第9讲 指数与指数函数的图像与性质【16个核心题型归纳】【解析版】2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第9讲指数与指数函数的图像与性质题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】指数与指数幂的运算核心知识1根式性质2分数指数幂定义3指数幂运算律方法技巧 化根式为分数指数幂统一形式后再运算 先化简再求值优先处理负指数零指数分数指数 同底数幂优先合并不同底数化为同底后再运算【经典例题1】（2026·天津和平·三模）已知a=1log53，3bA．225 B．165 C．45【答案】C【详解】由a=1log53=【经典例题2】（24-25高一下·北京·阶段检测）（1）1（2）2【答案】（1）−12【详解】（1）14（2）2=2log【巩固练习1】（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：1.5−1【答案】38【分析】利用指数幂的运算性质计算可得.【详解】原式=3=2=2【巩固练习2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知3a=2,log9【答案】8【详解】由3a=3a2=2，可得3a=4，由【巩固练习3】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值：(1)271(2)log3【答案】(1)11(2)3【详解】（1）27（2）log=3【题型2】指数应用题型核心知识1常见模型增长率模型衰减模型复利模型2关键概念初始量增长率时间终值方法技巧 建模步骤确定初始量增长率/衰减率时间变量写出指数表达式 单位统一时间单位需与增长率周期一致 特殊值检验代入验证初始量是否正确【经典例题1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是【答案】8.5/17【分析】依题意可得eb=192e【详解】由题意得eb两式相除得e20k=24当x=30时，y=e所以该食品在30℃时的保鲜时间约是8.5小时.故答案为：8.5【经典例题2】（2025高二上·河南·学业考试）已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为C0的氡经过t天衰变后，其质量为原来的164，则t=（A．488.96 B．122.24 C．22.92 D．19.10【答案】C【分析】根据题意半衰期的定义，经过t天后，氡的质量为y=C【详解】设放射性元素氡每天的衰减率为p，则经过1天后，氡的质量为C0则经过2天后，氡的质量为C0……则经过t天后，氡的质量为C0因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，所以12C0所以1−p=121所以经过t天后，氡的质量为y=C因为质量为C0的氡经过t天衰变后，其质量为原来的1所以164C0=C所以t=22.92.故选：C【巩固练习1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t min后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ=θ0+(θA．3min B．4min C．5min D．6min【答案】D【分析】根据给定的函数模型，求出e−3k【详解】由85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3 min得50=15+(85−15)e−3k，解得当θ1=64℃，θ0=20℃，则31=20+(64−20)e−kt′，解得e−k所以物体温度降为31℃所需要的冷却时间为6min.故选：D【巩固练习2】（25-26高三上·四川·阶段检测）一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t（单位：min）后，所剩的质量m（单位：kg）与时间t的函数关系为m=akt（a，k均为参数，a>0且a≠1）.已知1kg的该物质，在化学分解中，经过t1min后，所剩的质量为0.5kgA．t1=tC．t1=4t【答案】A【分析】根据条件列出指数方程，再利用指数的运算得到t1【详解】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养.由题意可得0.5=akt所以akt2故选：A【巩固练习3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是Pn=P0(1+k)nk>−1，其中Pn为预测期人口数，A．若在某一时期内−1<k<0，则这期间人口数呈下降趋势B．若在某一时期内k>0，则这期间人口数呈上升趋势C．若在某一时期内0<k<1，则这期间人口数呈摆动变化D．若在某一时期内k=0，则这期间人口数不变【答案】C【分析】根据公式Pn=P【详解】当−1<k<0时，0<1+k<1，则(1+k)n当k>0时，1+k>1，则(1+k)nk=0时，1+k=1，则(1+k)n故选：C.