2025-2026学年山东省聊城市高二下册期中教学质量检测数学试题 含答案

/山东聊城市2025-2026学年度高二第二学期期中教学质量检测数学试题一、单选题1．曲线在处的切线的斜率为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2．的展开式中，第四项的二项式系数为（

）A．1 B．5 C．10 D．203．设是函数的导函数，若，则（

）A． B． C．2 D．34．某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（

）A．240种 B．360种 C．480种 D．600种5．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．若，则的值为（

）A．15 B．16 C．120 D．2407．已知函数，若存在唯一的，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（

）A．24 B．32 C．40 D．48二、多选题9．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．已知，则（

）A． B．C． D．11．杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（

）A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330C．记杨辉三角中第行的第个数为，则D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字三、填空题12．五位同学站成一排拍照，其中甲必须站在左端或右端，则不同的站法共______种．13．的展开式中的常数项为______．14．若对恒成立，则正实数的最小值是______．四、解答题15．将5个编号为1，2，3，4，5的小球全部放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中．(1)每盒至多一球，有多少种放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种放法？(3)把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰好有一个空盒，有多少种放法？16．在的展开式中，前三项的二项式系数和为22．(1)求二项式系数的最大值；(2)求展开式中的所有有理项．17．已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求的取值范围：18．函数．(1)讨论的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值．19．已知函数，其中为自然对数的底数．(1)当时，试判断函数是否存在极值，并说明理由；(2)当时，证明：对任意；(3)若函数在定义域内存在极小值点，且满足，求实数的取值范围．答案1．B【详解】由，求导得，则，所以所求切线的斜率为0.2．C【详解】由题意可知：第四项的二项式系数为.3．B【详解】已知.对求导得.将代入导函数得：，整理得：，移项化简：，故.4．A【详解】先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法，舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，插空有种，总共有种.5．C【详解】对，求导得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，整理得，即小于等于在上的最小值，对求导得，当时，，得到在上单调递增，因此最小值为，故，因此实数的取值范围为.6．D【详解】令，则，原式转化为.由二项式定理，展开式通项为.令，解得，则.7．D【详解】函数，满足，即得，即得，设，则，当单调递增；当单调递减；比较为正整数时的函数值，可知，要使不等式有唯一正整数解，需满足则实数的取值范围为.8．C【详解】情况1：重复颜色为红色或黄色重复颜色选红色/黄色，共种选择；重复位置选或，共2种选择；剩余3个区域排列剩下3种不同颜色，共种排列；这种情况下红、黄必然相邻（若重复颜色是红，黄仅出现一次，无论黄在哪个位置，都会和相邻区域的红相邻；同理重复颜色是黄也满足），总方案数：；情况2：重复颜色为蓝或白色（非红非黄）重复颜色选蓝/白色，共种选择，重复位置共2种，剩余3个区域排列红、黄和剩余非重复颜色，共种排列，总排列数：，其中红、黄不相邻的情况仅为：红、黄分别在另一组对角（不相邻），共：（重复色）（重复位置）（红、黄交换顺序）种；因此该情况满足红、黄相邻的方案数：，总方案数为，因此不同种植方案种数为.9．AC【详解】因为，，，，故AC正确，BD错误.10．ABD【详解】因为，令，则，所以，A选项正确；令，则，所以，所以，B选项正确；令，则，又因为，，C选项错误；因为，求导数得，令，则，，D选项正确；11．ACD【详解】对于选项A：第2026行的第1013个数和第1015个数分别为，，由组合数性质可得，所以第2026行的第1013个数和第1015个数相等，故A正确；对于选项B：因为，所以从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1540，故B错误；对于选项C：因为杨辉三角中第行的第个数为，则，又因为，令，可得，所以，故C正确；对于选项D：第行所有数字的平方和，第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，又因为，且展开式中项的系数为，因此，D正确.12．48【详解】先安排特殊元素甲：甲只能在左端或右端，因此甲有种站法；剩余位同学在剩下的个位置全排列，排列数为；根据分步乘法计数原理，总站法为种.13．49【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下：（1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为；（2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为；（3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为，合并同类项，所以展开式中常数项为.14．【详解】因为，则等价于，可得，且，令，，可得，因为在定义域内单调递增，则，可得，令，，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，可得，所以正实数的最小值是.15．(1)120(2)1200(3)20【详解】（1）将5个不同的小球全部放入5个不同的盒子中，每盒至多一球，则必然每盒恰有一球，共有种放法．（2）先取5个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他三个球共4个元素分别放入5个盒子中的4个盒子，有种放法，所以共有种放法．（3）先从五个盒子中选出四个盒子，再从四个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下三个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有种放法．16．(1)20(2)【详解】（1）由题意可得：，即，整理可得，解得或（舍去），又因为为偶数，所以二项式系数的最大值为．（2）因为的展开式通项为，令，可得，当时，；当时，；当时，；当时，．综上所述：所有有理项为：．17．(1)(2)．【详解】（1）定义域为．．因此，切线斜率为：．，∴切线方程为：，即：．（2）有两个零点，即：与图象有两个交点．由（1）知，令，则．当时，单调递增；当时，单调递减，则．当时，；当时，．因为与图象有两个交点，．18．(1)当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2)【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，令，则，且，①当，即时，则恒成立，即，所以在单调递增；②当，即时，由解得或，且，令，解得或；令，解得；所以函数在内单调递增，在内单调递减；综上所述：当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）若函数有两个极值点，由（1）可知：，且是方程的两个不相等的实数根，则，即，可得，令且，则，因为，可知在上单调递减，则，所以的最小值为．19．(1)不存在极值，理由见解析(2)证明见解析(3)．【详解】（1）当时，，当时，在上单调递增．因此，不存在极值．（2）当时，．令，则．在区间单调递减，．令,令