中国精算师金融数学第9章-金融衍生工具定价理论综合练习与答案

中国精算师

金融数学

第9章金融衍生工具定价理论综合练习与答案

一、单选题

1、某一股票当前的交易价格为10美元，3个月末，股票的价格将是11

美元或者9美元。连续计复利的无风险利率是每年3.5%,执行价格为10

美元的3个月期欧式看涨期权的价值最接近于（）美元。

A.1.07

B.0.54

C.0.81

D.0.95

E.0.79

【参考答案】:B

【试题解析】

在这种情形下,u=l.l,d=0.9,厂0.035,如果股票价格上升,则期权

价值为1美元,如果股票价格下降，则期权价值为0。价格上升的概率p

可以计算为（e1OO35X3/12—0.9）/（1.1.0.9）=0.5439。因此，该看涨期权

的价值是e°°35x3”义（0.5439X1）=0.54（美元）。

2、一只不分红的股票现价为37美元。在接下来的6个月里，每3个月股

价要么上升5%,要么下降5%。连续复合收益率为7%。计算期限为6个

月，执行价格为38美元的欧式看涨期权的价值为（）美元。

A.1.2342

B.1.1236

C.1.0965

D.1.0864

E.1.0145

【参考答案】：A

—1/23—

【试题解析】：

二叉树过程如图所示。

C**=max(0,407925-38)=2.7925

(S“=37X("5%)2=40.7925)

C*-=max(0.369O75-38)«O

(S.产37X(1，5%XIT%)二%加75)

C-=max@333925-38)=0

(SY37X(卜5%)=33925)

由条件可得,u=1.05,d=0,95,r=0,07,T=0,5,At=0.25o

由于这里的无风险利率为连续收益率，所以计算兀时采用

产1//_。95

7T=--------/=.八°八;二=0.67654

u-d1.()5-().95

77xf；**4-(1-7T)xC•J).67654x2.7925+(I-0.67654)xO

L=fit=05Ko,2$

e

=1.8565(美元)

77x＜；*'4-(I-7T)xC"0.67654xO+(I-0.67654)xO,、

C=-----------------7S----------------=------------------51mTB------------------;°

ee

_77xf：•(I-77)xC-_0.67654x0.K565♦(I-0,67654)x()

ee

=1.2342(美元)

3、某股票的当前价格为50美元，在今后两个3个月时间内，股票，'介格或

上涨6%,或下跌5%,无风险利率为每年5%(连续复利)。执行价格为

51美元，6个月期限的看涨期权的价格为()美元。

A.1.653

B.1.635

C.1.615

D.1.605

E.1.561

【参考答案】：B

—2/23—

【试题解析】：

①图的二叉树图描述了股票价格的变化行为。向上趋势的风险中性概

率P由下式给出：

——；——=0.5689

L06-0.95

对于最高的末端节点（两个向上的复合），期权收益为56.18—

51=5.18（美元），而在其他情况中的收益为零。因此，期权的价值为：

5.18X0.56892Xe-005x0,5=1.635（美元）

②结果同样可以通过价格树计算出来。看涨期权的价值为图9-2中每

个节点的下面的数值。

50

1.635

图二叉树图

4、某看涨期权的各项参数如下:

股票价格（S）75美元0（00.75

执行价格（人）70美元无风险利率0.05

例4）0.68距到期II时间1年

则用Blaek-Seholes期权定价模型计算欧式看涨期权的价格为

（）美元。

A.1.01

B.1.06

C.1.36

D.1.61

—3/23—

6、股票的当前价格为40美元，假定其收益率期望为15%,波动率为

25%。在两年内的股票收益率（连续复利）的概率分布是（）。

A.N(0.11875,0.03235)

B.N(0.11975,0.03125)

C.N(0.11875,0.03125)

D.N(0.11875,0.08125)

E.N(0.11875,0.13125)