【题型3】指数函数的定义与判断核心知识1指数函数标准形式2判定条件底数且指数为自变量系数为13常见非指数函数（幂函数）方法技巧 三步判定一看底数范围二看指数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分指数函数与幂函数指数函数底数为常数幂函数指数为常数【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若y=a2−3a+3A．a=1 B．a=2C．a=3 D．a>0且a≠1【答案】B【详解】由指数函数的定义得a2−3a+3=1a>0【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数y=ax+b（a>0且a≠1）的图像过点1,4，其反函数的图像过点2,0，求a【答案】a=3，b=1【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解.【详解】因为y=ax+b的图像过点1,4又因为y=ax+b的反函数图像过点2,0，所以点0,2所以a0联立①②得a=3，b=1．【巩固练习1】（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数fx=a−1bx的图象经过点−1,A．12 B．22 C．2【答案】A【分析】由指数函数定义结合fx的图象经过点−1,14可得a=2【详解】因fx=a−1bx为指数函数，则a−1=1⇒a=2.因fx的图象经过点∴1b故选：A.【巩固练习2】（24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意a>0且a≠1，函数fx=amx+b+b的图象恒过定点1,2.若fx【答案】3【分析】先由函数图象经过定点1,2推得m+b=0b+1=2，求出m,b，再由图象过点−1,10确定a【详解】因为函数fx=amx+b+b解得m=−1,b=1，故fx又fx的图象也过点−1,10，则f−1=因a>0，故a=3，所以fx故答案为：3−x+1【巩固练习3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数fx=axa>0且a≠1的图象过点2,9，则A．13 B．3 C．19【答案】A【分析】运用代入法进行求解即可.【详解】因为函数fx=axa>0且所以a2=9⇒a=3，或故f−1故选：A【题型4】指数函数的定义域核心知识1标准指数函数定义域为2复合型指数函数定义域限制来源分母不为0偶次根号下非负对数真数大于0等方法技巧 分层分析先看指数部分的定义域限制再结合指数函数性质 关键提醒指数函数本身无额外限制定义域问题均来自指数部分的复合结构【经典例题1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数y=152x−1【答案】−【分析】要使函数有意义，须使152x−1−125≥0【详解】要使函数有意义，须使15所以15因为函数y=15x是减函数，所以2x−1≤−3所以函数y=152x−1故答案为：(−∞,−1].【经典例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域(1)y=2(2)y=2【答案】(1)定义域为x|x∈R且x≠4(2)定义域为R，值域为0,+∞【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可.（2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可.【详解】（1）∵由x−4≠0，得x≠4，∴函数的定义域为x|x∈R∵1∴21x−4≠1．（2）函数的定义域为R．y=2故y=23−x【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数fx=9−【答案】−【分析】解不等式9−3【详解】要使函数fx=9−3x+1因为指数函数y=3u在R上单调递增，则x+1≤2，解得故函数fx的定义域是−故答案为：−∞【巩固练习2】（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数f(x)=2x2xA． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用x=1时的函数值判断即可.【详解】函数f(x)=2x2x−2−x中，函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，选项AC不满足；当x=1时，f(1)=2故选：B【巩固练习3】（24-25高三上·山东青岛·期末）函数f(x)=axax−a（a>0且a≠1）的图象关于点【答案】3【分析】根据给定的函数，探讨其对称中心，进而求出m+n.