2025-2026学年甘肃兰州新区贺阳高级中学等校高二下册期中数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（）A.1 B. C.5 D.2.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.4.已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（）A. B. C. D.5.若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（）A. B. C. D.26.某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（）A.120 B.80 C.60 D.487.如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（）A. B. C.1 D.8.已知函数在处有极大值，则a＝（）A.2 B.14 C.－2或2 D.2或14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知三棱锥P－ABC的顶点分别为则（）A.B.向量与的夹角的余弦值为C.平面ABC的一个法向量为D.直线PA与平面ABC所成角的正弦值为10.设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（）A.d＝1 B.C. D.11.已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（）A.B.3是的极小值点C.当时，D.若，则过点可作两条直线与曲线相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______.13.已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______.14.记函数的导函数为，，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PBA＝∠PBC＝60°，BA＝BC＝4，PB＝6，D为AC的中点，M为BD的中点.（1）用表示，并求；（2）求异面直线PM与BC所成角的余弦值.16.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点.（1）求C的方程；（2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程.17.已知a≠0，函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.18.如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点.（1）证明.（2）求平面与平面所成角的余弦值.（3）若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积.19.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）设有3个不同的零点.（i）求的取值范围；（ii）若成等差数列，求该数列的公差.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（）A.1 B. C.5 D.答案：C解析：思路：空间点到平面的距离即为该点坐标的绝对值.解答过程：因为，所以点P到平面Oxy的距离为5.2.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据基本初等函数的导数公式判断.解答过程：依题意，，只有D正确.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，且，根据向量平行的充要条件，存在实数，使得，所以，解得.4.已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用导数的定义求解.解答过程.5.若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长.解答过程：可化为，圆心的坐标为，半径为，则圆心到直线x＋y＝0的距离为，所以.6.某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（）A.120 B.80 C.60 D.48答案：A解析：思路：分步：第一步选3人去A服务点，剩下3人分成两组去B，C两个服务点，一个去1人，一个去2人.解答过程：先选3人去A服务点，剩下3人按照1，2人数分组后安排去B，C两个服务点，不同的安排方法种数为.7.如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解.解答过程：以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，所以，令，则，可得.因为，所以点A到平面PMN的距离.8.已知函数在处有极大值，则a＝（）A.2 B.14 C.－2或2 D.2或14答案：A解析：思路：求出，由解得值，然后检验参数取值是否满足题意..解答过程：，由题可知，解得a＝2或a＝14.当a＝14时，，时，，递减，时，，递增，因此在处有极小值，不符合题意；当a＝2时，，时，，递增，时，，递减，在处有极大值，符合题意.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知三棱锥P－ABC的顶点分别为则（）A.B.向量与的夹角的余弦值为C.平面ABC的一个法向量为D.直线PA与平面ABC所成角的正弦值为答案：AC解析：思路：A.判断；B.由向量的夹角公式求解判断；C.由平面ABC的法向量定义求解判断；D.由直线与平面所成的角向量求法求解判断.解答过程：由已知得，则，所以，A正确；因为，所以，B错误；设平面ABC的法向量为，所以，令，则，可得，C正确；直线PA与平面ABC所成角的正弦值为，D错误.故选：AC10.设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（）A.d＝1 B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据，得到，，再逐项判断.解答过程：因为，所以.因为，所以，即，，，A正确，B错误，C正确.因为，所以，D正确.11.已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（）A.B.3是的极小值点C.当时，D.若，则过点可作两条直线与曲线相切答案：ABD解析：思路：已知式中令，求得，再求得，利用求得，从而得解析式，直接计算函数值判断A，利用导数判断BCD.解答过程：对A，令x＝0，得，即，又，则，所以，所以，故，A正确；对B，，时，，时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以3是的极小值点，B正确；对C，当时，，则，C错误；对D，设切点为，切线方程为，点在切线上，所以，化简可得，因为，所以，故关于m的方程有两个解，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______.答案：2解析：思路：根据空间向量共面定理的推论求解.解答过程：因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2.13.已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______.答案：解析：思路：借助导数的几何意义计算即可得.解答过程：由图可知点处的切线斜率为，即，则切线方程为，所以，故.14.记函数的导函数为，，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______.答案：解析：思路：根据条件构造函数，判定单调性后对原不等式变形，利用单调递减条件可转化为当时，恒成立，由此可求结论.解答过程：令，则，所以函数为减函数.由，可得，即＜，所以当时，恒成立，即，所以，故a的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PBA＝∠PBC＝60°，BA＝BC＝4，PB＝6，D为AC的中点，M为BD的中点.（1）用表示，并求；（2）求异面直线PM与BC所成角的余弦值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据向量的线性运算及数量积的运算律求解即可；（2）根据向量的夹角公式求解.（1），.（2），，故异面直线PM与BC所成角的余弦值为.16.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点.（1）求C的方程；（2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知条件列出关于的方程组求解；（2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解.（1）由题可知解得a＝2，，所以C的方程为.（2）设直线l：y＝x＋m，.由得，则，，解得，所以l的方程为.17.已知a≠0，函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.答案：（1）时，单调递减区间为，无单调递增区间；时，单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析解析：思路：（1）按的正负分类讨论的正负，得单调区间；（2）求出的最小值，利用作差法证明这个最小值，作差后引入新函数，求出新函数的最小值得证.（1）由题意得的定义域为，由，可得.若，则在上恒成立，则的单调递减区间为，无单调递增区间.若，则当时，，当时，，则的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）当时，，要证，只需证.又，所以只需证.令，则，则当时，，当时，，即的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，即，所以当时，.18.如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点.（1）证明.（2）求平面与平面所成角的余弦值.（3）若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解.（3）利用空间两点间距离公式建立方程组，求出球半径，进而求出球的体积.（1）在斜三棱柱中，取的中点，连接，由等腰，，得，由正，得，由侧面⊥底面，侧面底面，侧面，得⊥平面，而平面，则，由为的中点，得四边形为平行四边形，则，，又，平面，因此平面，又平面，所以.（2）由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，而平面的一个法向量为，因此，所以平面与平面所成角的余弦值为.（3）由，得，设球心，球半径为，则,解得，所以球的体积为.19.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）设有3个不同的零点.（i）求的取值范围；（ii）若成等差数列，求该数列的公差.答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（2）（i）由题意得有三个零