2025-2026学年山东济南旅游学校高三下册考前自测数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数，为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.已知a，b，，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.4.若，，则（）A. B. C. D.5.已知数列满足，且，则数列的前项和为（）A. B. C. D.6.设，则.A.-4 B.-8 C.-12 D.-167.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.8.已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线的焦点，若是与的一个交点，，则的方程为（）A. B.或C. D.或二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（）A.数据的方差为4；B.数据的平均数为24；C.数据的平均数为10，方差大于1；D.若数据的中位数为，分位数为，则.10.已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当，时， D.当，时，11.如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（）A.直线与直线所成的角为90°B.直线与平面所成的角为45°C.若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为D.此双曲线的离心率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.已知，，若，则______.13.过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.14.已知函数f( x )=e四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.如图，三棱锥中，平面AOB，，，．（1）求证：平面POC；（2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．16.如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P.（1）求中线BN的长；（2）求的余弦值.17.某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）求中奖次数X的分布列和数学期望；（2）求第二次中奖的概率；（3）已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？18.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点.（1）求双曲线的方程；（2）证明存在轴上的一点，使得为定值；（3）求的最大值.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，（i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围；（ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，，则.2.若复数，为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据共轭复数的定义及模长公式求解即可．解答过程：由，则，所以．3.已知a，b，，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：对于A，当时，满足，而，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，满足，而，故C错误；对于D，因为函数在上单调递增，且，则，故D正确.4.若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，则，又，所以，而，则，所以.5.已知数列满足，且，则数列的前项和为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，则，所以数列的前项和为.6.设，则.A.-4 B.-8 C.-12 D.-16答案：C解析：思路：根据，是展开式中的系数，利用二项展开式的通项公式，求得结果．解答过程：，是展开式中的系数，∴，故选C．方法提示：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．7.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.解答过程：定义域为，，则是偶函数，排除A选项；当时，，则，当时，，则；当时，，则，排除CD选项.8.已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线的焦点，若是与的一个交点，，则的方程为（）A. B.或C. D.或答案：D解析：思路：过点往抛物线的准线上作垂线，垂足为，利用抛物线的定义、椭圆的定义得出，，再在中利用余弦定理可得即可求出.解答过程：由题意可知，，且，过点往抛物线的准线上作垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，由椭圆的定义可知，，因为，所以，，则，在中利用余弦定理得，得，得或，故或，则的方程为或.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（）A.数据的方差为4；B.数据的平均数为24；C.数据的平均数为10，方差大于1；D.若数据的中位数为，分位数为，则.答案：ABD解析：思路：根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断.解答过程：对于，因为，所以，所以数据的平均数为，故正确；对于，因为，所以，所以数据的方差为，故正确；对于，，，故错误；对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数，因为，所以分位数为第五个数，按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数，所以，故正确.故选.10.已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当，时， D.当，时，答案：ABD解析：思路：利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题.解答过程：对于A，当时，，因为，，所以，又因为，，所以，故A正确；对于B，当时，，若，则，若，则，故B正确；对于C，当时，，若，则，因为，与题目条件矛盾，若，则，，，故C错误；对于D，当时，，又因为，代入可得：，，所以，解得，故D正确.11.如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（）A.直线与直线所成的角为90°B.直线与平面所成的角为45°C.若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为D.此双曲线的离心率为答案：ACD解析：思路：建立空间直角坐标系，利用向量相乘为零可以判断A选项，利用线面夹角公式可以判断B选项，利用点到面距离公式可以判断C选项，结合题目条件分析其为等轴双曲线即可求出离心率，判断出D选项解答过程：对于A，设正方体棱长为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以，，，，，，所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确；对于B，，，，，，，设平面的一个法向量为，所以，令，，设直线与平面所成的角为，则，因为，所以，故B错误；对于C，由于正方体的棱长为2，则，，，，，，设平面的一个法向量为，所以，令，得，所以点到平面的距离，故C正确；对于D，因为，，所以旋转轴的方向向量为，四个顶点，，，，所以，，同理可得是正四面体，正四面体绕轴旋转，其侧面上的每一条母线绕轴旋转形成一个曲面，在包含旋转轴的轴截面中，这些母线的轨迹与轴截交形成双曲线，选取母线，计算母线与旋转轴的夹角，，所以，在轴截面中，其母线旋转轨迹是双曲线，其渐近线与轴角也为，即渐近斜率为，所以，，故D正确.,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.已知，，若，则______.答案：解析：解答过程：由，，得，因为，所以，解得.13.过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.答案：解析：思路：根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可.解答过程：由题意知，圆心为，半径，点在圆外面，由切线的性质定理可知，，，即，所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径，设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径，所以圆的方程为，因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差，即，化简得，所以直线的方程为.14.已知函数f( x )=e答案：##解析：思路：先对进行求导，令g( x )=ex−2ax−1，再分当解答过程：f'( x )=e①当时，，在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意；②当时，令g'(x)=所以当x∈(−∞,ln2a)所以在上单调递减，在(ln2a所以当x=l n2所以当在上单调递增时，有g(l 令h(a)=2a−2a所以a∈(0,12)时，；a所以在上单调递增，在上单调递减.所以h(a又gln2a≥0要求，所以，即四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.如图，三棱锥中，平面AOB，，，．（1）求证：平面POC；（2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）根据几何性质，证明，再结合平面AOB即可证明平面POC；（2）以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的余弦值即可．（1）因为平面AOB，平面AOB，因此，，故，在等腰中，易知，，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理，可得，故有，则，因为，平面POC，且、，所以平面POC．（2）由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直，则以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，则，，，，又，可得，因为平面POC，所以平面POC的一个法向量为，又，，设平面PAB的法向量为，则，即，令，则可得平面PAB的一个法向量，为，所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为．16.如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P.（1）求中线BN的长；（2）求的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）直接根据余弦定理求解即可；（2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，进而求解即可.（1）由，BN为中线，则，在中，由余弦定理得，则.（2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由，，，得，则，则，即，所以，，，则，所以的余弦值为.17.某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）求中奖次数X的分布列和数学期望；（2）求第二次中奖的概率；（3）已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？答案：（1）的分布列为012.（2）（3）中奖2次的人数为时的概率最大.解析：思路：（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望；（2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率；（3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大.（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则中奖次数的可能取值为，则，，，则的分布列为012所以的期望为.（2）设为“第二次中奖”，则.（3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得，故，其中，令，所以，化简得2965≤k故中奖2次的人数为的概率最大.18.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点.（1）求双曲线的方程；（2）证明存在轴上的一点，使得为定值；（3）求的最大值.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程；（2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标；（3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值.（1）因为实轴长为，故，而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故，故双曲线的方程为.（2）设为半