解题大招06 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的解法（原卷版及解析）

4/4解题大招06分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的求解知识点01分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式.（1）（2）（3）（4）【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母.知识点02高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间知识点04绝对值不等式的解法1.绝对值不等式的解集（1）的解集是，如图1．（2）的解集是，如图2．（3）．（4）或可简记为：大于找两边，小于找中间.2.绝对值不等式的性质(1);(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.知识点04根式不等式的解法解根式不等式往往通过乘方运算转化为不带根号的不等式求解，下面以二次根式不等式为例，总结其规律：（1）（2）题型01解分式不等式分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集,在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件.【典例1-1】（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2026·宁夏银川·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）设集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型02解高次不等式(1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解；(2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿针引线法求解.【典例2-1】不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或【典例2-2】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.【跟踪训练】1．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（

）A． B． C． D．2．（25-26高一上·江苏无锡·月考）函数的定义域是（

）A． B．C． D．3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）满足不等式的整数解的个数为（

）A．100 B．5000 C．5100 D．无穷多个4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为______题型03解根式不等式对于根式不等式，往往通过乘方法化去根号，但此时还需注意被开方数的限制条件。【典例3-1】（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2025·广西·模拟预测）不等式的解集是（

）．A． B． C． D．【跟踪训练】1．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知全集为实数集，若集合，，则（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为.题型04公式法解绝对值不等式若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解：（1）．（2）或.【典例4】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1．（25-26高三上·广东惠州·月考）设，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．或3.不等式的解集是___________题型05平方法解绝对值不等式对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解，即转化为求解.【典例5】.不等式的解集为（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1．（2026高二·全国·课后作业）不等式的解集为A． B．C． D．2.不等式的解集为；3．（2025高三·全国·竞赛）若，则的最小值是__________．题型06去绝对值法解绝对值不等式对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解:.【典例6】解关于x的不等式：；【跟踪训练】1．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．解不等式：(1)；(2).题型07绝对值性质法解绝对值不等式对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式：，从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解.【典例7】（2025·上海·三模）不等式的解集为．【跟踪训练】1．（25-26高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为.2．（24-25高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为.题型08零点分段讨论法解绝对值不等式对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.【典例8】（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．【跟踪训练】1．（2026·上海浦东新·三模）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．（25-26高三上·辽宁·期末）的解集为_____3．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为_____.3．（2026·重庆·三模）已知集合则=（

）A．B．C．D．2．（2026·云南曲靖·一模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·河南南阳·月考）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．4．（25-26高三上·安徽·期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·河北·期末）集合，，则=（

）A． B． C． D．6．（2026·安徽·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．7．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．8．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）不等式的解集是（

）A． B． C． D．9．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）不等式的解集为__________．10．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______.11．（2026·江苏宿迁·二模）设函数，其中.若不等式对任意恒成立，则________.12．（25-26高三上·河南南阳·期中）若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________.13．（25-26高三上·上海·期末）已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________．14．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______.15．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）不等式的解集是_____．16．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是__________.17．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______

解题大招06分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的求解知识点01分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式.（1）（2）（3）（4）【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母.知识点02高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间知识点04绝对值不等式的解法1.绝对值不等式的解集（1）的解集是，如图1．（2）的解集是，如图2．（3）．（4）或可简记为：大于找两边，小于找中间.2.绝对值不等式的性质(1);(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.知识点04根式不等式的解法解根式不等式往往通过乘方运算转化为不带根号的不等式求解，下面以二次根式不等式为例，总结其规律：（1）（2）题型01解分式不等式分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集,在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件.【典例1-1】（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】不等式，即，即，解得，故，不等式可化为，即，解得，故，所以.【典例1-2】（2026·宁夏银川·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解集合中分式不等式，再结合集合求交集.【详解】分式不等式，等价于：,解得，即,已知，筛选出中满足的元素，为，所以.【跟踪训练】1．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【详解】由，得，即，解得.方法二：由，得或.解得.所以是假命题，是真命题.当时，显然成立，所以是真命题，是假命题.2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解分式不等式得集合，然后根据交集的定义即可求解.【详解】分式不等式等价于，解得，又因为，因此，已知集合，所以.3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解【详解】因为，所以，解得，由，因为是的真子集，所以是成立的充分不必要条件.题型02解高次不等式(1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解；(2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿针引线法求解.【典例2-1】不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【详解】不等式，化为：，由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.【典例2-2】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.【详解】根据不等式标根所以原不等式的解为.故答案为：.【跟踪训练】1．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.【详解】，故，解得或，故该不等式的解集为.2．（25-26高一上·江苏无锡·月考）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用具体函数定义域求法结合分式不等式解法计算即可得.【详解】由题意可得，解得.故选：C.3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）满足不等式的整数解的个数为（