【参考答案】：C

【试题解析】：

口二0.15和o=0.25o根据公式：

/a2吟

*~'（〃一亍，yI

可得2年期连续复利的回报率的概率分布是：

杀.”一甲.甲）

也即：

N（0.11875,0.03125）

7、某股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将变为53美

元或48美元，无风险利率为每年10%（连续复利），执行价格为49美

元，期限为2个月的欧式看涨期权价格为（）美元。

A.2.29

B.2.25

C.2.23

D.2.13

E.2.07

【参考答案】：C

【试题解析】：

—5/23—

①两个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53

美元），或者为。美元（如果股票的价格为48美元）。考虑一份资产组

合的构成：+△：股票，一1：期权。

两个月后组合的价值或者为48△或者为53A—4。如果：

48△=53△-4

也即：

A=0.8

资产组合的价值为38.4美元（48乂0.8或者53义0.8—4）。因此对

于组合来说，△的值是无风险的。组合的现值为：

0.8X50-f

其中f是期权的价值。

因为组合必须以无风险的利率盈利：

（0.8X50-f）e°-1OX°-16667=38.4

也即：

f=2.23（美元）

因此期权的价值为2.23美元。

②可以直接运用公式：

-，T

f=e[pfu+（1-p）fd]

其中：

erT-d

P=-u---dr

由题意知,u=L06,d=0.96,因此:

0.10x0.16667_096

〃=~~1.06-0.96=0.5681

-o,10X0.16667义0,X4=2.23

f=e5681（美元）

可见，两种方法结果一致。

—6/23—

8、假设一股票在相邻的交易日价格上涨50%的概率是1/3,下跌10%的

概率是2/3。如果该股票周一开始交易，价格是每股2美元，那么预期周

四价格的期望值是()美元。

A.1.458

B.2.662

C.3.785

D.5.489

E.6.75

【参考答案】：B

【试题解析】：

设股票从周一到周四三天上涨的次数为X,则)CB(3,1/3)o

周四股票的价格P=2X(1+50%)XX(1-10%)3-X=2X1.5XX0.93X

预期周四价格的期望值为：

£(/,)=E(2xl.5JxO.93X)

;多X1.5-XO.9一可打住广=2%惇XL5J信XO.9)

(I9

=2x|—x1.5+亍x0.9

=2.662(美元)

9、某股票的当前价格为50美元。假定股票的预期收益率为年率18%,

波动率为30%,在两年后股票价格的95%的置信区间为()。

A.28.52〜150.44

B.28.42-150.54

C.28.32〜150.64

D.28.52-153.44

E.27.52〜151.44

【参考答案】：A

【试题解析】：

—7/23—

So=5O(美元)、口二0.18和。二0.30。未来两年的股票价格ST符合正态分

布：

2

lnSr~;V[hi5O+(O.18-°^)x2,0,3x2]

J

即：

InS/N(4.18,0.18)

50e2x0l8=50e0,36=71.67(美元)

股票价格的标准差：

50。°%必E_])=3].83

在给定9596的置信度下，IFIST的置信区间为：

(4.18-1.96X0.42,4.18+1.96X0.42)

即：3.35美兀〜5.01美兀。

股票价格ST在95%置信度下的置信区间是：

e3.35〜e5.01

即：28.52美元〜150.44美元。

10、假设股票价格S=50美元，执行价X=50美元，T=1年，r=12%,

■「10%。则看涨期权的理论价格为()。

A.5.49

B.5.63

C.5.92

D.5.98

E.6.59

【参考答案】：C

【试题解析】：

计算出和d2：分别为:

di=[ln(S/X)+(r+o2/2)T]/oT°5

二[In(50/50)+(0.12+0.01/2)Xl]/0.1X1

—8/23—

=1.25

d2=d-or°-5

=1.25-0.1X1

=1.15

查标准正态分布可得：

①(di)=①(1.25)=0.8944

①(d2)=0(1.15)=0.8749

因此看涨期权理论价格为：

rT

C=S①(di)-Xe-O(d2)

