2025-2026学年福建宁德市第五中学等校高一下册适应性练习数学试题 含答案

/数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知非零向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（）A. B. C.10 D.404.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，则平面图形的面积为（）A.4 B.6 C. D.125.一艘轮船从处出发，沿着正东方向行驶到处，再从处向北偏西方向行驶20千米到达处，此时，处在处的东北方向，则两处之间的距离是（）A.20千米 B.千米 C.千米 D.千米6.已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.7.如图，在中，，则（）A.3 B.2 C. D.8.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（）A. B.C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于复数，下面是真命题的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，则10.四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（）A.B.当时，为中点C.的最小值为3D.的最大值为511.锐角的内角所对的边分别为的面积为S，若，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.的取值范围为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________.13.矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________.14.如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________.四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在平行四边形中，是上一点，是上一点，且，.设.（1）用基底分别表示向量；（2）若，用平面向量方法证明三点共线.16.已知i为虚数单位，复数是的共轭复数.（1）若是纯虚数，求；（2）在复平面内，复数对应的点分别是，若为直角三角形，求的值.17.如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高.（1）求四棱台的表面积；（2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.18.在中，角的对边分别是，满足，且.（1）求角的大小；（2）为边上的一点，，且__________，求的面积；（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①是角的平分线；②为线段的中点.（3）若为锐角三角形，求边上高的取值范围.19.设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足.（1）设，计算和；（2）设，求证：；（3）如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值.

数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由得，故的虚部为2.已知非零向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：思路：根据数量积的定义理解判断.解答过程：因为向量，，是非零向量，则一定可以推出，若成立，结合数量积的几何意义，知在上的投影（或投影向量）相等，不能推出，故是的必要不充分条件．故选：B3.在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（）A. B. C.10 D.40答案：A解析：思路：利用韦达定理结合余弦定理即可求解.解答过程：由是方程的两个根，所以，由余弦定理得：，所以.4.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，则平面图形的面积为（）A.4 B.6 C. D.12答案：D解析：解答过程：在梯形中，，则该梯形的高为，梯形的面积为，在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的倍，所以平面图形的面积.5.一艘轮船从处出发，沿着正东方向行驶到处，再从处向北偏西方向行驶20千米到达处，此时，处在处的东北方向，则两处之间的距离是（）A.20千米 B.千米 C.千米 D.千米答案：B解析：思路：根据正弦定理求解.解答过程：由题可知，如图，由正弦定理可得，所以，即、两处之间的距离是千米.6.已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，由，化简得，再根据投影向量的计算公式即可求解.解答过程：根据题意，由，得，化简得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A.7.如图，在中，，则（）A.3 B.2 C. D.答案：D解析：思路：在和中，利用正弦定理即可求解.解答过程：在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，所以，由①②得.8.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据重心的性质，结合欧拉定理即可求解.解答过程：因为是的重心，所以有，故，由欧拉线定理可得，即，故：二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于复数，下面是真命题的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，则答案：AD解析：解答过程：设复数，共轭复数.选项A：若，则，得，故，真命题.选项B：取，，，，假命题.选项C：取，，但，假命题.选项D：由，得，又，故，真命题.10.四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（）A.B.当时，为中点C.的最小值为3D.的最大值为5答案：ABC解析：思路：根据数量积的几何意义即可求解A，根据向量的线性运算即可求解B，根据数量积的运算律，结合线性运算即可求解D.解答过程：对于A,,A正确，对于B,由可得,故，即为中点，B正确，对于CD，,又因为，故当时，此时取到最小值3.当或时，此时取到最大值4，因此C正确，D错误.11.锐角的内角所对的边分别为的面积为S，若，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.的取值范围为答案：ACD解析：思路：根据面积公式可，进而利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及和差化积得，即可求解A和B，根据余弦定理可求解C，根据正弦定理以及二倍角公式，构造函数，利用导数求解函数单调性，结合三角函数的性质即可求解D.解答过程：已知，则，因为，整理得，由正弦定理得，因为且，所以，因为，故.可得或，解得或,由于为三角形的内角，故.A正确，B错误，若，将代入可得，则，C正确，因为是锐角三角形，，所以，则，解得.由正弦定理可得，令，因为，所以，则.设，则在上单调递增，所以，故，D正确，三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________.答案：解析：思路：利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围.解答过程：由正弦定理，得.若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以.所以，所以.故答案为.13.矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________.答案：解析：思路：根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案.解答过程：设中点为，根据矩形的性质，可知，所以点即为四面体外接球的球心，因为，所以四面体外接球的半径，所以该四面体外接球的体积为.14.如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________.答案：2解析：思路：由向量的几何意义可知，=，求解最大，即可根据不等式求解求得最值.解答过程：如图，先将视为定点，设，则，连接，则，过作的平行线交圆于，交于，且为垂足，又知当在同侧时，取最大值，设在的投影为，当确定时，为定点，则当落在处时，最大，由向量的几何意义可知，=，最大时为，又,，∴最大为,当且仅当时等号成立，即，∴的最大值为2.四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在平行四边形中，是上一点，是上一点，且，.设.（1）用基底分别表示向量；（2）若，用平面向量方法证明三点共线.答案：（1）,,（2）证明见解析解析：思路：（1）利用向量的线性运算即可求解；（2）利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线.（1）由向量的减法可得，由向量的加法可得，同理；（2）由，则，所以，又为公共点，即三点共线.16.已知i为虚数单位，复数是的共轭复数.（1）若是纯虚数，求；（2）在复平面内，复数对应的点分别是，若为直角三角形，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求出复数的表达式，再利用纯虚数的条件列出表达式，即可求得结果.（2）因为为直角三角形，根据点的坐标可得，可得两个向量的数量积等于0，即可求得结果.（1）．∵为纯虚数，∴，解得，∴，．（2）复数，，是的共轭复数，所以则，，．∵为直角三角形，显然．∴．即．解得．17.如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高.（1）求四棱台的表面积；（2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积；（2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比；（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连接，过点作，交于点.则，所以，所以四棱台的表面积.（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，高，则圆台的体积为．又正四棱台的体积，所以削去部分的体积，所以削去部分与圆台的体积之比为；18.在中，角的对边分别是，满足，且.（1）求角的大小；（2）为边上的一点，，且__________，求的面积；（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①是角的平分线；②为线段的中点.（3）若为锐角三角形，求边上高的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以；（2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积；若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积；（3）由正弦定理和三角恒等变换得到表达式，由锐角三角形，求出，由三角形面积公式求出.（1）由可得，，故，即，得，由于，故，.（2）若选①：由平分得：，又，，，即．在中，由余弦定理得，又，则，联立，得，解得，；若选②：为线段的中点，则，则，由（1）知，所以，在中，由余弦定理得，又，则，联立，得，．（3）由（1）知，已知，由正弦定理得，故，，由于为锐角三角形，故，故，因此，，则，故三角形的面积为，故边上的高为，.19.设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足.（1）设，计算和；（2）设，求证：；（3）如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值.答案：（1）（2）证明见解析（3）7解析：思路：（1）利用平面向量数量积的