2025-2026学年甘肃民乐县第一中学高三下册5月第二次模拟考试数学试题 含答案

/数学，考试）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为实数，则（）A.1 B. C. D.23.抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（）A.88.5 B.89 C.91 D.89.54.已知数列为等比数列，，，则（）A.1 B.2 C.4 D.65.已知，则（）A. B. C. D.6.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（）A. B. C. D.7.已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（）A. B. C. D.8.已知函数，若且，则的最小值为（）A. B.9 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.若，则或3D.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在上有最小值D.直线是函数的一条对称轴11.已知数列的前项和为，，且，则（）A.B.“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件C.若为单调递增数列，则D.若，则数列的前（为奇数）项和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式的展开式中，各项系数的和是___________.13.已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________．14.已知函数，则不等式的解集为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求.16.如图，在三棱锥中，平面，F为的中点，，，E在上，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．17.小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格：大小光泽直径小于70毫米直径不小于70毫米合计着色度低于90%2050着色度不低于90%120合计200（1）完成上面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关?（2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．19.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点．①求面积的最大值以及此时直线的方程；②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值．

数学，考试）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：用列举法表示集合，再利用交集的定义直接求解.解答过程：依题意，，，所以.故选：C2.已知为实数，则（）A.1 B. C. D.2答案：B解析：思路：根据复数的分类，结合复数模的运算公式进行求解即可.解答过程：因为为实数，所以，解得，则，故选：B3.抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（）A.88.5 B.89 C.91 D.89.5答案：D解析：思路：将数据从小到大排列，计算，得到答案.解答过程：甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86,87,88,88,89,90,92.，这10次成绩的80%分位数为.故选：D.4.已知数列为等比数列，，，则（）A.1 B.2 C.4 D.6答案：B解析：思路：由等比数列的性质求出，再由得出即可.解答过程：，，又，.故选：B．5.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解.解答过程：．故选：B.6.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.解答过程：由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，且圆锥的母线长为，所以该陀螺的表面积为.故选：C.7.已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积．解答过程：如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则，不妨设在双曲线的右支上，设，又，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理可得：，即，解得，所以．8.已知函数，若且，则的最小值为（）A. B.9 C. D.答案：A解析：思路：根据题意得出，再利用基本不等式即可求得答案.解答过程：作出函数的图象，如图所示，因为，即，因为，由图可知，，即，所以有．则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.若，则或3D.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为答案：BC解析：思路：对于A，通过向量平行的坐标计算公式计算即可；对于B，通过向量垂直的坐标计算公式计算得到的值从而判断；对于C，通过向量模的坐标计算公式计算得到的值从而判断；对于D，通过投影向量公式计算即可.解答过程：对于A，若，有，可得，故A错误；对于B，若，有，可得，故B正确；对于C，由，有，解得或3，故C正确；对于D，若，有，由，可得向量在向量上的投影向量的坐标为，故D错误．故选：BC．10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在上有最小值D.直线是函数的一条对称轴答案：BC解析：思路：根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可.解答过程：由图可知，，函数的最小正周期，∴，∴．将点代入解析式中可得，∴，解得，∵，∴，∴，故A错误.∵，∴函数的图象关于点对称，故B正确.当时，，∴，即最小值为，故C正确．∵，∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误.故选：BC．11.已知数列的前项和为，，且，则（）A.B.“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件C.若为单调递增数列，则D.若，则数列的前（为奇数）项和为答案：ACD解析：思路：根据，的关系，结合等差数列的定义、充要条件的定义、数列单调性的性质逐一判断即可.解答过程：因为，所以当时，，因为，所以，又因为，所以，所以选项A正确；因为①，当时，②，①②得：，因为，所以，所以数列奇数项与偶数项分别成等差数列.若，又，因为，所以数列的奇数项以为首项，为公差的等差数列，即，列的偶数项以为首项，为公差的等差数列，即，所以有，所以数列是等差数列；若数列是等差数列，则有，所以有，因此“”是“数列为等差数列”的充要条件，所以B错误；若数列为单调递增数列，对于任意，都有，当为偶数时，，当为奇数时，，解得，所以C正确；若，当为奇数时，，故；当为偶数时，故，则当为奇数时，，所以，即当为奇数时，的前项和为，所以D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式的展开式中，各项系数的和是___________.答案：解析：思路：令赋值法即可求解.解答过程：在中，令可得，所以各项系数之和为，故答案为.13.已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________．答案：解析：解答过程：如图，抛物线的准线方程为，过点作，垂足为，由抛物线定义可知，所以，当时，取得最小值，所以，则，此时点的坐标为．14.已知函数，则不等式的解集为______．答案：解析：思路：先利用导数法判断在上单调递增，利用单调性性质判断在上单调递增，然后利用单调性性质可得在R上单调递增，进而得在R上单调递增，将不等式可化为，最后利用单调性求解即可.解答过程：当时，，所以，所以在上单调递增，所以；当时，，因为在上单调递减，在定义域内单调递增，所以在上单调递减，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以；所以在R上单调递增.令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，所以在R上单调递增，且，故不等式可化为，所以，所以不等式的解集为.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理，化简已知条件，即可求得；（2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，求得，再利用余弦定理即可求得.（1）因为，由正弦定理得，则，即，又在中，由，故.因为，所以.（2）因为的面积为，所以，得.又由，有，则，可得，由余弦定理得，则，可得.16.如图，在三棱锥中，平面，F为的中点，，，E在上，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，再由平面夹角余弦值的向量求法求解即可.（1）平面，平面，，又，平面，平面，平面，，，为的中点，，又平面，平面；（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，平面的一个法向量为，由（1）知，平面，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为．17.小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格：大小光泽直径小于70毫米直径不小于70毫米合计着色度低于90%2050着色度不低于90%120合计200（1）完成上面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关?（2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）2×2列联表见详解，有关；（2）分布列见详解，数学期望为.解析：思路：（1）由已知条件即可完成列联表，由独立性检验知识可以完成判断；（2）依据组合的知识、古典概型公式以及期望公式即可求解.（1）2×2列联表如下：大小光泽直径小于70毫米直径不小于70毫米合计着色度低于90%203050着色度不低于90%30120150合计50150200零假设为：苹果的大小达标和色泽达标无关．根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为苹果的大小达标和色泽达标有关；（2）按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，则一级果：（个），二级果：（个），三级果：（个）X的所有可能值为0，1，2，3，4，所以，，，，所以X的分布列为：X01234P所以．18.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．答案：（1）极小值为1，无极大值.（2）（3）答案见解析.解析：思路：（1）把代入，利用导数求出函数的极值.（2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可.（3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得.（1）当时，，定义域为，则，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极