浙江专用2025届高考数学一轮复习专题十一概率与统计112离散型随机变量及其分布列均值与方差试题含解析

§11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一离散型随机变量及其分布列

1.若离散型随机变量X的分布列如下表，则常数c的值为()

X01

P9cLe3-8c

A孩B*C,1D.l

答案C

2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少法行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司

共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;

(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的肯定道为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

解析(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人,

送考2次的有100人,送考3次的有80人,

2OX1+1OOX2+8OX3

.•.该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为:=2.3.

200

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事务A,

“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事务B,

“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事务C,

“这两人送考次数相同”为事务D,

由题意知X的全部可能取值为0,1,2,

P(X=1)=P(A)+P(B)-Q呼叫£1^^出

ClooGo。]99，

P(X=2)=P(C)=^运芸,

Lzoo】见

P(X=0)=p(D)f。+或。。+匾=里

Cleo199'

「.X的分布列为

X012

P型10016

199199199

E(X)=0X&1X吗2X空卫.

199199199199

考点二离散型随机变量的均值与方差

3.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的数学期望为ECO=3,则a-b=()

答案A

4.已知离散型随机变量X的分布列为

X0123

n841

27927

则X的数学期望E(X)=()

A.：B.1C.1D.2

32

答案B

5.已知随机变量€满意P(&=0注,1'(&=1)=、,1«=2)=」,若03<；,则()

A.E(士)随着x的增大而增大,D(；)随着x的增大而增大

B.E(g)随着x的增大而减小,D(g)随着x的增大而增大

C.E(g)随着x的增大而减小,DG)随着x的增大而减小

D.E(W)随着x的增大而增大,D(4)随着x的增大而减小

答案C

6.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.假如当天卖不完,剩下

的玫瑰花当作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n£N)的函数解析式；

(2)花店记耒了100天玫瑰花的日福求量(单位:枝)，整理得下表：

口需求量H151617181920

n

频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元)，求X的分布列、数学期望及方差；

(ii)若花店支配一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

解析(1)当日需求量n216时，尸80.

当日需求量n<16时,y=l0n-80.

所以y关于n的函数解析式为

(10«-80,n<16,.

y={(n£N).

180,n>16

(2)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,

P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.

故X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

X的数学期望EX=60X0.1+70X0.2+80X0.7=76.

X的方差为DX=(60-76)2X0.1+(70-76)2x0.2+(80-76)2X0.7=44.

(ii)答案不唯一.答案一:

花店•天应购进16枝玫瑰花.埋由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，设Y表示当天的利润(单位:元)，则Y的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

Y的数学期望为EY=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

Y的方差为DY=(55-76.4)*XO1M65-76.4)2X0.2+(75-76.4)2X0.16+(85-76.4)2X0.54=112.04.

结合（2）（i）可知DX<DY,即购进13枝攻瑰花时利润波动相对较小.虽然EXVEY,但两者相差不大.故花店天应购

进16枝玫瑰花.

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，设Y表示当天的利润（单位:元），那么Y的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

Y的数学期望为EY=55XO1+65X02+75X0.16+85X0.54=76.4.

结合（2）（i）可知EX<EY,即购进17枝玫瑰花时平均每天的利润大于购进16枝时平均每天的利润.故花店一天应

购进17枝玫瑰花.

综合篇知能转换

【综合集训】

考法求离散型随机变量的期望与方差的方法

1.（2024广东省际名校联考（二），11）不透亮袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐

个不放回地摸出小球,直到取出全部红球为止,则摸取次数X的数学期望是（）

答案D

2.（2024广东深圳南山入学摸底考试,5）•个摊主在•旅游景点设捶,在不透亮的口袋中装入除颜色外无差别的

2个白球和3个红球.游客向撞主付2元进行1次嬉戏.嬉戏规则如二:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出

的小球同色,则游客获得3元嘉奖;若异色,则游客获得1元嘉奖.则滩主从每次嬉戏中获得的利润X（单位:元）

的期望是（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

答案A

3.（2024河北冀州期末,19）有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规

定坐个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.

（1）求n的值；

（2）求随机变量X的概率分布列及数学期望E（X）.

解析（D因为当X=2时，有第二竽种坐法，

所以写2=6,即n2-n-l2=0,

解得n=4或n=-3（舍去），

所以n=4.

