第09讲函数的概念、定义域与值域（知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练）（解析版）

第09讲函数的概念、定义域与值域（知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值定义域（分式/对数型）、值域（单调性）、函数概念单选、多选5分/6分定义域（偶次根式/指数型）、换元法求值域单选、填空5分基础定义域、简单值域求解单选、填空5分含参定义域、导数结合单调性求值域单选、解答题5分/10分【知识点01】函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.【例1】判断下列对应关系是否为函数：（1）A={x|x≥0}，B=R，对应关系f:x→y=±x；（2）A=R，B={y|y≥0}，对应关系解析：（1）不是函数，一个x对应两个y（如x=4，y=±2），不满足唯一性；（2）是函数，任意x∈R，都有唯一y=【知识点02】函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.【例2】已知函数f(x)=x−2解析：需满足两个限制条件，列不等式组：{x−2≥0x−3≠0，解得x≥2且故函数定义域为[2,3)∪(3,+∞【知识点03】函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.【例3】已知函数f(x)=2x−1，用三种表示法表示该函数（定义域为{1,2,3,4}）。解析：①解析法：f(x)=2x−1,x∈{1,2,3,4}；②列表法：x1234f(x)1357③图像法：在平面直角坐标系中，描出点(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)，用线段连接（离散点组成）。【知识点04】分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.【例4】已知分段函数f(x)={x2,x≥02x+1,x<0，求解析：①分段求值：当x=−1<0时，f(−1)=2×(−1)+1=−1；当x=2≥0时，f(2)=2②求值域：当x≥0时，f(x)=x当x<0时，f(x)=2x+1<1；综上，函数值域为R。【题型一】函数概念辨析【例1】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________【答案】【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.【详解】由题意有，所以，因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以.故答案为：.【例2】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点，当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点，所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1.【例3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，且，则____【答案】【分析】由已知可得，求解即可.【详解】因为函数，且，所以，解得.故答案为：.【变式1】（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（

）A．675 B．1350 C．2025 D．4050【答案】D【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求.【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是.故选：D.【变式2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，有，对，都有，则（

）A．0 B．1 C．2025 D．2026【答案】C【分析】利用题中给出的函数性质，代入特殊值，求出.【详解】因为，，当时，，因为，都有，所以，，，，，，，，，，，，，，，所以．【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）．①；

