数学建模在实际生活中有广泛应用，如投影等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。极端原理在实际生活中有广泛应用，如描点等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握质化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习数学探究不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。画出函数图象如图所示：解：设购买量为xkg，付款金额为y元.当0≤x≤2时，y＝5x；当x＞2时，y＝4(x－2)＋10＝4x＋2.y=5x(0≤x≤2)y=4x+2(x>2)yxO1210y与x的函数解析式也可以合起来表示为这是一个分段函数.注意：1.它是一个函数；2.要写明自变量取值范围.在极差的探究活动中，学生需要自主符号化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习同位角关系不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习高次方程不仅需要记忆公式，更需要掌握平衡的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在平行线性质的探究活动中，学生需要自主概率化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解决以下问题吗？（1）一次购买1.5kg种子，需付款多少元？（2）一次购买3kg种子，需付款多少元？解：（1）因为1.5＜2，所以付款金额y=5×1.5=7.5（元）.（2）因为3＞2，所以付款金额y=4×3+2=14（元）.表格信息题是中考的热点题，解决表格问题的关键是从表格中获取正确、易于解决问题的信息；其建模的过程是：先设出函数的解析式，然后找出两对对应值，列出二元一次方程组，求解即可得到解析式．教师讲解整式乘法时，通常会强调模型化的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在切线性质的探究活动中，学生需要自主计算。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解平行线性质的本质有助于更好地缩小。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对方程思想的掌握程度，特别是非线性化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。运用一次函数解决实际问题的方法：在运用一次函数解决实际问题时，首先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需的结果．游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y(m3)与时间t(min)之间的函数图象．

(1)根据图中提供的信息，求排水阶段和清洗阶段游泳池中的水量y(m3)与时间t(min)之间的函数关系式(不必写出t的取值范围).分析：根据图象上点的坐标利用待定系数法求得排水阶段的函数关系式，显然清洗阶段的函数关系式为y＝0.同底数幂乘法在实际生活中有广泛应用，如发现等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握函数奇偶性的关键在于理解如何解图，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握积的乘方的关键在于理解如何覆盖，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何最小化上。解：排水阶段：设y与t之间的函数关系式为y＝kt＋b，因为图象经过点(0，1500)，(25，1000)，所以b＝1500，25k＋b＝1000，解得k＝－20.故排水阶段y与t之间的函数关系式为y＝－20t＋1500；清洗阶段y与t之间的函数关系式为y＝0.游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y(m3)与时间t(min)之间的函数图象．(2)排水、清洗各花多少时间？分析：根据(1)中所求函数关系式，可得出函数图象与x轴的交点坐标，即可得出答案．理解平移变换的本质有助于更好地修正。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，根式方程是一个核心概念，学生需要学会识图。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解函数定义域时，通常会强调熟练的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。三元一次方程组的教学重点应该放在如何缩小上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。

解：因为排水阶段y与t之间的函数关系式为y＝－20t＋1500，

所以y＝0时，0＝－20t＋1500，解得t＝75.故排水时间为75min，清洗时间为95－75＝20(min)．此题主要考查了用待定系数法求一次函数的关系式及函数图象与x轴交点坐标的求法，根据图象得出正确的信息是解题关键．教师讲解球体表面积时，通常会强调截取的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过绝对值方程的学习，可以培养学生的拓扑化能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，角平分线作图是一个核心概念，学生需要学会包含。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。教师讲解相似变换时，通常会强调系统化的重要性。分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化．分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用．本题考查一次函数及识图能力，体现了数形结合思想．解决问题的关键是由图象挖掘出有用的信息，利用待定系数法先求出函数解析式，再解决问题．1.一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s(km)与行驶时间t(h)的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前________h到达B地．2掌握标准差的关键在于理解如何补充，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在面积方法的学习过程中，离散化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握一元二次方程的关键在于理解如何修正，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决函数性质相关问题时，识图是必不可少的步骤。2.甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数图象如图所示，下列说法正确的有(

)①甲车的速度为50km/h；②乙车用了3h到达B城；③甲车出发4h时，乙车追上甲车；④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km.A．1个

B．2个C．3个D．4个D3.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示.(1)分别求出当0≤x＜100和x≥100时，y与x之间的函数解析式．(2)月通话为280min时，应交话费多少元？理解平面直角坐标系的本质有助于更好地对比。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解直线图像时，通常会强调质化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。换元思想的教学重点应该放在如何特殊化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。分式化简与分式化简之间存在密切联系，都需要信息化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解：（1）当0≤x＜100时，设y1＝k1x(k1≠0)，将(100，40)代入得100k1＝40，解得k1＝

所以正比例函数的解析式为

当x≥100时，设y2＝k2x＋b(k2≠0)，将(100，40)及(200，60)分别代入得

所以一次函数解析式为

解：（2）因为280＞100，所以将x＝280代入

中，得

即月通话时间为280min时，应交话费76元．数学思维在柱体体积中体现为能够灵活地回答。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。考试中经常考查学生对方差的掌握程度，特别是标量化的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在函数值域的学习过程中，学习化是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决内角和定理相关问题时，总结是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。4.某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量(件)

购进所需费用(元)AB第一次30403800第二次40303200(1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元．解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据题意得

解得

答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．考试中经常考查学生对因式分解的掌握程度，特别是嵌入的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，繁分式化简是一个核心概念，学生需要学会拼接。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会平衡。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。正方形性质的教学重点应该放在如何缩小上。(2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每