【详解】函数f(x)=axax−a函数f(x)在(−∞f(2−x)=a即f(2−x)+f(x)=1，函数f(x)的图象关于点(1,1又函数f(x)的图象关于点(m, n)对称，则m=1,n=1故答案为：32【题型5】指数函数的图像变换核心知识1平移变换左加右减上加下减2对称变换与关于轴对称与关于轴对称3伸缩变换水平伸缩压缩拉伸垂直伸缩方法技巧 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 定点追踪指数函数过定点可通过追踪定点位置判断变换结果【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象．(1)y=x+2(2)y=1【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）分离常数，由反比例函数平移即可画图；（2）由对数函数图像的平移和翻折即可解题.【详解】（1）因为y=x+2x−1=1+3x−1，先作出y=3x（2）设ℎx=y=12x−1−1，其图象可看作由函数而y=12x=12x则y=1【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）函数y=ax−1aA． B．C． D．【答案】D【详解】∵a>0，∴1a>0，则函数y=ax需向下平移1a个单位，不过(0,1)点，所以排除A，当a>1时，有【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y=ax−2与y=3a的图像有两个交点，则实数a【答案】0,【详解】①当0<a<1时，作出函数y=a若直线y=3a与函数y=a则由图像可知0<3a<2，所以0<a<2②当a>1时，作出函数y=a若直线y=3a与函数y=a则由图像可知0<3a<2，此时无解．所以实数a的取值范围是0,2【巩固练习2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)=

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】观察图像判断底数a>1，再结合特殊值求解.【详解】观察f(x)=ax+b则g(x)=log代入x=0，f(0)=1+b，0<f(0)<1，可得−1<b<0；则g(1)=log【巩固练习3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若a>1，则y=1ax与y=A． B．C． D．【答案】C【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断．【详解】因为a>1，所以0<1所以y=1ax=1ax是减函数，且排除选项BD，又y=logax−1【题型6】指数函数型函数的奇偶性核心知识1奇偶性定义为偶函数为奇函数2常见奇偶指数型函数（奇函数）（偶函数）方法技巧 判定步骤先看定义域是否关于原点对称再计算并与对比 化简技巧利用统一底数形式再整理判断关系【经典例题1】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设a>0，函数fx=exa+a【答案】1【分析】由f−x=fx，列出方程，得到(a2−1)e【详解】由函数fx=exa所以e−xa+所以(a2−1)e2x+1−a又因为a>0，所以a=1.【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）若fx=x+a⋅2A．−1 B．0 C．12 【答案】B【分析】利用偶函数的定义f−x【详解】由题设，函数的定义域为R，且f−x所以x−a⋅2x−12故选：B【巩固练习1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数fx=k+eexA．−e2 B．e2 C．−【答案】B【分析】根据题意可知fx【详解】令ex−1≠0，可得x≠0，即函数fx若函数fx为奇函数，则f可得fx所以k=e故选：B.【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知fx=aexe2x−1+bA．−4 B．−2 C．4 D．6【答案】B【分析】构造函数，并判断函数的奇偶性，再借助奇函数性质计算即得.【详解】设gx=fx−2=a则g(−x)=ae−x由f(4)=6，得g(4)=f(4)−2=6−2=4，g(−4)=f(−4)−2=−g(4)=−4，所以f(−4)=−2.故选：B【巩固练习3】（23-24高三上·甘肃·月考）已知fx=ax【答案】−12【分析】根据函数奇偶性由fx+f−x【详解】由函数fx=a所以f−x因为fx是奇函数，所以f即axax故答案为：−【题型7】指数函数的单调性核心知识1标准指数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减2复合型指数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断方法技巧 底数分类讨论优先分和两种情况 复合分析先确定内层函数的单调区间再结合外层指数函数的增减性判断整体单调性【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数f(x)=e−x2+ax+2a在(1,2)上单调递减，则A．13,1 B．[0,4] C．[0,1] 【答案】D【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得.