（2）因为X表示的是学生所坐的座位号与该生的编号不同的人数,所以X的可能取值是0,2,3,4,

所以P（X=0）WJP（X=2）^4P（X=3）=部"P（X=4）y衿

A；24AJ4A；324438

所以X的概率分布列为

X0234

p113

24438

所以数学期望E（X）=0X^+2X1+3X1+4X1=3.

4.（2024广东佛山顺德其次次教学质量检测，⑻某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8

元.受保质期的影响，当天没有销售完的糕点只能销毁.经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量.现将近

期一个月（30天）的需求量展示如下：

日需求量X（个）20304050

天数510105

(1)从这30天中任取两天,求两天的H需求量均为40个的概率；

(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量X的分布列，并求该月的H需求量X的期望;

(3)依据(2)中的分布列求得当该样点房一天制作35个该类蛋桂时，对应的利润的期望值为等;现有员工建议扩

大生产,一天生产45个,求对应利润的期望值,推断此建议该不该被接受.

解析(1)从这30天中任取两天两天的日需求量均为40个的概率为赛

(2)日需求量X的分布列为

X20304050

p1111

6336

日需求量X的期望E(X)=20Xi+30Xi+10Xi+50X1=35.

6336

(3)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利•润为Y元,对应的分布列如下：

利润Y(元)-2060140180

概率iii1

6336

利润Y的期望E(Y)=-20X^60x1140xl180xi^.因为竽〈尊,所以此建议不该被接受.

63+3+6333

思路分析(1)干脆依据对应关系求概率即可；

(2)列出日需求量的分布列，依据分布列，用数学期望的公式求解即可；

(3)列出利润的分布列，依据分布列，用数学期望的公式求解,然后比较两个期望值,从而推断此建议该不该被接

受.

5.(2024安徽立城二模，19)某中学利用周末组织教职工进行了一次秋季登山健身的活动，有、人参与，现将全部

参与者按年龄状况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)共七组,其频率分布直方

图如图所示，已知[25,30)这组的参与者是6人.

(1)依据频率分布直方图求该校参与秋季登山活动的教职工年龄的中位数；

(2)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学老师，现从这两个组中各选取2人担当接待工作，设两组的选择

互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；

(3)组织者从〔45,55)这组的参与者(其中共有4名女老师，其余全为男老师)中随机选取3名担当后勤保障工作,

其中女老师的人数为X,求X的分布列和均值.

解析(1)设［30,35)这一组对应的矩形的高为x,

;(0.01+0.03+x+O.04+0.03+0.02+0.01)X5=l,

/.x=0.06.

V(0.0110.0310.06)X5-0.5,

・••中位数为35.

(2)记事务A为“从［35,40)和［43,45)两组中各选出2人，选出的人中恰有1名数学老师”,

参与活动的总人数N=6+(0.03X5)=40,年龄在［35,40)的人数为40X(0.04X5)=8,年龄在［40,45)的人数为

40X(0.03X5)=6,

P(A)=婴X券砥X萼

c|Cl备髭35

(3)年龄在［45,55)的人数为40X(0.02+0.01)X5=6,

X的可能取值为1,2,3,VP(X=l)=^i.P(X=2)=^l=1,P(X=3)=^,

/.X的分布列为

X123

E(X)=lx1+2x|+3xi=2.

【五年高考】

考点一离散型随机变量及其分布列

1.(2024课标1,21,12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试

验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以

乙药.一轮的治疗结果得出后，再支配下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就

停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了便利描述问题，约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施

以乙药的白鼠未治愈，则甲药得】分，乙药得T分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1

分，甲药得T分;若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和B,一轮试验

中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验起先时都给予4分,p,(i-O,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为中药比乙

药更有效”的概率，贝IJRFO.P^LP尸apI+bp,+cpi“(i=l,2,…,7),其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假设

a=0.5,B=0.8.

⑴证明:{p>.i-Pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列；

(ii)求氏,并依据p1的值说明这种试验方案的合理性.

解析本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用，考查

学生敏捷运用概率与数列学问去分析、解决实际问题的实力，综合考查学生的逻辑推理实力、数学运算实力以

及应用意识、创新意识.

(DX的全部可能取值为-1,0,1.

P(X=-l)=(l-a)P,P(X=O)=aPHl-a)(l-P),

P(X=l)=a(1-P).

