2025-2026学年甘肃兰州亚西亚中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一､单选题（本大题共8小题，共40分）1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()①+2+2;②2+2+3+3;③;④.A.①② B.②③C.②④ D.①④2.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.4.已知函数，则（）A. B. C. D.5.直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6.下列求导运算正确的是（）A.，则B.若，则C.若，则D.若，则7.在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（）A.0 B. C. D.8.已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3小题，共18分）9.若函数既有极大值也有极小值，则（）．A. B. C. D.10.下列结论正确的是（）A.B.设函数，且，则C.若，则D.设函数的导函数为，且，则11.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）A.B.C.四边形的面积为D.平行六面体的体积为三､填空题（本大题共3小题，共15分）12.已知空间中有三点，则A到直线的距离为__．13.已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.14.已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．（1）求的长；（2）求和夹角的余弦值．16.已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值：（2）求的极值．17.棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．18.在三棱锥中，，，为中点，平面平面.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积；（3）求平面与平面夹角的余弦值.19.将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；（2）多大时，盒子的容积最大?

数学一､单选题（本大题共8小题，共40分）1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()①+2+2;②2+2+3+3;③;④.A.①② B.②③C.②④ D.①④答案：C解析：思路：无论是平面向量还是空间向量，各向量的和为零向量必定有各向量恰好形成一个回路，即起点与终点重合，也可以运用向量加法法则直接计算．解答过程：①===；②==；③=；④=表示恰好形成一个回路，结果必为；综上可知答案选C．方法提示：本题考查了向量的基本运算，关键掌握相应运算的法则，属于基础题．2.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可.解答过程：由已知可得，所以向量在向量上的投影向量是.故选：D.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以切线的斜率为，故所求切线的方程为，即．4.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解.解答过程：由可得，，．故选：C5.直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：B解析：思路：通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论.解答过程：由题意，选项A，若，共线，，A错误；选项B，若，垂直，则，B正确；选项C，若，共线，，C错误；选项D，若，共线，，D错误.6.下列求导运算正确的是（）A.，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：D解析：思路：直接根据导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可．解答过程：对于A，，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：D．7.在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（）A.0 B. C. D.答案：A解析：思路：设，利用基底表示，计算.解答过程：设，则，，因为，，则，则，故直线与所成角的余弦值为.故选：A8.已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意构造函数，利用导数研究其单调性，根据其解不等式，可得答案.解答过程：令，则，即在上单调递减．由，得，则，得，所以，得，所以原不等式的解集为.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，共18分）9.若函数既有极大值也有极小值，则（）．A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.解答过程：函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD10.下列结论正确的是（）A.B.设函数，且，则C.若，则D.设函数的导函数为，且，则答案：BD解析：思路：根据导数的运算规则可判断AC的正误，对于B，求出函数的导数后结合导数值可求自变量的值，对于D，求出函数的导数后利用赋值法可求.解答过程：对于A，，故A错误；对于C，若，则，故C错误；对于B，若，故，故，故B正确；对于D，，故，故，故D正确；故选：BD.11.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）A.B.C.四边形的面积为D.平行六面体的体积为答案：BD解析：思路：A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积．解答过程：因为，则，故，A错误；，，，故，B正确；连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，面积为，C错误；过作面，在直线上，过作于，连接，由平面，得平面，平面，得，故，，，故平行六面体的体积为，D正确．故选：BD．三､填空题（本大题共3小题，共15分）12.已知空间中有三点，则A到直线的距离为__．答案：解析：思路：应用向量法求点线距离即可.解答过程：由题设，则A到直线的距离.故13.已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.答案：2解析：思路：先利用导数的几何意义求出切线方程，然后利用导数几何的意义求得曲线的切点坐标，即可求解.解答过程：设，则，又，所以，则切线方程为，设，则，令，解得，所以.故214.已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.答案：解析：解答过程：因为，且，都有，所以，即，所以在上单调递增，又，所以对所有恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为．四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．（1）求的长；（2）求和夹角的余弦值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用空间向量的线性运算，再结合数量积运算，即可求模；（2）利用向量的数量积来求异面直线夹角余弦值即可.（1）由，因为，，，，，所以则，即；（2）由，所以,故和夹角的余弦值为．16.已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值：（2）求的极值．答案：（1）（2）极大值为，无极小值.解析：思路：（1）利用导数的几何意义来求参数；（2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值.（1）由题意得：，因为在处的切线与直线平行，所以，故.（2）由（1）得：，定义域为，令，得，则，，的变化情况如下表：0单调递增单调递减故的极大值为，无极小值.17.棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.解析：思路：（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论.（2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论.（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，法一：，设平面的一个法向量为，由，取，得，所以，故，又平面，所以平面；法二：，所以，故，又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，由，令，得，设平面的一个法向量为，由，令，得，由，得，故平面平面.18.在三棱锥中，，，为中点，平面平面.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积；（3）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）利用线面垂直的性质定理以及线段垂直平分线的性质证明即可；（2）利用余弦定理、三角形面积公式以及锥体的体积公式计算即可；（3）建立空间直角坐标系，结合几何性质求出相关长度，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法求解即可.（1）因为，点为中点，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.又点为中点，所以是线段的垂直平分线，所以.（2）由（1）知，点为中点，所以，所以.在中，.在中，cos∠PMB又∠PMB∈0,所以.由，，平面，点为中点，所以三棱锥的体积为：.（3）由平面平面，，所以以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可知轴所在直线在平面内，所以，设，则在平面中，因为，所以为钝角，过作垂直于的延长线于点，如图所示：由，所以cos∠PMQ在直角三角形中，，所以，所以，设平面的一个法向量为，又，则PA⋅令，，所以n=4,0,2设平面的一个法向量为，又，则PB⋅令，，所以m=3,3设平面与平面所成的夹角为，所以cosθ19.将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.（1）