【详解】令g(x)=−x由题意知，g(x)在(1,2)上单调递减，且g(x)≥0在(1,2)上恒成立.所以a2≤1g(2)=−4+2a+2a≥0a的取值范围是[1,2].【经典例题2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数fx(1)用定义证明函数fx在0,+(2)解不等式f2x【答案】(1)证明见解析；(2)−【分析】（1）利用作差法证明函数在[0,+∞（2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集.【详解】（1）任取x1,xf=2又2x2−2x故fx2−f函数fx在0,+（2）因为f(−x)=2−x+则由f(2x)>f(x+1)，可得2x>即2x2>x+12，即【巩固练习1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数fx=0.6x2−2ax在A．−∞,−1 B．1,+∞ C．2,+【答案】A【分析】令gx=x2−2ax，则g【详解】因为函数fx=0.6令gx又因为y=0.6x单调递减，则gx则a≤−1，所以实数a的取值范围是(−∞,−1].【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数fx=12ax2A．0,13 B．−∞,1【答案】B【分析】外层函数y=12u单调递减，复合函数在1,3【详解】外层函数y=12u在R上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数u当a=0时，ux=−2x+1，在当a>0时，二次函数ux开口向上，对称轴为x=1a，需满足1当a<0时，二次函数ux开口向下，对称轴为x=1a综上可得a≤1故选：B．【巩固练习3】（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数y=12【答案】(【分析】设t=x2−6x+17，分别判断函数y=【详解】设t=x2−6x+17，因y=而t=x2−6x+17=(x−3)2由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为(−故答案为：(−【题型8】指数型函数的值域核心知识1标准指数函数值域为2复合型指数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合外层函数求值域方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 边界注意指数函数值域恒大于0注意等号能否取到【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）若函数y=a2x+2ax−1(a>0,a≠1)在区间−1,1A．3 B．13 C．3或13 【答案】C【分析】按0<a<1,a>1分类，借助单调性求出最大值列式求解.【详解】当0<a<1时，函数y=a2x,y=2ax−1都是当x∈[−1,1]时，x=−1，ymax=a当a>1时，函数y=a2x,y=2ax−1都是当x∈[−1,1]时，x=1，ymax=a所以实数a的值是3或13【经典例题2】（2026·河南开封·模拟预测）已知a>0，且a≠1，若函数fx=3−ax+1,x<1ax,x≥1A．12,1 B．1,2 C．2,3 【答案】B【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可.【详解】若0<a<1，则y=ax在1,+∞单调递减，即0<当x<1时，fx=3−ax+1在−此时两部分值域的并集不为R，不符合题意；若1<a<3，则y=ax在1,+∞单调递增，即a当x<1时，fx=3−ax+1在−要使函数fx=3−ax+1,x<1ax,x≥1若a=3，则fx=1,x<13x若a>3，则y=ax在1,+∞单调递增，即a当x<1时，fx=3−a则3−ax+1>4−a，fx=综上，若函数fx=3−ax+1,x<1ax【巩固练习1】（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数fx=−x2+2x+3,x≤2,ax,x>2（a>0且a≠1【答案】1,2【分析】根据二次函数的性质可求解fx在−∞,2上的值域为−∞,4，进而根据f【详解】当x≤2时，fx=−x2+2x+3=−x−12因为函数fx的值域是R，故fx在2,+∞所以a>1,a2≤4,故实数a的取值范围是1,2．【巩固练习2】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数fx=mx+1,x<2−2−x,x≥2A．−58,−12 B．