=50X0.8944-5Oe-0,l2xlX0.8749

二44.72-50X0.8669X0.8749

=44.72-38.80

=5.92

11、无股息股票中股票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率

为年率12%,波动率为年率30%,期限为3个月。则该股票的欧式看涨

期权的价格为()美元。

A.4.65

B.5.00

C.5.06

D.5.16

E.5.36

【参考答案】：C

【试题解析】：

在本题中So=52(美元)、K=50(美元)、厂0.12、。=0.30和T=0.25,

2

,ln(52/50)+(0.12+0.3/2)0.25n

0.30\/025

电=4-0.30x/0^25=0.3865

—9/23—

欧式看涨期权的价格为：

52N（0.5365）-50e-°,】2xO,25N（0.3865）

二52x0.7042-5Oe-003x0,6504

=5.06（美元）

也即看涨期权的价格为5.06美元。

12、一个一年期欧式看涨期权，其标的资产为一只公开交易的普通股票,

已知：

A.股票现价为122元

B.股票年收益率标准差为0.2

C.In（股票现价/执行价现价）=0.2利用Black-scholes期权定价公

式计算该期权的价格（）。［2011年春季真题］

D.18

E.20

F.22

G.24

H.26

【参考答案】：D

【试题解析】：

—10/23—

flJJIlBlack-schoi^期权定价公式可得:

In(^)+(，+W)(r-，)

/A4=------一-------==--------

av/-/

心（『FT；?

crvT-1

0.2+0.5x0.2、xI

/r^7=l.I-0.2=0.9

ill"%-))=0.2得：=”-。2二色］。,了.是

Ke

G=SjA(4)-A>・'"T)中(4)

=1220(1.I)-I22e-02<P(O.9)

=23.94830458

13、假设股价随机模型如下:

ST=S°N&z

其中z表示标准正态随机变量,则ST的95%置信区间为（)O

(InSb+(p-^-)T-1.96a?T,InSo+3-g)T+L%a\厅)

A.22

(InS94-——-)T—1.M5O,JT»InSo+唾)T+1.645。^^

B.2・

3

So)加一。2,2)r一1・96。不，<^C(M-<T/2)T4-19Cav7

C.

D（阮e（”_o2/2）T-1.6450V/7,Sje3-//2）T+L645sk）

E.以上选项都不正确

【参考答案】：C

【试题解析】：

—11/23—

根据股票价格的对数正态性质：

加~111.%+（川一夕］兀。27）

给定lnS『的95%的置信区间：

（加,%+1.96。斤.ln$+；〃-?17'+L96b厅）

因此.ST的95%的置信区间为：

（SJ”-争了-|如〃$j一■给）

14、某股票的当前价格为80美元，已知在4个月后股票价格将变为75美

元或85美元，无风险利率为每年5%（连续复利），执行价格为80美

元，期限为4个月的欧式看跌期权价格为（）美元。

A.1.65

B.1.71

C.1.73

D.1.75

E.1.80

【参考答案】：E

【试题解析】：

①4个月结束时，期权的价值或者为5美元（如果股票价格为75美

元），或者为。美元（如果股票的价格为85美元）。考虑一份资产组合

的构成：一△:股票，+1：期权。

参数delta（△）在看跌期权中为负值。构建的这份资产组合为+1

份的期权和一△份的股票，以此保证初始投资为正。

4个月后组合的价值或者为一85△或者为一75△+5。如果：

-85△=-75△+5

也即：

A=-0.5

资产组合的价值为42.5美元。

对于组合来说，△的值是无风险的。组合的现值为：

—12/23—

0.5X80+f

其中f是期权的价值。

因为组合必须以无风险的利率盈利:

（0.5X80+f）。口os、。-3333二42.5

也即：

f-l.80（美元）

因此期权的价值为1.80美元。

②可以直接运用公式：

f=e，T[pfu+（1-p）fd]

其中：

e"—d

P=---7

u-d

由题意得，u=1.0625,d=0.9375,因此:

05x033339375

9375=°6345

l-p=0.3655

f二丁go.3333*o.3655x5=1.80（美元）

可见，两种方法结果一致。

15、假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%,该股

票的年波动率为10%,求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨

期权价格为（）美元。

A.5.92

B.5.69

C.4.96

D.3.25

E.0.27

【参考答案】：A

—13/23—

【试题解析】：

机关参数表达如下：

S=50.A=50,r=().12.a=0.L7=1.

