2025-2026学年山东菏泽市高一下册期中考试（B）数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.2.已知向量，若⊥，则等于（）A. B. C. D.3.若复数，则（）A. B. C. D.4.已知的内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，则的形状是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形5.在中，点、分别在边、上，且，，，则（）A. B.C. D.6.已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（）A. B. C.1 D.7.已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（）A. B.2 C. D.38.已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.10.在中，角、、所对的边分别是，，，若，，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（）A. B. C. D.11.已知平面向量满足，且对任意的实数恒成立，则（）A. B.C. D.的最小值为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）12.已知的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______．13.在梯形中，，，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则__________.14.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（1）若，求实数、的值；（2）已知成立，求实数的值；（3）若关于的方程有实根，求正实数的值.16.已知平面向量，（1）若与垂直，求k；（2）若向量，若与共线，求.17.已知的内角，，所对的边分别是，，，.（1）求；（2）若，当的面积最大时，求的周长.18.如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记．（1）若，求线段的长度；（2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值．19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．请用以上知识解决下面的问题：已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且（1）求角；（2）求；（3）已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值．

数学满分150分，考试时间120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答过程：．故选B．方法提示：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知向量，若⊥，则等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量的坐标运算求解即可.解答过程：因为，所以，又，，所以，解得，故选：C.3.若复数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：写出共轭复数，然后由复数的除法法则计算．解答过程：由已知．故选：B．4.已知的内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，则的形状是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：D解析：思路：由向量数量积的坐标公式推得，再由三角形的内角范围即可判断三角形形状.解答过程：由题意可得，由正弦定理可得，则由可得，即、，则或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形.5.在中，点、分别在边、上，且，，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.解答过程：因为，所以，又因为，故，因为，所以，所以.6.已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：利用三角形内角和与两角和的正弦公式，推导出角为直角，再结合直角三角形的面积公式求解.解答过程：由三角形内角和得，故，即，结合题设，可得，因，，故，即，因此为直角三角形，面积.代入，得.7.已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（）A. B.2 C. D.3答案：A解析：思路：根据角平分线定理，可得，利用面积关系可得，然后结合计算即可.解答过程：设的三个内角对应的边分别为由题可知，平分，所以，即，又面积是面积的2倍，所以，由，所以，，又，则，又，所以，故选：A8.已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，利用韦达定理，求出实数和的值，再由复数能与实数5比较大小，建立关于的不等式，求解即可.解答过程：已知是实系数方程的根，根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，另一个根为两根和：，得；两根积：，解得只有实数才能比较大小，则必须是实数，且大于5.展开乘积：若满足大于5，需满足两个条件：1.虚部为0：2.实部大于5：把代入实部，得.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：先根据复平面内的点写出复数及其共轭复数，再逐一验证各选项的计算结果.解答过程：由复数在复平面内对应的点为，得，其共轭复数.对于A：，A选项正确.对于B：，B选项错误.对于C：，C选项正确.对于D：，故，D选项正确.10.在中，角、、所对的边分别是，，，若，，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：根据唯一确定，得到或，求解即可得到的可能值.解答过程：解：若满足唯一确定，则或，故选：BD.11.已知平面向量满足，且对任意的实数恒成立，则（）A. B.C. D.的最小值为答案：ABD解析：思路：选项A，将不等式两边同时平方，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式非负求解的值；选项B，将两边平方，转化为向量数量积的等式，结合已知条件验证是否成立；选项C，可结合已知的和已求得的，考虑向量夹角的可能性，分析数量积的取值；选项D，建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把模的和转化为平面上两点间距离的和，利用几何意义和余弦定理求最小值.解答过程：选项A，已知对任意恒成立，两边平方得：，代入，整理得关于的二次不等式：，对任意恒成立，故判别式：，得，即，正确；选项B，计算两边模的平方：，故，正确；选项C，题目仅给出，没有限定的方向，可以取到不同值（例如取，则），错误；选项D，如图所示，设坐标原点为，点对应的向量为.因为，所以点在半径为2的圆上运动.由，设点对应的向量为，则，可知；设点对应的向量为，则可知.即求的最小值在圆中（半径），点在圆外，，把转化成点到另一个点的距离，在射线上取一点，使得.此时，在和中：1.（公共角），2.，，由此得，相似比为.所以，,即，且，.点与点之间的夹角：因为，，所以就是向量与的夹角，即.根据三角形两边之和大于第三边，.因为点和都在圆内部（距离均为1，半径为2），点在圆周上，所以的最小值发生在点、点、点并不共线，而是使到两点距离之和最小的圆上位置.由于且夹角为，由对称性可知，当位于的角平分线上时（且在同侧的圆弧上），距离之和最小.此时，与的夹角为.利用余弦定理计算此时的距离：.同理，根据对称性，，所以，的最小值为.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）12.已知的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______．答案：##解析：解答过程：由余弦定理可得，因为，所以.13.在梯形中，，，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则__________.答案：##解析：思路：由题意可知，设，则，利用平面向量的线性运算得出，利用平面向量的基本定理结合可求出的值，即可得出的值.解答过程：如下图所示，由题意可知，设，则，因为，所以，又因为，且、不共线，所以，，故，解得，所以.14.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______.答案：1解析：思路：由已知结合正弦定理进行化简可求，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解．解答过程：解：由已知结合正弦定理得，因为，所以，即，所以，因为，所以．又，所以，当且仅当时取“”．所以的最小值为1．故1．方法提示：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（1）若，求实数、的值；（2）已知成立，求实数的值；（3）若关于的方程有实根，求正实数的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用复数相等可得出关于、的方程组，解之即可；（2）根据复数为零可得出关于、的方程组，解之即可；（3）设方程的实根为，根据题意得出关于、的方程组，结合可解得的值.解答过程：（1）由复数相等的充要条件，得，解得；（2）因为、，所以由，可得，解得或，所以；（3）设方程的实根为，则有，所以，解得.16.已知平面向量，（1）若与垂直，求k；（2）若向量，若与共线，求.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）借助数量积的坐标运算即可得；（2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得.（1）因为，，所以，，因为与垂直，所以，整理得，解得；（2）因为，，，所以，，因为与共线，故，所以，解得，所以，，所以.17.已知的内角，，所对的边分别是，，，.（1）求；（2）若，当的面积最大时，求的周长.答案：（1）（2）6解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，然后由三角函数公式变形即可求解；（2）利用余弦定理求得和的关系，再结合基本不等式即可求解.（1）由正弦定理得，即，整理得，，因为，所以，则，因为，所以.（2）由余弦定理得，即，，所以，当且仅当时等号成立，面积，当时取到最大值，此时为等边三角形，，所以，周长为.18.如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记．（1）若，求线段的长度；（2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得；（2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可.（1）因为的面积为，，，所以，则，在中利用余弦定理得，所以线段的长度为.（2）设，因为的面积为，，所以，则，因为，所以，因为，所以在中利用正弦定理可得，，则，因为，所以，则，则，则，等号成立时，则，即，故当时线段的长度最小，最小为.19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．请用以上知识解决下面的问题：已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且（1）求角；（2）求；（3）已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得；（