2025-2026学年甘肃嘉峪关市酒钢三中高一下册4月期中2数学试题 含答案

/数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，且，则A. B. C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.设，复平面内表示复数的点在直线上，则（）A. B. C. D.4.如图，在底面为正方形的平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（）A.个 B.个 C.个 D.个5.在正方形中，为的中点，若，则的值为A. B. C. D.16.假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最大值和最小正周期分别是（）A. B.C. D.7.已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（）A. B. C. D.8.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.26二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法中，正确的是（）A.任意单位向量的模都相等. B.若，是平面内的两个不同的点，则C.若向量，，则 D.零向量与任意向量平行10.已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（）A. B. C. D.11.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A. B.为纯虚数C.复数的模长等于 D.的共轭复数为第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，与夹角是，则__________．13.已知，则__________．14.表示虚数单位，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.16.已知向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求与的夹角的余弦值.17.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．18.已知点，，为坐标原点，函数（1）求的解析式及最小正周期（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积19.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且．（1）求的值；（2）证明：；（3）若，求的值．

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，且，则A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：试题分析：因为，，且，所以，，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解．解答过程：，所以复数的共轭复数为．3.设，复平面内表示复数的点在直线上，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数.解答过程：复数对应的点的坐标为，因为该点在直线上，所以，解得，则.故选：B.4.如图，在底面为正方形的平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（）A.个 B.个 C.个 D.个答案：C解析：思路：根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解.解答过程：由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为：，共7个.故选：C．5.在正方形中，为的中点，若，则的值为A. B. C. D.1答案：B解析：思路：先求出,再求即得解.解答过程：由题得,.故选B方法提示：本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最大值和最小正周期分别是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：，，，中，，该声波函数的最大值为，最小正周期为．7.已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出的面积.解答过程：若轴，轴在直观图中的位置如图所示，过作轴交轴于，因为的边长为，所以的高为，因为，所以，所以对应的高，底，所以的面积.故选：B.8.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.26答案：C解析：思路：分别取线段的中点为，则可求得和，再根据即可求出.解答过程：分别取线段的中点为，因为圆心，则，则，，又为边的中点，则，则.故选：C二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法中，正确的是（）A.任意单位向量的模都相等. B.若，是平面内的两个不同的点，则C.若向量，，则 D.零向量与任意向量平行答案：AD解析：思路：根据单位向量、向量共线的定义判断即可；解答过程：解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确；对于B：与互为相反向量，故B错误；对于C：若时，与不一定共线，故C错误；对于D：零向量与任意向量平行，故D正确；故选：AD10.已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：点位置不确定，分为平行四边形，平行四边形，平行四边形三种情况讨论解答过程：设点的坐标为，若是平行四边形，则有，

可得，解得,

故所求顶点的坐标为.

所以A正确若是平行四边形，则有，

可得，解得，

故所求顶点的坐标为.

所以B正确若是平行四边形，则有，

可得，解得，.

故所求顶点的坐标为.

所以C正确故选：ABC11.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A. B.为纯虚数C.复数的模长等于 D.的共轭复数为答案：ABC解析：思路：利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误.解答过程：A：由题意，，正确；B：由题意，为纯虚数，正确；C：由题意，，其模长为1，正确；D：由题意，，则其共轭复数为，错误.故选：ABC第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，与夹角是，则__________．答案：解析：解答过程：，与的夹角，∴a13.已知，则__________．答案：解析：思路：方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.解答过程：［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开因为，所以，解之得．故．［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式．故．［方法三］：换元法＋两角和的正切公式令，则，且．．故．方法提示：方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式．14.表示虚数单位，则__________.答案：解析：解答过程：因为i+i2所以1+i四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将复数代入，令其实部为0，虚部不为0，可解得m，进而求出复数z；（2）先根据复数的除法法则计算w，再由公式计算w的模．解答过程：解：（1）是纯虚数，且（2）..方法提示：本题考查复数的概念和模以及复数代数形式的乘除运算，属于基础题．16.已知向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求与的夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.（2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.解答过程：（1）由,得,即,解得.（2）,.因为,所以,即.令,则.方法提示：本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.17.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.18.已知点，，为坐标原点，函数（1）求的解析式及最小正周期（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积答案：（1），最小正周期为（2）或解析：思路：（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果；（2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得.（1），，，则的最小正周期.（2），，，，则或，或；当时，，，，，，，又为的角平分线，，，，，；当时，，，，为的角平分线，，在中，由正弦定理得：，，在中，由正弦定理得：，，.综上所述：的面积为或.19.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且．（1）求的值；（2）证明：；（3）若，求的值．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）作