.ln(5()/50)+(0.12+0.01/2)x1.”

o.ix/r

d2=d]-0.IX/r=L15

中(4)=0(1.25)=0.8944

=</>(1.15)=0.8749

欧式看涨期权价格为：C=50x0.8944-50x0.8749o-°m，i=5.92(美元)

16、无股息股票的股票价格为69美元，执行价格为70美元，无风险利率

为年率5%,波动率为年率35%,期限为6个月。则该股票的欧式看跌期

权的价格为（）美元。

A.5.60

B.5.80

C.6.00

D.6.20

E.6.40

【参考答案】：七

【试题解析】：

在本题中，S0=69（美元）、K二本（美元）、r=0.05、。=0.35和T=0.5,

.In（69/70）+（0.05+O.35?/2）xO.5八

a.=---------------------------------------------------=0.loon

0.35\0T5

d2=4-0.35\0.5=-0.（）809

欧式看跌期权的价格为：

70。.“旗x。'中（0.0809）-69中（-0.1666）

=70--0必x0.5323-69x0.4338

=6.41（美元）

也即看跌期权的价格为6.40美元。

—14/23—

17、不支付红利的股票当前价格是75美元，股票的年波动率是

18.25%,当前连续计复利的无风险利率是5%。现有的某一3年期欧式看

涨期权的执行价格是90美元，假设该股票的价格每年将按比例地上升或

者下降，且其在任何一年中股票价格将会上升的概率是60%,那么该欧式

看涨期权的价值是（）美元。

A.22.16

B.12.91

C.3.24

D.7.36

E.8.36

【参考答案】：D

【试题解析】：

首先，我们需要计算资产的价格上升的比例是

产二不"；⑴=L20,那么价格下降的比例是1/1.20=0.83。

下一步，我们打算在3年期间内股票价格变化的多种途径，该股票存

在4种可能的期末价值：

SUUU=75X1.2X1,2X1.2=129.60（美元）

Suud二S（iuu二Sudu=75XI.2X1.2X0.83=89.64（美兀）

Sudd=Sdud二Sddu=75X1.2X0.83X0.83=62.00（美元）

Sddd=75X0.83X0.83X0.83=42.89（美元）

只有当价格连续3次上升时，期权才能在到期日处于实值状态，这一概率

大约是（0.60）（0.60）（0.60）=0.216。因此，当日期权的价值是

（129.60-90）X0.216Xe-OO5X3=7.36（美元）。

18、某股票的当前价格为50美元，在6个月后股票价格将变为60美元或

42美元，无风险利率为每年12%（连续复利），计算执行价格为48美

元，期限为6个月的欧式看涨期权价格为（）美元。

A.6.69

—15/23—

B.6.86

C.6.91

D.6.96

E.6.99

【参考答案】：D

【试题解析】：

①6个月后，该期权价值为12美元（如果股票价格为60美元）或0

美元（如果股票价格为42美元）。考虑一个资产组合，包括：+△:股

票，一1：衍生产品。

6个月后，资产组合价值为42△或60Z\T2,若：

42A=60A-12

解得：

A=0.6667

资产组合的价值确定为28美元。因此，由于△的值是无风险的，该

组合为无风险资产组合。而该资产组合当期的价值为：

0.6667X50-f

其中f是期权的价值。由于资产组合应至少获得无风险利率，所以

有：

（0.6667X50-f）e012x°-5=28

解得：

f=6.96（美元）

因此，该期权的价值为6.96美元。

②应用风险中性理论可以得到相同的结果。假设风险中性，P为股票

价格上涨的概率，有：

60p+42（1-p）=5OXe0,06

解得：

18p=11.09

从而有：

—16/23—

p=0.6161

在风险中性条件下，期权的期望价值为：

12X0.6161+0X0.3839=7.3932（美元）

其现值为：

7.3932e-006=6.96（美元）

所以，无套利原理与风险中性理论所得结论是一致的。

19、某一股票的价格为40美元，在今后两个3个月的时间段内，股票价

格或上涨10%或下跌10%,无风险利率为每年12%（连续复利）。执行

价格为42美元，6个月的美式看涨期权价格与6个月的欧式看跌期权价格

之差为（）美元。

A.0.401

B.0.409

C.0.412

D.0.419

E.0.457

【参考答案】：C

【试题解析】：

①图表示的是描述股票价格变动情况的二叉树。在风险中性条件下,

股票价格上涨的概率P为：

012x3/129Q

"二二0："523

经过计算期望收益和折现，期权的价格为：

(2.4X2X0.6523X0.3477+9.6X0.34772)e-012X6/，2=2.118(美兀)