②；③；

④．【答案】①③④【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解.【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点，结合函数图象可知，对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确；对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误；对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确；对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确．故答案为：①③④.【题型二】定义域求解【例4】（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.【答案】【分析】由对数函数性质即可得.【详解】由题意可得，即的定义域为.故答案为：.【例5】（2026·广西桂林·模拟预测）若集合，函数的定义域为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，函数的定义域为，则．【例6】（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第______象限．【答案】一【分析】先通过分式的分母恒不为零求出的范围，根据的范围可得点所在象限，进而可得其关于x轴的对称点所在象限.【详解】分式不论x取何值总有意义，即方程无解所以，解得，所以，所以点在第四象限，其关于x轴的对称点在第一象限.故答案为：一.【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案.【详解】由的定义域为，得的定义域为.所以或，综上，的定义域为.故选：C.【变式2】（多选）（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项.【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需，则，则，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误；对于C，由，则，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D，由题意知,，故,故不等式成立，D正确．故选：ACD【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．【答案】【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得．【题型三】值域求解【例7】（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，，然后根据集合的交集运算即可求解.【详解】由于集合表示函数的定义域，可知，集合表示函数的值域，可知，因此，故A正确.【例8】（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________．【答案】【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可.【详解】令，解得，令，解得，则集合.故答案为：【例9】（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域和值域相同．．(1)求a；(2)记的导函数为，求的极小值．【答案】(1)；(2)极小值为1.【分析】（1）分和讨论，则，解出即可；（2）求导得，再设新函数再次求导即可得到其极小值.【详解】（1）若，则的定义域为，因为，则其值域为，不符合题意；若，令，解得，则的定义域为，值域为，则有；解得．（2），定义域为，记，.当时，；时，．所以在上单调递减，在上单调递增，因为的极小值为.故的极小值为1.【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可．【详解】函数的定义域为，则或，当时，1x2当时，0<1x综上，此函数的值域为．【变式2】（2025·陕西宝鸡·二模）若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为：_______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据所给性质选择满足条件的函数作答.【详解】函数的定义域为，值域为，所以.故答案为：【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．(1)求函数的值域；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得.（2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围.（3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得.【详解】（1）依题意，，由，得，则，当，即时，；当，即时，，所以函数在时的值域为.（2）不等式，当时，；当时，，则恒成立，又在上递减，在上的值域为，因此；当时，，则恒成立，又在上递减，在上的值域为，因此，所以实数的取值范围为.（3）当时，在上单调递增，又当时，值域为，因此，即，则是关于的方程，即的两个不相等的正根，则，解得，所以正数的取值范围为.【题型四】分段函数相关计算【例10】（2025·贵州·模拟预测）已知函数则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据分段函数解析式即可求得函数值.【详解】因为，所以．故选：B.【例11】（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数，若，则的值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【分析】分，代值求解即可.【详解】当时，，解得；当时，，解得（舍去）或.综上所述，或.故选：CD.【例12】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则______．【答案】1【详解】因为，则．【变式1】（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，即解得或（舍），当时，，即a2−4a+12=0，Δ=16−48=−32<0方程无实数解，综上.【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知，若，则______.【答案】3【分析】由题意可得：，分和两种情况讨论，去绝对值解方程即可.【详解】由题意可得：，当时，可得，即，解得或（舍去）；当时，可得，即，方程无解；综上所述：.【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)(2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可；（2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意可知：.（2）由（1）可知：，若，则，可知其图象开口向上，对称轴为，此时的最大值为；若，则，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为；又因为，可知的最大值为，所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元.【题型五】函数表示法【例13】（2025·浙江·二模）下列可以作为方程的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】借助排除法，得到，不可能同时成立，即可排除A，B，C.【详解】当时，，若，则，即，不符合，故，不可能同时成立，故A，B，C，选项错误.故选：D【例14】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解．【详解】由题意可知，是周期为的函数，所以.由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以，所以.故选：A.【例15】（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且，则（

）A． B．为奇函数C．不存在零点 D．【答案】ACD【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，令，可得，因为，所以，所以A正确；对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合，所以函数不是奇函数，所以B不正确；对于C中，由，令，可得，即，解得或，所以函数没有零点，所以C正确；对于D中，由，令，可得，所以，即，所以D正确.故选：ACD．【变式1】已知函数的对应值图如表所示，则等于（