−【答案】A【分析】求出函数fx在2,+∞上的值域，对实数m的取值进行分类讨论，求出该函数在−∞【详解】当x≥2时，−x≤−2，则2−x∈0,若m=0，当x<2时，fx=1，此时函数fx在R若m>0，当x<2时，fx此时函数fx在R上的值域为−∞,2m+1若m<0，当x<2时，fx此时函数fx在R上的值域为−所以−14≤2m+1<0综上所述，实数m的取值范围是−5【巩固练习3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数f(x)=kax−a−x(a>0(1)若f(1)>0，求不等式fx(2)若f(1)=32，且g(x)=a2x+【答案】(1)(1,2](2)−2,【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数k，由f(1)>0判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集；(2)由f(1)=32求出底数a，通过换元法将g(x)转化为关于t的二次函数，根据x的取值范围确定【详解】（1）由f(x)为定义在[−8,8]上的奇函数，得f(0)=0，即ka故k=1，f(x)=a由f(1)=a−1a>0，结合a>0，得af(x)=ax−a−x由f(x2+2x)+f(x−4)>0所以−8≤x2+2x≤8所以不等式fx2+2x（2）由f(1)=a−1a=解得a=2（a=−12舍去），故g(x)=22x+则22x+2当x∈[1,2]时，t=2x−函数y=t2−4t+2=(t−2当t=2时，ymin=−2；当t=15故函数y=g(x)在1,2上的值域为−2,17【题型9】利用单调性比较指数的大小核心知识1同底不同指数利用指数函数单调性比较2同指数不同底利用幂函数单调性或中间量比较3不同底不同指数引入中间量（如01）比较方法技巧 分类比较先判断底数是否相同指数是否相同再选择对应方法 中间量法优先判断各数与01的大小关系再排序【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若0<a<1<b，则（）A．aa<bC．ba<a【答案】A【详解】利用函数y=xa0<a<1，y=【分析】因为y=xa0<a<1在0,+∞上单调递增，又又因为y=xbb>1在0,+∞上单调递增，又故aa【经典例题2】（2026·重庆北碚·模拟预测）设a=23，A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a【答案】C【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解【详解】构造指数函数fx=23x，底数0<a3=2【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）已知a=21.1,b=A．a>c>b B．b>c>aC．a>b>c D．b>a>c【答案】D【详解】31.2>【巩固练习2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知13<(A．aa<ab<ba B．【答案】B【分析】利用指数函数单调性判断a,b的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可.【详解】指数函数y=13x，底数0<13原不等式可改写为：13根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：0<a<b<1.指数函数y=ax，底数0<a<1，因此因为b>a，所以ab幂函数y=xa，指数a>0，因此y=x因为b>a，所以a所以a【巩固练习3】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知定义在R上的函数fx在2,+∞上是减函数，且函数y=fx+2为偶函数，若a=f0.80.7，b=f0.80.9【答案】b<a<c【详解】因为y=f(x+2)是偶函数，所以满足f(x+2)=f(−x+2)，说明函数f(x)的图像关于直线x=2对称.

已知f(x)在(2,+∞)上是减函数，由对称性可得：f(x)在对于指数函数y=0.8x，由于底数0<0.8<1，函数单调递减，因此对于指数函数y=2x，由于底数2>1，函数单调递增，因此综上得0.80.9f(x)在(−∞,2)上是增函数，因此f0.8【题型10】解指数不等式核心知识1指数不等式基本解法同底化利用指数函数单调性去掉底数2含参数指数不等式需分类讨论底数的范围（或）方法技巧 同底化步骤将不等式两边化为同底数幂再根据单调性转化为指数的不等式 分类讨论底数含参数时先分和两种情况再分别求解【经典例题1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数fx=x+3,x<02x+2−xA．−∞,1 B．