）A．100 B．5000 C．5100 D．无穷多个【答案】C【分析】利用穿针引线法解不等式，求出不等式各个解区间内整数解个数，再利用等差数列求和即得到答案.【详解】利用穿针引线法解不等式，如图示：满足不等式整数解有：在有个；在有个；在有个.因此不等式在区间内的解有个，所以不等式的整数解的个数为.故选：C4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为______【答案】或或【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集.【详解】∵，∴，∴或或.故答案为：或或.题型03解根式不等式对于根式不等式，往往通过乘方法化去根号，但此时还需注意被开方数的限制条件。【典例3-1】（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，由可得，解得，即，故.故选：C.【典例3-2】（2025·广西·模拟预测）不等式的解集是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解.【详解】当，解得，此时不等式恒成立；当时，即时，不等式，平方得，即，即，解得，所以，综上可得，不等式的解集为.故选：B.【跟踪训练】1．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式化简集合，根据交集的概念求解即可.【详解】由，，则.故选：B.2．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知全集为实数集，若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，由，可得，解得，所以，所以.故选：A3．（25-26高三上·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为.【答案】【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式，再解不等式可得答案.【详解】因为不等式的解集为，所以是的两个根，且，可得，所以，所以得，即，由得，所以,所以或，则不等式的解集为.题型04公式法解绝对值不等式若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解：（1）．（2）或.【典例4】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，∴，解得，又，∴.∵，即，解得，又，∴.∴.【跟踪训练】1．（25-26高三上·广东惠州·月考）设，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】记为条件“”，其解集为，记为条件“”，其解集为，因为，所以成立，而不成立，因此，“”是“”的必要不充分条件.2．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集.【详解】当时，，可得，当时，，可得且，所以不等式的解集为或.故选：D3.不等式的解集是___________【答案】【详解】不等式可化为，∴，或；解之得：或，即不等式的解集是.题型05平方法解绝对值不等式对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解，即转化为求解.【典例5】.不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】两边平方后可求不等式的解.【详解】因为，故，故，故，故选：D.【跟踪训练】1．（2026高二·全国·课后作业）不等式的解集为A． B．C． D．【答案】A【分析】把不等式转化为，平方即可求解.【详解】由不等式，可得，即，整理得到，解得，所以不等式的解集为.故选：A．2.不等式的解集为；【答案】【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可.【详解】左右两侧同时平方得，所以，故，化简得，解得.3．（2025高三·全国·竞赛）若，则的最小值是__________．【答案】【分析】根据对数运算法则得到，令，代入化简得到，利用根的判别式求出，进而求出的最小值.【详解】由可得．令，则．方程，即有正实数解．故．当时．因此，的最小值为．题型06去绝对值法解绝对值不等式对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解:.【典例6】解关于x的不等式：；【详解】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得，所以不等式的解集为.解法二：原不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.【跟踪训练】1．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，所以，.故选：C.2．解不等式：(1)；(2).【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可；（2）法一：分和两种情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的解法求解即可.【详解】（1）原不等式等价于，由可得或，解的或；由可得，解的.综上所述，原不等式的解为，或.（2）解法一：当，即时，不等式可化为，解得，∴不存在满足条件的.当，即时，不等式可化为，解的，∴，综上所述，原不等式的解为，解法二：原不等式可化为或，即或，即∴原不等式的解为.题型07绝对值性质法解绝对值不等式对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式：，从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解.【典例7】21．（2025·上海·三模）不等式的解集为．【答案】【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解.【详解】因为，又，所以，则.【跟踪训练】1．（25-26高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得又，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围为.2．（24-25高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，所以，解得题型08零点分段讨论法解绝对值不等式对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.【典例8】（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．【答案】【分析】由题意得，分类讨论解不等式即可得解.【详解】因为，不等式的解集不是空集，所以，（i）当，即时，显然有成立，（ii）当，即时，所以，解得，结合，可知；综上所述，的取值范围是.故答案为：.【跟踪训练】1．（2026·上海浦东新·三模）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】求出的解集，根据充要条件的定义即可得到结论.【详解】令，所以的解集为：，所以“”能推出“，而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要条件；故选：A2．（25-26高三上·辽宁·期末）的解集为_____【答案】【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解.【详解】原不等式等价于当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为；当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为；综上所述，原不等式的解集为.故答案为：3．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为_____.【答案】【分析】讨论去绝对值求解不等式.【详解】当时，原不等式变为，得；当时，原不等式变为，不等式无解；当时，原不等式变为，得；综上，不等式的解集为.故答案为：.3．（2026·重庆·三模）已知集合则=（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由不等式，得且，解得，则，而，所以．2．（2026·云南曲靖·一模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，即，解得：，则集合，所以.3．（25-26高三上·河南南阳·月考）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先因式分解，然后分和求解即可.【详解】，当时，不等式显然不成立；当时，，所以原不等式，解得.综上，原不等式的解集为.故选：C4．（25-26高三上·安徽·期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合，然后利用集合交集定义运算的结果.【详解】由可得，则，即，又由可得，则，即，∴.故选：A.5．（24-25高三上·河北·期末）集合，，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式、根式不等式求集合，再由集合的交运算求结果.【详解】由，，所以，，故.故选：B6．（2026·安徽·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得或，解得或，所以，所以，A错；，B错；，C错；，D对.7．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以8．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过，，讨论去绝对值求解即可.【详解】当时，不等式为，解得：且，即为空集，当时，不等式为，解得：，当时，不等式为，解得，综上不等式的解集为，故选：C9．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）不等式的解集为__________．【答案】【详解】由，得，则，解得，则不等式的解集为.10．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______.【答案】【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解.【详解】由不等式可得，等价于，因为原不等式的解集是，所以是方程的两根，所以，解得.11．（2026·江苏宿迁·二模）设函数，其中.若不等式对任意恒成立，则________.【答案】/【分析】先设，代入函数详解式计算得出根，再对应相等计算求解.【详解】若，取，所以，则，所以的根为且，的根为且，由于与均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积恒成立，则它们的零点必须完全相同，所以只有当时，成立，所以，所以.故答案为：.12．（25-26高三上·河南南阳·期中）若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________.【答案】【分析】分类讨论t的范围，结合因式解高次不等式计算即可.【详解】若，则恒成立，此时不等式的解集为，与矛盾，舍去；若，则不等式，①当，即时，此时原不等式的解集为，要满足题意需（区间恒正），即；②当，即，此时原不等式的解集为，要满足题意需，即，；③当，即时，此时不等式的解集为，要满足题意需（区间恒正），即时，，易知单调递