）函数的对应值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.【详解】由表可知，，所以故选：D．【变式2】如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合几何体的结构和题意可知，水面面积越大，水的高度变化慢，当水面面积恒定时，水的高度匀速增长，由此可得出合适的选项.【详解】由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，当水面经过点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为A选项中的图象.故选：A.【变式3】已知定义在R上的函数不是常值函数，且同时满足：①；②对任意，均存在使得成立；则函数______．（写出一个符合条件的答案即可）【答案】(答案不唯一)【分析】由题设函数性质分析知：关于对称且值域为或，写出一个符合要求的函数即可.【详解】由知：关于对称，由对任意，均存在使得成立知：函数值域为或或全体实数，∴符合要求.故答案为：(答案不唯一).【解题大招01】定义域求解“分类限制法”技巧核心：按“分式、偶次根式、对数、零次幂”等不同限制条件分类列不等式（组），求解交集即为定义域，避免漏解。【例1】求f(x)=x−1log2解析：分3类限制条件，列不等式组：{解得：x≥1、x>2、x−2≠1⇒x≠3，取交集得定义域为(2,3)∪(3,+∞【解题大招02】值域求解“单调性法”技巧核心：先判断函数在定义域内的单调性（一次、二次、对数函数可直接判断），再根据单调性求端点值，端点值（或极值）即为值域的最值。【例2】求f(x)=x2−2x+3解析：函数对称轴为x=−−22×1=1，开口向上，在[0,1]最小值：f(1)=12−2×1+3=2；最大值：max{f(0),f(3)}=max{3,6}=6【解题大招03】值域求解“换元法”技巧核心：令复杂根式、指数式为新变量t，转化为二次函数、一次函数求值域，注意新变量t的取值范围（换元必求范围）。【例3】求f(x)=2x−1+x（解析：令t=x−1≥0，则f(t)=2t+因t≥0，(t+1)2单调递增，最小值为(0+1)【解题大招04】分段函数“分段求解法”技巧核心：分段函数的定义域、值域、求值，均按“区间分段”处理，最后整合结果；求值时先判断x所属区间，再代入对应解析式。【例4】已知f(x)={2x−1,x<0x2解析：①求值：x=−1<0，f(−1)=2×(−1)−1=−3；f(−3)=2×(−3)−1=−7，故f(f(−1))=−7。②求值域：x<0时，2x−1<−1；x≥0时，x2≥0，整合得值域为【解题大招05】函数概念“唯一性判断法”技巧核心：判断对应关系是否为函数，只需验证“任意一个x，是否有唯一的y对应”，可结合图像（垂直于x轴的直线与图像至多一个交点）。【例5】判断f(x)={x,x≥0−x,x<0与解析：①f(x)是函数，任意x∈ℝ，都有唯一y对应（如x=2对应2，x=−2对应2②x=y2不是函数，一个x对应两个y（如x=4，【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，则（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合.【详解】，对于，则，解得，故，所以，故选：D.2．（2026·广东清远·二模）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以3．（2026·河北保定·三模）已知函数则（

）A．0 B．1 C．2026 D．2027【答案】C【分析】本题是求函数值的和，先找规律，再求，求得与的关系，最后用倒序相加法求和.【详解】因为，所以，所以，设，则，两式相加得：，所以.二、多选题4．（2024·云南·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（

）A．若为一次函数，则B．若为一次函数，则C．若不是一次函数且，则D．若不是一次函数且，则【答案】BCD【分析】根据题意，令，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，再结合赋值法，求得的值，即可求解.【详解】若为一次函数，令，由又由，因为，可得，即，解得或，当时，；当时，，所以当为一次函数时，或，所以A不正确；令，可得，所以B正确；令，则，因为，令，所以，所以C正确；令，则，由，令，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题5．（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________.【答案】2【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.【详解】由，可得，由，可得，由，可得，故，因此.6．（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________.【答案】【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由不等式的解集为，可得和是方程的两个根，且，则，解得，所以函数，要使得函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______．【答案】4【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解.【详解】构造函数，因为恒成立，所以，则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍.构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图，此时直线的方程为：，即，联立方程得，易得交点分别为，于是当点重合于交点或时，取得最小值.从而的最小值为4．四、解答题8．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为集合．(1)当时，求；(2)设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得或，再求交集运算即可；（2）由题知或，，再根据集合关系求解即可.【详解】（1）解：当时，，由题意，解得或，所以或，又，所以.（2）解：由题意，即，解得：或，所以或，因为p是q的充分不必要条件，所以，集合是集合的真子集，所以或，解得或故实数的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若函数，则（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】由题意得，则.2．（2026·浙江·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，再根据交集的概念求解即可.【详解】集合，集合，则.故选：C二、多选题3．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（

）A．函数的单调减区间为B．幂函数过点，则C．函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数的值域为，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论【详解】对A，函数，，解得或因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为，结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误；对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数，因为函数过，所以，解得；因此​，B正确；对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确；对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数，当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件；当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得，综上的取值范围是，D正确.三、填空题4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________.【答案】【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域.【详解】对，令，则，解得；对，令，则，又为偶函数，，故，解得。又，故其值域为.故答案为：.5．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为__________．【答案】【分析】应用基本不等式及指数函数的值域结合分段函数得出值域即可.【详解】由题意可知时，，当且仅当时取得等号，时，，当且仅当时取得等号，故，即的值域为．故答案为：四、解答题6．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.【答案】(1)(2)9千件【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式.（2）分段求函数的最大值，