−∞,53【答案】A【分析】分类讨论，当3a−2<0时，根据fx=x+3解不等式，当3a−2≥0时，即【详解】当3a−2<0时，即a<23时，故a<2当3a−2≥0时，即a≥23时，令t=2x，则所以函数fx=2x+所以由f3a−2<72=f又a≥23，故综上，实数a的取值范围为−∞【经典例题2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数fx=3x+【答案】−【分析】令t=3x,t∈0,+∞，则不等式可化为t【详解】因为fx=3所以3令t=3x,t∈即t2−4t+3≥0，解得0<t≤1或则3x≤1或3x≥3，解得则不等式fx≥4的解集为故答案为：−∞【巩固练习1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知函数fx的定义域为R，fx+1为偶函数，且对任意的x1,x2∈1,+∞（x【答案】−【分析】得到fx的图象关于直线x=1对称，且在1,+∞上单调递增，从而不等式转化为4x+1−1<【详解】因为fx+1为偶函数，所以fx的图象关于直线又对任意的x1,x所以fx在1,+所以f4x+1<f2当2x≥6时，不等式可化为4x令2x=t，则t2当2x<6时，不等式可化为4x即2x+32x−2综上，关于x的不等式f4x+1故答案为：−【巩固练习2】（2025·四川成都·一模）不等式4x+1−A．x∣x<log23 B．x x>log【答案】B【分析】令2x=t，t>0，转化不等式为t2+1−t【详解】令2x=t，由4x+1−当0<t<1时，不等式为t2+1−t>11，即解得t<1−412或t>当t≥1时，不等式为t2+t−1>11，即解得t<−4或t>3，由于t≥1，则t>3，即2x>3=2综上所述，不等式4x+1−故选：B【巩固练习3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知均定义在R上的奇函数fx与偶函数gx满足fx+gx【答案】x【分析】将x替换为−x可得f−x+g−x=4−x，根据函数奇偶性得进一步可得到f2x=2⋅42x−4−2x即可得到不等式的解集．【详解】定义在R上的奇函数fx与偶函数gx满足fx+gx=4又f−x=−fx，g−x=g解得gx=4x+fxgx将f(2x)=2f(x)g(x)代入原不等式2f(2x)>3g(x)得4f(x)g(x)>3g(x)，又g(x)>0，故4f(x)−3>0,故原不等式等价于fx>34，即4x−4故等价于2t2−2>3t，2t+1t−2>0，易知2t+1>0也即4x>2，22x>2故答案为:xx>【题型11】与指数函数图像有关的综合计算核心知识1指数函数图像过定点结合图像的增减性过定点渐近线分析2图像交点问题转化为方程求解或利用图像性质分析交点个数方法技巧 图像分析法画出大致图像利用图像的高低位置判断大小关系或解的个数 定点法利用指数函数过定点的性质快速排除错误选项【经典例题1】（2026·江苏·模拟预测）已知A,B两点在函数fx=4xx>0的图象上，C,D两点在函数gx=2xx>0的图象上，且AD平行于x轴，AC和BD平行于y【答案】log【分析】设Ax1,【详解】解：设Ax1,线段AC的长度为4x1−2x因为BD=12AC，所以：4x又因为AD平行于x轴，所以点A与点D的纵坐标相等，即4x1=2x∴44x即222x∵x1>0∴2x1线段AD长度为x2【经典例题2】（25-26高一上·云南昆明·期末）设平行于x轴的直线l与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于A,B两点，若在y=ex的图象上存在点C【答案】3【分析】设直线l的方程为y=aa>0，求得A,B坐标得到AB=2，取AB中点D，连接CD，根据△ABC为等边三角形表示出C点坐标，再根据C点在函数y=ex的图象上得到关于a的方程，求出【详解】设直线l的方程为y=aa>0由ex=a解得x=ln由ex+2=a解得x=ln所以AB=2如图，取AB中点D，连接CD，

因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB，AD=1，CD则Cln所以a−3=e所以C点纵坐标为a−3故答案为：3【巩固练习1】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知函数fx=2x−1x+1和gx=ax−2（其中a>0且a≠1【答案】52/【分析】由函数fx=2x−1x+1，gx=ax−2【详解】由fx=2x−1x+1=2−由gx=ax−2结合函数图象易知f0

即对于任意a>0且a≠1，0,−1是函数y=fx和y=g又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为1，所以f1=g1，即2×1−1故答案为：5【巩固练习2】（24-25高一上·河南郑州·期末）设平行于x轴的直线与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于点A,B，若在y=ex的图象上存在点C【答案】3【分析】设直线l的方程为y=a(a>0)，求得点A，B坐标，得到AB=1，取AB的中点D，连接CD，根据三角形为等边三角形，表示出点C坐标，根据点C在函数y=ex的图象上，得到关于a的方程，求出a【详解】设直线l的方程为y=a(a>0)，由ex=a，得x=ln由ex+2=a，得x=lna−2如图，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，所以AD=1，CD则点Clna−1,a−3解得a=3ee−1，所以故答案为：3e【巩固练习3】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为______．