所以X的分布列为

X-101

p(I-a3+(1-a)(1-a(1-

a)BB)B)

(2)(i)证明：由⑴得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此p.=0.4p,i+0.5pi+0.Ipi.i,Afc0.1(pi.rpi)=0.4(prp,i),即p>.i-p>=4(p-pi-i).又因为p「po=piH0,所以{p“「

pj(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p的等比数列.

(ii)由(i)可得PH=PS-P?+P7-P6+—+pi-po+po=(pH-p?)+(p?-p6)+--+(Pl-p))

由于PH=1,故Pl蝙7,所以P'=(P«-pO+(P3-P^)+(P2-P1)+(pi-pn)

P.衣示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药

更有效的概率为Pl*扣0.0039,此时得出错误结论的概率特别小,说明这种试验方案合理.

试题分析本题以试验新药疗效为背景，命制了个概率与数列的综合性问题，试题很新奇，创新度高，考古学生

敏捷运用数学学问解决实际问题的实力.本题层次分明，内容丰富，区分度较高，使不同学生的理性思维的广度和

深度得到了充分展示.

2.(2024课标【，19,12分)某公司支配购买2台机器，该种机器运用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进

机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器运用期间,假如备件不足再购买,则每个500元.现

需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理/100台这种机器在三年运用期内更换的易损

零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年

内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

⑴求X的分布列；

(2)若要求P(XWn)NO.5,确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个？

解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得，•台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为

0.2,0.4,0.2,0.2.

可知X的全部可能取值为16、可18、19、20、21、22,

P(X=16)=0.2X0.2=0.04;P(X=17)=2X0.2X0.4=0.16：

P(X=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24;P(X=19)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2=0.24;

P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;P(X=2l)=2X0.2X0.2=0.08;P(X=22)=0.2X0.2=0.04.(4分)

所以X的分布列为

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(6分)

⑵由(1)知P(XW18)=0.44,P(XW19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当n=19时,

EY=19X200X0.68+(19X200+503)X0.2+(19X200+2X500)XO.08+(19X200+3X500)XO.04=4040.U0分)

当n=20时，

EY=20X200X0.88+(20X200+503)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080.

可知当n=19时所需费用的期望值小丁•n=20时所需费用的期望值，故应选n=19.(12分)

思路分析(1)确定X的可能取值，分别求其对应的概率,进而可列出分布列.

(2)依据(1)中求得的概率可得P(XW18)以及P(XW19)的值，由此即可确定n的最小值.

(3)求出n=19,n=20时的期望值，比较大小即可作出决策.

3.(2024北京，17.13分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式

之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的运用状况，从全校学生中随机抽取了100人，发觉样本中

A,B两种支付方式都不运用的有5人,样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：

产付金Qi(iooo,2上……

霁000]000]大于200。

支付方式

仅运用A18人9人3人

仅运用B10人14人1人

(1)从全校学生中随机抽取1人估计该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率；

(2)从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人

数，求X的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变.现从样本仅运用A的学生中，随机抽查3人,发觉他们本月

的支付金额都大于2000元.依据抽查结果,能否认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数

有改变?说明理由.

解析本题主要考态用样本分布估计总体分布,离散型随机变量的分布列与期望，以实际生活为背景考查学生解

决实际问题的实力,渗透了数据分析的核心素养，体现了应用与创新意识.

(1)由题意知,样本中仅运用A的学生有18+9+3=30人,仅运用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都

不运用的学生有5人,故样本中A,B两种支付方式都运用的学牛有100-30-25-5=40人,所以从全校学牛中随机

抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率估计为喘◎4.

(2)X的全部可能值为0,1,2.

记事务C为“从样本仅运用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事务D为“从

样本仅运用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知，事务C,0相互独立,且P(C)需0.4,P(D)=^=0.6.

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

P(X=1)=P(CDUCD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4X(1-0.6)+(1-0.4)X0.6=0.52,

P(X=O)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.

所以X的分布列为

X012

P0.240.520.24

故X的数学期望E(X)=OXO.24+]XO.52+2X0.24=1.

(3)记事务E为“从样本仅运用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅运用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有改变，则由上个月的样本数据得

答案示例1：可以认为有改变.理由如下：

P(E)比较小,概率比较小的事务一般不简洁发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数

发生了改变.所以可以认为有改变.

答案示例2:无法确定有没有改变.理由如下：

事务E是随机事务,P(E)比较小，一般不简洁发生，但还是有可能发生的,所以无法确定有没有改变.

