2025-2026学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二下册4月期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1.计算的值是（

）A.41 B.61 C.62 D.822.已知数列满足，（），则（）A. B.9 C.11 D.133.已知函数，若，则实数（）A. B. C. D.4.已知函数，且，，成等比数列，则（）A. B. C. D.5.甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（

）A.24种 B.16种 C.12种 D.4种6.已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.7.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.8.若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知等差数列的前项和是，且，则（）A. B. C. D.的最小值为10.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值D.函数在处取得极大值11.已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等差数列中，，，则_______________.13.设等比数列的前项和为，若，则______．14.若命题“函数无极值”为真命题，则实数的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设函数在处取得极大值．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最值．16.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足cn=−4an+2n+117.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.18.在数列中，且．（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，数列满足．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求．19.已知函数，其中，且；．（1）试求的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数；（3）若恒成立，求的取值范围．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1.计算的值是（

）A.41 B.61 C.62 D.82答案：B解析：思路：利用排列数和组合数公式计算即可．解答过程：，，,因此.故选：B.2.已知数列满足，（），则（）A. B.9 C.11 D.13答案：C解析：思路：由题可知数列是公差为的等差数列，则，再代入计算即可．解答过程：，，数列是公差为的等差数列，，．故选：C．3.已知函数，若，则实数（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.解答过程：因为，故，所以，可得，解得.故选：A.4.已知函数，且，，成等比数列，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题可知，则，，，所以，解得.5.甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（

）A.24种 B.16种 C.12种 D.4种答案：D解析：思路：根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解.解答过程：甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法，丙、丁共有排列有种方法，所以总的不同的安排方法有种.故选：D.6.已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数单调性得的解，然后分类讨论可得.解答过程：由已知时，，时，或，所以或，综上不等式的解集为，故选：D.7.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得.解答过程：因为，所以，所以当时，，，…，，累加可得，因为，所以，当时，，满足上式，所以，故选：B．8.若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可.解答过程：设，由函数，得，所以过点的切线斜率，根据二次函数的图像性质，可得，又，即，又，所以得的取值范围是.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知等差数列的前项和是，且，则（）A. B. C. D.的最小值为答案：BD解析：思路：根据等差数列的性质得当时，；当时，；对选项逐一判断.解答过程：由，所以，即，所以当，时，；当，时，；所以，故A错；，故B对；，故C错；的最小值为，故D对.故选：BD10.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值D.函数在处取得极大值答案：AD解析：思路：利用函数的导函数图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.解答过程：由函数的导函数的图象可知，当时，，所以在上单调递增，故B错误；当时，，所以在上单调递减，即函数在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选：AD.11.已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：采用逐一验证的方法，通过构造函数，，，，根据这些函数在的单调性可得结果.解答过程：设，，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，A正确；设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即，故，B错误；设，，则在上恒成立，故函数单调递增，，即，C正确；设，，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，故，D正确.故选：ACD.方法提示：本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等差数列中，，，则_______________.答案：11解析：思路：根据等差数列的性质，得出，即可求解.解答过程：根据等差数列的性质，可得，所以，故11.13.设等比数列的前项和为，若，则______．答案：31解析：思路：设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可.解答过程：因为为等比数列，且，所以，，成等比数列．设，则．因则有，即，所以．故．故31.14.若命题“函数无极值”为真命题，则实数的取值范围是_________．答案：解析：思路：因为，无极值，则可得恒成立，即可求解.解答过程：，因为函数无极值，所以方程恒成立，所以只需，解得，即．故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设函数在处取得极大值．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最值．答案：（1）（2），解析：（1），，由题意得，即，解得，，经验证符合题意，所以．（2）由（1）可得，令，得，，

+0-0+

单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在，单调递增，在单调递减，且，，，所以，16.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据，，求解即可；（2）利用分组求和计算即可.（1）因为，当时，，即，解得；当时，，两式相减，得，所以，所以数列是等比数列，其首项为，公比，所以，当时，，满足题意，综上，；（2）因为cn所以17.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（3）解析：思路：（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论.（3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间.（1）当时，，所以所以切线方程为即，（2），若，可得时，，所以在上单调递增；若时，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为，此时极小值也是最小值，由，可得，，又，所以令，求导得，所以在上单调递减，又，当时，，当时，，所以时，，此时满足，所以a的取值范围18.在数列中，且．（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，数列满足．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求．答案：（1）证明见解析，（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：思路：（1）由可得，由等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式；（2）（Ⅰ）借助与关系计算可得数列的通项公式，再结合（1）中所得即可得的通项公式；（Ⅱ）借助错位相减法计算即可得.（1）由，则，又，故数列是以为首项为公差的等差数列，则，故；（2）（Ⅰ）当时，a1b则an当时，a1b故anbn=−3（Ⅱ）Sn则−3S则S=1+−3⋅则Sn19.已知函数，其中，且；．（1）试求的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数；（3）若恒成立，求的取值范围．答案：（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）当时，有1个零点；当或时，有2个零点；（3）．解析：思路：（1）将函数求导，根据导函数的符号即可求得单调区间；（2）利用零点定义将问题转换成方程的根的个数，构造函数，通过导数作出其图象，再由和、分类讨论即得；（3）通过和讨论，结合反函数对称性得到．进而构造函数，求导确定最小值，进而可求解.（1）函数的定义域是，，∴当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）函数等价于．两端同取自然对数，得，即．令，则原题转化为的解的个数．由（1）知，当时，，单调递增；当时，，单调递减．则在处取得极大值，也是最大