2025-2026学年山东省济宁市金乡县金文实验高级中学高二下册4月份学情检测数学试题 含答案

/数学一、单选题1.若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（）A.5 B.10 C.15 D.202.已知，若，则（）A. B.1 C.3 D.43.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（）A. B. C. D.4.现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（）A.15 B.90 C.24 D.365.已知随机变量的分布列为012则（）A. B. C. D.6.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（）A. B. C. D.8.若函数有最大值，则实数的值是（）A.1 B. C.4 D.二、多选题9.某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（）A.都是合格品的抽法种数为B.恰有件不合格品的抽法种数为C.至少有件不合格品的抽法种数为D.至多有件不合格品的抽法种数为10.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（）A.在处取得极小值 B.在上单调递增C.在区间内单调递减 D.在处取得极大值11.甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则（）A.服从二项分布B.C.比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为D.随机变量的数学期望为三、填空題12.现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________.13.若的二项展开式中的系数为，则__________.14.在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是___________．四．简答题15.已知离散型随机变量的分布列如图所示．0120.6求：（1）常数的值；（2），．16.在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球.（1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；（2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值.17.已知函数fx=−（1）当时，求函数的最大值；（2）当时，求的单调区间．18.已知（），若所有项的二项式系数和等于1024.（1）求；（2）求展开式中系数最大的项.19.已知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围

数学一、单选题1.若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（）A.5 B.10 C.15 D.20答案：A解析：解答过程：因为展开式的各项系数和为32，所以令，有，得，故，因为展开式中含的项为，含的项为，则展开式中的系数是.2.已知，若，则（）A. B.1 C.3 D.4答案：A解析：思路：由函数解析式求导，结合题意建立方程，可得答案.解答过程：由，则，所以，解得.故选：A.3.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：用列举法列出事件，包含的基本事件，再由条件概率的概率公式计算可得；解答过程：解：依题意包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴，故选：A．4.现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（）A.15 B.90 C.24 D.36答案：C解析：思路：把6个小球按2个球一组分成3组，再放到3个不同盒子即可.解答过程：把6个小球按2个球一组分成3组，有两类分法：每个盒子放入一个白球，有1种方法；有2个白球放入一个盒子，剩下1个白球与1个有色球组合，有种方法，再将分成的3组放入3个盒子有种方法，所以不同的放法种数为.5.已知随机变量的分布列为012则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用分布列性质计算可得，再由期望值公式计算可得.解答过程：易知，解得；所以分布列为012因此.故选：C6.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.解答过程：函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是.故选B.方法提示：该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.7.已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分别计算甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球的种数和甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球的种数可得答案.解答过程：甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，共有种，其中甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有种，所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为.故选：A.8.若函数有最大值，则实数的值是（）A.1 B. C.4 D.答案：B解析：思路：通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可.解答过程：，令，得临界点（因，舍去），当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，此时无最大值，当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以，满足题意，故选.二、多选题9.某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（）A.都是合格品的抽法种数为B.恰有件不合格品的抽法种数为C.至少有件不合格品的抽法种数为D.至多有件不合格品的抽法种数为答案：BCD解析：思路：利用组合计算原理逐项判断即可.解答过程：某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中，对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错；对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对；对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品，抽法种数为，C对；对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对.故选：BCD.10.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（）A.在处取得极小值 B.在上单调递增C.在区间内单调递减 D.在处取得极大值答案：AC解析：思路：根据导函数的图象可判断的单调性，即可求解AB，根据导函数的图象，结合极值的定义即可求解CD.解答过程：由的图象可知：当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，对于A,是的极小值点，故A正确，对于B，在上单调递减，B错误，对于C,在区间内单调递减,C正确，对于D,在处取得极小值，D错误，故选：AC11.甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则（）A.服从二项分布B.C.比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为D.随机变量的数学期望为答案：BCD解析：思路：利用二项分布的特征判断A；计算概率判断BC；求出分布列及期望判断D.解答过程：对于A，的可能取值为，而二项分布的随机变量取值是从0开始的连续自然数，因此不服从二项分布，A错误；对于B，表示比赛结束时，赛了3局，要么是甲胜3局，要么是乙胜3局，因此，B正确；对于C，比赛结束时，甲、乙的积分之比为，则甲乙共赛4局，第4局甲胜，前3局甲输1局，概率为，C正确；对于D，，，，，D正确.故选：BCD三、填空題12.现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________.答案：解析：思路：根据分步计数原理直接求解即可.解答过程：7名同学每人有4种选择，所以共有种.13.若的二项展开式中的系数为，则__________.答案：解析：思路：根据的展开式通项为，求得的二项展开式中的系数，列式求出参数的值即可得解.解答过程：，∵的展开式通项为，令得；令得；∴中的系数为.所以，即，解得.故14.在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是___________．答案：解析：思路：按照二级品的件数分类：二级品的件数分别为1，2，3，分别求出概率后相加即得．解答过程：任取3件，其中二级品的件数为，PX=1=PX所以P四．简答题15.已知离散型随机变量的分布列如图所示．0120.6求：（1）常数的值；（2），．答案：（1）或（2）当时，，；当时，，解析：思路：（1）由概率之和为1，且每个概率都大于等于0列方程求解即可；（2）根据分布列计算期望和方差，结合方差的性质即可.（1）易知0.6+0.2+q+10q解得或.（2）当时，EX=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5DX则D2当时，EX=0×0.6+1×0+2×0.4=0.8DX则D2综上，当时，，D2X=1.8；当时，，.16.在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球.（1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；（2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值.答案：（1）分布列见解析（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；（1）若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为，取到小球的个数∴∴的分布列为0123（2）若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布∴的分布列为012317.已知函数fx=−（1）当时，求函数的最大值；（2）当时，求的单调区间．答案：（1）（2）当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无减区间．解析：思路：（1）根据导数与最值的关系求解即可.（2）根据导数与单调性的关系，对进行讨论求解即可.（1）当时，fx=−1x则f′令，则.，随的变化情况如下：1+0-单调递增极大值单调递减所以当时，取最大值，为．（2）f'x当时，令，解得或，①当时，由，得或，由，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；②当时，由，得或，由，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；③当时，由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；④当时，，则函数在上单调递增．综上：当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．18.已知（），若所有项的二项式系数和等于1024.（1）求；（2）求展开式中系数最大的项.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二项式系数和的公式求得，再利用赋值法求得要求式子的值.（2）求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项.（1）由题意可知，故，令，则，令，则，令，则，两式相加可得（2）二项式展开式的通项公式，令展开式中系数最大的项是第项，则，整理得，解得，而，因此，所以展开式中系数最大的项.