思路分析(1)由频率=7^77即可求解相应频率,进而用频率估计概率.

样本容W

(2)仅运用A,且支付金额大于ID00元的概率P彗=0.4,仅运用B,且支付金额大于1000元的概率

P=3^=0,6,进而求分布列和期望.

(3)开放性题目，从事务发生的概率说明理由即可.

讨析本题以移动支付的出现及普及为背景来设计问题，样本数据来源于学生熟识的情景，不仅使学生体会到数

学应用的广泛性,同时也体现了人们生活方式的巨大改变.第(3)问结合古典概型考查概率的意义,体会统计中的

决策思想.

4.(2024天津，16,13分)从甲地到乙地要经过3个卜字路口，设各路=1信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红

灯的概率分别为3对.

234

(D记x衣示辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量x的分布列和数学期望；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的溉率.

解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事务的相互独立性，互斥事务的概率加法公式等基础

学问.考查运用概率学问解决简洁实际问题的实力.

(1)随机变量X的全部可能取值为0.1.2,3.

P(x=0)=(i-l)x(i-i)x(i4)4>

p(X=l)=lx(L-pX(i-p+(i-px|x

P(x=2)=(i-l)xlxi+lx(i-l)xUxlx(i-l)=l,

P(x=3)=lxlxl=±.

所以，随机变量X的分布列为

X0123

P11111

424424

随机变量X的数学期望E(X)=0X；+lXM+2X；+3X5=9

42442412

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示其次辆车遇到红灯的个数,则所求事务的概率为

P(Y+Z=l)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=3)=P(Y=0)P(Z=l)+P(Y=1)P(Z=0)=；X"三X:吟.

所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为

技巧点拨解决随机变量分布列问题的关犍是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率，只

有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.

5.(2024山东，18,12分)在心理学探讨中，常接受对比试验的方法评汾不同心理示意对人的影响，详细方法如下:

将参与试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理示意，另一组接受乙种心理示意,通过对比这两组志愿者

接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用.现有6名男志愿者h,A"A$,A。和4名女志愿者

B.,Blt从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意.

(1)求接受甲种心理示意的志愿者中包含用但不包含氏的概率；

(2)用X表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.

解析本题考查离散型随机变量的分布列，期望.

(1)记接受甲种心理示意的志愿者中包含Ai但不包含Bi的事务为M.

则P(M)啜*

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则

P(X=。)哥*P(E)管嗡「依2)=鬻亭P(X=3)=鬻卷P(岸4);警吟

因此X的分布列为

X01234

1101

p55

1

4221212142

X的数学期望是

EX=0XP(X=O)+1XP(X=1)+2XP(K=2)+3XP(X=3)+4XP(X=4)=0+1X^-+2X郎+3X5+4X今2.

解后反思(I)求离散型随机变量X的分布列的步骤：

①理解X的含义,写出X全部可能的取值.

②求X取每个值时的概率；

③写出X的分布列.

(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率，在求解时，要留意应用计数原理、

古典概型概率公式等学问.

考点二离散型随机变量的均值与方差

6.(2021浙江,7,4分)设0<a<l,随机变量X的分布列是

X0a1

111

rn———--

333

则当a在(0,1)内增大时，()

A.D(X)增大B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大

答案D

7.(2024浙江,8,4分)已知随机变量L满意P(，1=l)=pi,P(€t=0)=l-P1,i=l,2.若0<p,<pX1,则()

A.E(€I)<E(€2),D(4I)<D(€2)

B.E(CI)<E(C2),D(€I)>D(C2)

C.E(€1)>E(C2),D(C,)<D(C2)

D.E(4.)>E(G),D(4.)>D(^2)

答案A

8.(2024课标11,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X

表示抽到的二等品件数，则DX=.

答案1.96

9.(2024课标I,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件，每一•箱产品在交付用户之前要对产品作检

验,如检险出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验,再依据检验结果确定是否对

余下的全部产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为P(O<P<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.

(Did20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大情点pu.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的po作为p的值.已知每件产品的检验费

用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箝余下的产品作检验，这一箱产品的检脸费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的全部产品作检验？

2,s

解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=Ciop(l-p).

,82,7,7

因此f，(p)=C2o[2p(l-p)-18p(l-p)]=2C2op(l-p)(l-10p).

