2025-2026学年山东德州市夏津第一中学高一下册4月份月考数学试题 含答案

/数学一、单选题1.已知向量，，若，则（）A. B.2 C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.下列说法正确的是（）A.若且，则 B.若且，则C.若，则 D.5.已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.6.如图是函数图象的一部分，M，N是它与轴的两个交点，C，D分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为（）A. B.C. D.7.设，则有（）A. B. C. D.8.给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（）A. B.C. D.二、多选题9.已知，，均为单位向量，则（）A. B.的最小值为C.向量在向量上的投影向量为 D.10.下列各式中，化简结果为的是（）A. B.C. D.11.点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（）A.若，则点为的重心B.若．则点为的垂心C.若，则点为的外心D.在中，且，则为等边三角形三、填空题12.已知角的终边在直线上，则____________.13.已知向量，，若，方向相反，则______．14.点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______.四、解答题15.在中，,设，．（1）用，表示，；（2）若，向量的夹角为，求的模长；（3）若为内部一点，且，求证：，，三点共线．16.已知，且，（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的值．17.在菱形中，，，，.（1）若，求的值；（2）求的值；（3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围.18.图，在扇形中，半径，圆心角，是弧的中点，是扇形弧上的动点，满足，矩形内接于扇形.（1）用表示线段的长;（2）求矩形面积的最大值.19.已知函数，定义域为．（1）求函数的最小正周期；（2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．

数学一、单选题1.已知向量，，若，则（）A. B.2 C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，即，所以.2.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，则.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将两端平方，从而解出与的夹角.解答过程：因为，所以，所以，所以．4.下列说法正确的是（）A.若且，则 B.若且，则C.若，则 D.答案：C解析：思路：由向量的坐标运算可得A错误；当时可得B错误；由模长的运算和数量积的运算律可得C正确；由数量积的定义结合数乘向量定义可得D错误.解答过程：A：设，则，且，但，故A错误；B：当时，由于零向量与任意向量都共线，所以与不一定平行，故B错误；C：因为，所以，所以，所以，故C正确；D：由数量积的运算可得与共线，与共线，由于不知道间关系，所以原式不一定相等，故D错误；故选：C.5.已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，解得，即，因为，，所以在方向上的投影向量的坐标为.6.如图是函数图象的一部分，M，N是它与轴的两个交点，C，D分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据图像，是线段的中点，判断出函数最值求出,设出的坐标，利用向量数量积的坐标表示求出坐标和周期，带入坐标求出所有参数，可得解析式解答过程：因为是线段的中点，所以的纵坐标为2，函数最大值为2，则,设，则，可知函数周期，求得，可知，则，，解得，可知周期，，因为，解得，将带入函数得，解得，可知.则.故选：B.7.设，则有（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对分别用诱导公式及和差角公式，半角公式化简，再结合正弦函数的单调性判断可得.解答过程：由.由，因为，所以，故.再由，所以，所以，即，故D正确.8.给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：结合数量积的运算律，利用向量垂直条件逐项判断即可.解答过程：A选项，可考虑反例，此时该式＝，错误；B选项，当不与垂直时，该结果就不等于0，错误；C选项，可考虑反例，此时该式＝，错误；D选项，因此这两个向量垂直，正确．二、多选题9.已知，，均为单位向量，则（）A. B.的最小值为C.向量在向量上的投影向量为 D.答案：ACD解析：解答过程：已知，，均为单位向量，则，对其展开得：，代入模长得，解得，选项A：，两向量垂直，A正确；选项B：，这是开口向上的二次函数，最小值在处取得，最小值为，因此的最小值为，B错误；选项C：向量在向量上的投影向量为a→−b选项D：，夹角范围为，因此，D正确.10.下列各式中，化简结果为的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为，整理得，所以，故C正确；对于D：，故D错误.11.点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（）A.若，则点为的重心B.若．则点为的垂心C.若，则点为的外心D.在中，且，则为等边三角形答案：ABD解析：解答过程：对于A，如图因为，所以，取中点，则有，所以点三点共线，则为三角形中线，同理所在直线也是中线，所以点为的重心，故A正确.对于B，因为，所以，所以，同理，，所以点为的垂心，故B正确对于C，由B可知，选项C错误.对于D，因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，由平行四边形法则，在的角平分线上，又因为，所以的角平分线垂直于，所以为等腰三角形，又因为，所以，所以，所以为等边三角形，D正确.三、填空题12.已知角的终边在直线上，则____________.答案：##解析：解答过程：根据题意可知：，所以，所以.13.已知向量，，若，方向相反，则______．答案：解析：思路：由题意可设，由此即可求出参数的值，从而进一步得解.解答过程：因为，，且，方向相反，所以可设，则，解得或（舍去），所以，．故答案为.14.点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______.答案：解析：思路：以为原点平面直角建立坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示得出所求表达式，再配方求最值即可．解答过程：如图，以为原点平面直角建立坐标系，则，设，，则当时，取得最小值，最小值为．四、解答题15.在中，,设，．（1）用，表示，；（2）若，向量的夹角为，求的模长；（3）若为内部一点，且，求证：，，三点共线．答案：（1）；（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）利用向量的线性运算结合图形即可求解；（2）利用向量的数量积的定义与运算律计算即得；（3）利用条件表示出，推得即可得证.（1）；；（2）依题意，，由（1）得，则；（3）因，而由（1）知，则，又共点，故，，三点共线.16.已知，且，（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）两边同时平方，结合同角关系即可解得的值；（2）联立，结合，可解得，使用和差公式可得，使用二倍角公式分别求即可求解；（3）原式化简变形得，由（2）可得的值，进而可求得的值.（1），两边同时平方得，解得.（2）,则有，联立，且，解得，所以，则.（3）由题意，，分式上下同时除以得，由（2）得，将，代入得，即,17.在菱形中，，，，.（1）若，求的值；（2）求的值；（3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围.答案：（1）；（2）；（3）不是定值，取值范围为.解析：思路：（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值；（2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值；（3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围.（1）因为，，所以,又因为，所以，，所以；（2）因为，所以，在菱形中，，所以，所以（3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.由菱形边长为，，得，，，，因为，易得，由可得，在线段上，则

，.，，所以，又，所以，又因为，所以.故不是定值，取值范围为

.18.图，在扇形中，半径，圆心角，是弧的中点，是扇形弧上的动点，满足，矩形内接于扇形.（1）用表示线段的长;（2）求矩形面积的最大值.答案：（1），其中；（2）解析：思路：（1）作出辅助线，得到，由对称性可知⊥，表达出各边长，得到，其中；（2）由三角恒等变换得到，并根据求出最大值.（1）连接，，由对称性可知⊥，设交于点，交于点.在中，，，在中，，，其中；（2）由（1）得矩形的面积，当，即时，取得最大值，最大值为.19.已知函数，定义域为．（1）求函数的最小正周期；（2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．答案：（1）;（2）（3）解析：思路：（1）利用三角公式将化简，应用公式即可求出周期；（2）将方程两个实数解问题转化成函数有两个交点问题，利用换元将函数转化成正弦函数求解；（3）