所以，欧式期权的价格为2.118美元。

②该结果同样也可以从图中利用二叉树模型逆推求出。图中每个节点

的第二个数字即表示当期欧式期权的价格。二叉树中每个节点的第三个数

字表示的是美式期权的价格。总价值为2.537美元。

所以：

—17/23—

美式期权的价格-欧式期权的价格=2.537-2.118=0.419(美元)

股票、欧式期权与美式期权价值的二叉树

在每个节点，第一个数字表示股票价格，第二个数字表示欧式期权价

格，第三个数字表示美式期权价格。

20、一个3个月期的无股息股票，期权执行价格为50美元，股票当前价

格为50美元，无风险利率为连续复利10%,波动率为年率30%。则该股

票的欧式看跌期权的价格为()美元。

A.2.03

B.2.19

C.2.27

D.2.37

E.2.65

【参考答案】：C

【试题解析】：

本题中,So=50,K=50,r=0.1,o=0.3,T=0.25,

.In(50/50)+(().I+0.09/2)0.25八

J।=-----------------,...=().2417

().3>Ak25

4=4-0.3血"西二0.0917

欧式看跌期权价格为：

500(-0.0917)e-olxo,25-5O<D(-0.2417)

—18/23—

=50X0.4634e-01x0-25-50X0.4045=2.37（美元）

即看跌期权价格为2.37美元。

21、下列选项中不属于Black-Scholes模型假设条件的是（）,

A.没有交易费用

B.没有税收

C.市场是可以套利的

D.无风险利率是一个常数

E.可以无限制的卖空

【参考答案】：C

【试题解析】：

Black-Scholes是一个连续时间衍生品的定价模型。该模型建立在对

市场的下列假设之上：①基础资产不支付红利，且其价格服从几何布朗运

动；②市场是完全的，即所有未定权益都是可复制的；③市场是无套利

的；④无风险利率r是一个常数，且任何期限的借贷利率都相等；⑤可以

无限制的卖空；⑥市场无摩擦，即无税收成本、无交易成本；⑦基础资产

可以以任何数量在任何连续的时间交易。

22、一个3个月期的无股息股票，期权执行价格为50美元，股票当前价

格为50美元，无风险利率为连续复利10%,波动率为年率30%,在两个

月后股票预计将支付股息1.5美元。则该股票的欧式看跌期权的价格为

（）美元。

A.2.03

B.2.19

C.2.27

D.3.03

E.3.68

【参考答案】：D

【试题解析】：

—19/23—

在使用Black-Scholes公式之前，需从股票价格中减去股利的现值。

因此，

So=5O-l.50e-01667x01=48.52(美元)

又：

K=50,r=0.1,。=0.3,T=0.25

所以：

,In(48.52/50)+(0.1+0.09/2)0.25八八,一

%=-------------------------------,--------------------=0.()414

0.3\A125

4=4-。.3^)725=-0.1086

欧式看跌期权价格为：

500(0.1086)e°-1X0-25-48.52/0(-0.0414)

=50X0.5432e-o'lxo,25-48.52X0.4835=3.03(美元)

即看跌期权价格为3.03美元。

23、某一股票当前的交易价格为10美元，3个月。股票的价格将是11美

元或者9美元。连续计复利的无风险利率是每年3.5%,执行价格为10美

元的3个月期欧式看涨期权的价值最接近于()美元。

A.1.07

B.0.54

C.0.81

D.0.95

E.0.84

【参考答案】：B

【试题解析】：

在这种情形下,u=l.l,d=0.9,r=0.035,如果股票价格上升，则期权价

值为美元1,如果股票价格下降，则期权价值为0。价格上升的概率p可

以计算为(e°°35X3/12-0,9)/(1.1-0.9)=0.5439o因此,该看涨期权的价

值是e-°-035X312X(0.5439X1)=0.54。

—20/23—

24、某股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格或者上

涨10%或下跌10%,无风险利率为每年8%（连续复利），执行价格为

100美元，1年期的看跌期权的价格为（）美元。

A.1.92

B.1.95

C.1.97

D.1.98

E.1.99

【参考答案】：A

【试题解析】：

图给出利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92

美元。期权价值也可直接通过方程式得到：

/二12/武九+2〃（1-〃）,&+（1

008xO5CO

山超意知：〃=1.Id=0.9,WOp=e,：=0.7（）41

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