令f>(p)=o,得p=o.1,当pe(o,o.1)时,f*(p)>o；

当p£(0.1,1)时,f*(p)<0.

所以f(p)的最大值点为所0.1.

(2)由(1)知,p=0.1,

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y~B(180,0.1),X=20X2+25Y,即X=40+25Y,

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)假如对余下的产品做检胎，则坡•箱产品所苑要:的椅胎葫为400元.

由于EX>400,故应当对余下的产品做检验.

老师专用题组

考点一离散型随机变量及其分布列

1.(202.1四川，17,12分)某市A,D两所中学的学生组队参与辩论赛,A中学举荐了3名男生、2名女生,B中学举

荐了3名男生、4名女生,两校所举荐的学生一起参与集训.由于集训后队员水平相当，从参与集训的男生中随

机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场竞赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.

解析(1)由题意得，参与集训的男、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为需=六.

因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为・士=言.

100100

(2)依据题意，X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)喈、P(X=2)喈，

P(X=3)号总

所以X的分布列为

X123

P121

555

因此,X的数学期望为

E(X)=1XP(X=l)+2XP(X=2)+3X?(X=3)

=ixi+2x1+3xl=2.

2.(2024重庆，17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个，住粽3个，

白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中随意选取3个.

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.

解析(1)令A表示事务“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的暇率计算公式有1,(龄=笔"=：.

(2)X的全部可能值为0,1,2,且

P(X=O)=^^,P(X=I)^L^,

Cx<)15Jo15

P(X=2)啜唉

综上知,X的分布列为

X012

PZ11

151515

故E(X)=0X工+1X-+2X4=7(个).

1515155

3.(2013课标I,19,12分)一批产品须要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件做椅验,这4件产

品中优质品的件数记为n.假如n=3,再从这批产品中任取4件做检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;假如

n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品，则这批产品通过检验；其他状况下,这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为且各件产品是否为优质品相互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都须要检验，对这批产品做质量检验所需的费用记为

X(单位:元)，求X的分布列及数学期望.

解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事务A.,第一次取出的4件产品全是优质品为事务原

其次次取出的4件产品都是优质品为事务BL其次次取出的1件产品是优质品为事务B,,这批产品通过检验为事

务A,依题意有A=(A.Bi)U血的，且AB与AB互斥,所以P(A)=P(A.B.)+P(A^)=PMP(BiAI)+P(A2)P(BI|A2)

=­X—+—X-^=—.

161616264

(2)X可能的取值为400,500,800,并且

P(X=400)=l--^=^,P(X=5OO)=2,P(X=800)=.

所以X的分布列为

X400500800

1111

P1

16164

EX=400X—+500X-1800X1=506.25.

16164

思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事务A.,第一次取出的4件产品全是优质^为事务

心其次次取出的4件产品全是优质品为事务Bi,其次次取出的1件产品是优质品为事务B?,这批产品通过检验

为事务A,依题意有A=(A1B>)U(AB),且AB与AB互斥,进而求解.

(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.

4.(2013课标11,19,12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元,未售出

的产品，每1I亏损300元.依据历史资料，得到销宙季度内市场需求星的频率分布直方图，如卜图所示.经销商

为下一个销售季度购进了130I该农产品，以X(单位:l,100WXW150)表示下一个销售季度内的市场需求

量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将T表示为X的函数；

(2)依据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个直,并以需求量落入该区间的频率作为需求

量取该区间中点值的概率(例如:若需求量XW[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)

的频率)，求T的数学期望.

解析(l)^Xe[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,

当XW[130,150]时，T=500X130=65000.

..严0X-39000,100<X<130,

所'T-(65000,130<X<150.

(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120WXW150.

由直方图知需求量xe[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计

值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为

T45000530006100065000

P0.10.20.30.4

所以ET=45000X0.1+53000X0.2+61000X0.3105000X0.4=59400.

思路分析(1)经分段探讨(分XS[100,130)和XG[130,150])得函数解析式.

(2)先求出利润T不少于57000元时X的范围,然后依据直方图得到概率的估计值.

(3)T可能的取值是45000,53030,61000,65000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.

易错警示(1)中简洁忽视100WXW150而导致出错.

考点二离散型随机变量的均值与方差

5.(2024北京，17,13分)为了探讨一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名，一组服线另一组

不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图,其中表示服药者，“+”表示

未服药者.

