2025-2026学年甘肃古浪县第三中学等校高二下册第二阶段联考考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点是曲线上一点，则P处的瞬时变化率为（）A.2 B.4 C.6 D.2.已知空间向量与共线，则（）A.-6 B.6 C.-4 D.43.下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；③某派出所一天内接到的报警电话次数；④某同学上学路上离开家的距离．其中是离散型随机变量的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.5.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（）A.1600 B.1800 C.2100 D.24006.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（）A. B.C. D.8.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（）A. B.6 C.4 D.211.设是一次随机试验中的两个事件，且，则（）A.相互独立 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为____________．13.某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________．14.在空间直角坐标系中，已知点，，，AD为的边BC上的高，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最值.16.某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款（单位：元）顾客人数20a5060（1）求a的值；（2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望．17.为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛．（1）设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值．18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.19.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点是曲线上一点，则P处的瞬时变化率为（）A.2 B.4 C.6 D.答案：B解析：思路：直接瞬时变化率计算公式即可得到答案.解答过程：曲线在点处的瞬时变化率为，故选：B．2.已知空间向量与共线，则（）A.-6 B.6 C.-4 D.4答案：B解析：思路：利用空间向量共线的坐标表示计算即可.解答过程：因为空间向量与共线，不妨设，则，所以，解之得，则.故选：B3.下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；③某派出所一天内接到的报警电话次数；④某同学上学路上离开家的距离．其中是离散型随机变量的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据离散型随机变量的定义判断即可.解答过程：对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选：B．4.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据投影向量的计算公式即可求解.解答过程：,故向量在向量上的投影向量为，故选：D5.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（）A.1600 B.1800 C.2100 D.2400答案：D解析：思路：根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答.解答过程：依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，由，得，80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，所以设参加本次联考的总人数约为，则，解得.故选：D.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据函数是奇函数判断A，根据特殊值判断D，根据函数单调性判断B，C.解答过程：为奇函数，排除选项A；排除选项D；当时，必有0，所以排除选项B，C正确.故选：C.7.如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：结合题意，根据向量的线性运算即可求解.解答过程：,，所以，所以，所以.故选：A.8.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.解答过程：由函数，可得，因为在上单调递增，有恒成立，整理为，令，可得，由二次函数的单调性，则满足，可得，即实数的取值范围为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可.解答过程：对于选项A，，故A正确；对于选项B，，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，，故D错误．故选：ABC10.已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（）A. B.6 C.4 D.2答案：AC解析：思路：求导可得函数的单调区间，进而求得极小值与极大值，根据函数恰有两个零点，可得满足的条件，求解即可.解答过程：或，在和上单调递增，在上单调递减，，由函数恰有两个零点，可得且或且，解得或．即实数c的值是或4．故选：AC.11.设是一次随机试验中的两个事件，且，则（）A.相互独立 B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式计算逐项判断可得答案.解答过程：对于A，由题意可知，则，因此，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，所以，因此，故C错误；对于D，，因此，即，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为____________．答案：解析：思路：利用导数的几何意义求解.解答过程：因为，所，所以曲线在处切线方程为，即．故13.某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________．答案：##0.6875解析：思路：设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可.解答过程：设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，则，，，，由全概率公式可得.故答案为.14.在空间直角坐标系中，已知点，，，AD为的边BC上的高，则______．答案：解析：解答过程：BA⃗=−1,−1,−1，BC即为在上的投影向量，所以BD⃗=BA⃗所以AD=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最值.答案：（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为32，极小值为0（2）最大值为32，最小值为0解析：思路：（1）根据导函数的正负可确定的单调区间；根据单调性可知极大值为，极小值为，代入求得结果；（2）根据（1）可得极大值和极小值，再求端点值对应函数值，可得最大值和最小值.（1）函数的定义域为，，令，解得或.当或时，；当时，，所以函数的单调递增区间为：，；单调递减区间为：；当时，函数取极大值，且极大值为；当时，函数取极小值，且极小值为；（2）由（1）知，在区间上，当时，函数有极大值，且极大值为；当时，函数取极小值，且极小值为；又因为，.所以函数在区间上的最大值为32，最小值为0.16.某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款（单位：元）顾客人数20a5060（1）求a的值；（2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望．答案：（1）30（2）分布列见解析，数学期望为解析：思路：（1）由顾客总人数可得值；（2）由题意1人购物获得纪念品的频率即为概率．而，由二项分布概率公式求得概率的分布列，由期望公式计算期望．（1）由题意有，解得，故a的值为30．（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配，则，，，，，．则的分布列为：012345P的数学期望为．17.为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛．（1）设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值．答案：（1）（2）分布列答案见解析，解析：思路：（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.（1）解：由题意可得.（2）解：由题意可知，人中，种子选手共人，非种子选手共人，从这人中随机抽取人，其中种子选手的人数为随机变量，则的可能取值有、、、、，则，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：(1)将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取的中点，连，,证明即可；（2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角的余弦值，进一步求解出正弦值.解答过程：（1）证明：如图，取的中点，连，，∵，，∴∵在直角梯形中，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴∵平面，平面，，∴平面，（2）∵平面，，∴，，两两垂直，以为原点，，，向量方向分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标如下：，，，，设平面的法向量为由，，有,取，则，，即设平面的法向量为由，，有，取，则，，即所以故二面角的正弦值为.方法提示：本题考查了