L7指标a

(D从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率；

(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人，记；为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求；的分布列和

数学期望E(g);

(3)试推断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

解析本题考查占典概型，离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等学问.

⑴由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15A,所以从服药的50名患者中随机选出•人,

此人指标y的值小于60的概率为掺0.3.

⑵由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.

所以，的全部可能取值为0,1,2.

P(€=0)%,P(；=1)=普q,P*=2)禺.

所以&的分布列为

€012

P151

636

故€的期望E(，)=OX?1X]+2X91.

636

(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于耒服药者指标y数据的方差.

方法总结①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时，先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利

用期望的公式求数学期望;②在比较数据的方差时，可以依据两组数据的集中或分散程度进行比较.

6.(2024山东，19,12分)甲、乙两人组成“星队”参与猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活

动中，假如两人都猜对，则“星队”得3分;假如只有一人猜对，则“星•队”得1分;假如两人都没猜对，则“星队”

得0分.已知甲每轮猜对的概率是右乙每轮猜对的概率是会每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互

不影响.假设“星队”参与两轮活动,求：

(1)“星队”至少精对3个成语的概率：

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.

解析(D记事务A:“甲第一轮猜对"，记事务B:“乙第一轮猜对"，记事务C:“甲其次轮猜对”，记事务

0:“乙其次轮猜对“，记事务E:“'星队’至少猜对3个成语”.

由题意得,E=ABCD+4BCD+/\^CD+ABCDMBCD,

由事务的独立性与互斥性，得

P(E)-P(ABCD)十P(/IBCD)+P(AZJCD)+P(ABCD)十P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)・P®P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)・P(D)

232,3132\_2

—X—X—X-+2XI—x—x—x——x—x—x—I—.

4343\43434343/3

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为右

(2)由题意得,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.

由事务的独立性与互斥性，得

p(x=oHxLxLxL\

4343144

p(x=1)=2x(|x|xlxl+lx|xlxl)^

P(x=3)=^x-x-xi+lx-x-x^=—,

4343434314412

P(x=4)=2XQx|xixl+ix|xlx|)^

P(X=6)手沁

可得随机变量X的分布列为

X012346

P1525151

1

1447214412124

所以数学期望EX=0X/卜1X导2X含+3X2+4X卷+6X(吟

评析本题考查了随机事务发生的概率及离散型随机变量的分布列叮数学期望，确定随机变量可能的取值是解

题的关键.属于中档题.

7.(2024福建，16,13分)某银行规定，•张银行卡若在•天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到

该银行取钱时,发觉自己遗忘了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王

确定从中不重更地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试:否则接着尝瓜,直至该银行卡被锁定.

(1)求当天小王的该银行卜被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.

解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事务为A,

则P(A)4X：X咨.

6542

(2)依题意得,X全部可能的取值是1,2,3.

P(X=1)),P(X=2)AX4,P(X=3)=三X±X12，

6656653

所以X的分布列为

X123

112

Vn

663

所以E(K)=1xi+2X-+3X^.

6632

8.(2024安徽，17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现须要通过检测将其区分,每次随机检测一件产

品,检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(D求第次检测出的是次品且其次次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品须要贽用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所须要的检测费

用(单位:元)，求X的分布列和均值(数学期望).

解析(1)记“第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品”为事务A,

则P(A)坐小.

10

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X=20。)书磊,

P(X=300)用喑送=2,

A：10

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=11-01010

故X的分布列为

X200300400

136

P

Toio10

EX=200X4+300X4+400X4=359.

101010

9.(2024天津，16,13分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球竞赛允许不同协会的运动员组队参与.现有来自甲

协会的运动员3名,其中种子选F2名；乙协会的运动员5名，其中种子选T-3名.从这8名运动员中随机选择4

人参与竞赛.

(D设A为事务“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事务A发生的概率;

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求防机变量X的分布列和数学期望.

解析(1)由已知，有

PC、_G6+《C£6

W—E*一瓦.

所以,事务A发生的概率为白

(2)随机变量X的全部可能取值为1,2,3,4.

P(X=k)£*(k=l,2,3,4).

所以，随机变量X的分布列为

X1234

1221

P147714

随机变量X的数学期望E(X)=1

X1^42XM7X17+4X-14^42

评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础学问.考查运用概

率学问解决简洁实际问题的实力.属中等难度题.

10.(2024江苏,23,10分)己知