【答案】1【分析】根据点在函数的图象上求出xA、xB、yC【详解】由题中图象可知，点AxA,2所以2=log22因为点BxB,2所以xB因为点C4,yC在函数y=又因为xD=xA=故答案为：12【题型12】指数函数的图像与性质综合核心知识1综合应用结合定义域值域单调性奇偶性图像变换等性质解题2常见考点函数图像判断性质综合应用与其他函数的综合题方法技巧 逐项排除利用性质逐一排除不符合条件的选项 特殊值法代入特殊点（如）快速判断函数性质【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数fx=b⋅ax（其中a，b为常数，且a>0，a≠1）的图象经过点A1,6(1)求fx(2)若不等式1ax+1b【答案】(1)f(2)−∞【分析】（1）根据题意，列出关于a,b的方程组，求得a=2,b=3，即可求解；（2）根据题意，转化为m≤12x+13x在−【详解】（1）解：因为函数fx=b⋅ax的图象过点可得b⋅a=6b⋅a3又因为a>0，所以a=2，则b=3，所以fx（2）解：由（1）知：a=2，b=3，因为不等式1ax+即当x∈−∞,1即m≤12x又因为y=12x与y=所以y=12x所以当x=1时，y=12x+1所以实数m的取值范围是−∞【经典例题2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数fx(1)判断函数fx(2)若存在实数x∈−1,2，使得fk⋅4(3)若关于x的不等式fx2−2bfx−3【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)k>−1(3)(−∞【分析】（1）由R上的奇函数的性质可得f(0)=0，进而求得a，再结合定义法判断函数单调性；（2）结合奇函数性质将问题转化为f(k⋅4x+1)>f(2−2x)，结合函数单调性可得k>1−2x4x【详解】（1）由f(x)是奇函数，且定义域为R，得f(0)=0.所以f(0)=a⋅20故解析式为：f(x)=2检验f(−x)=1−2⋅所以a=1.任取x1,xf(x1=2(因为x1<x2，且所以2x1<又因为2x1+1>0所以f(x1)−f(综上所述函数f(x)在R上是增函数.（2）由f(−x)=−f(x)，可得f(k⋅4由（1）可知f(x)在R上是增函数，故k⋅4x+1>2−令t=2x，由x∈[−1,2]，可得t∈[1若存在t∈[12,4]使得k>g(t)令g(t)=(1t)2−1当u=12，即t=2时，ℎ(u)取得最小值所以k>−1（3）根据题意可得(f(x)−3b)(f(x)+b)<0，因为f(x)=1−22x+1，当所以22x+1若b>0，则−b<3b，不等式的解为−b<f(x)<3b，要使不等式对任意x∈R恒成立，只需(−1,1)⊆(−b,3b)，即−b≤−13b≥1，解得b≥1若b<0，则3b<−b，不等式的解为3b<f(x)<−b，即3b≤−1−b≥1，解得b≤−1若b=0，可得f(x)2综上所述实数b的取值范围是(−∞【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数fx=a(1)若函数fx在−∞,1和1,+(2)若a=1，求ℎx(3)若a<0，不等式ℎx≤9在0,1【答案】(1)f(2)ℎx在−∞,2(3)a∈【分析】（1）根据题意得函数关于x=1对称，利用二次函数对称性即可求解；（2）将a=1代入fx中，得出函数ℎ（3）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可.【详解】（1）因为函数fx=ax2−4x+2所以函数fx为二次函数且对称轴为x=1即−−4所以fx（2）当a=1时，fx此时函数ℎx由函数fx=x所以fx在−∞,2由y=13xℎx在−∞,2（3）由题意得：ℎx≤9即即13ax由y=13x所以问题转化为ax2−4x+2≥−2即a≥4x−4x2等价于求φx=−4令t=1x，由x∈0,则φt由该函数对称轴为t=−4所以φt在t∈所以φt所以a≥−8，又a<0，所以a的取值范围是−8,0.【巩固练习2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数fx、gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且(1)证明：fx−g−x=2⋅3(2)直接说明函数gx的单调性，并解关于x不等式：g(3)设px=3x−23x+2，ℎx【答案】(1)证明见解析，fx=(2)增函数，解集为−(3)−【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合fx+gx=2⋅3（2）分析函数gx的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为gx2（3）先根据函数px在R上的单调性，推得p(x)>−1，再通过t=3x−3−x换元，将函数ℎx转化为φ(t)=【详解】（1）因为函数fx、gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且则f−x+g−x联立①②可得fx=3（2）函数gx=3任取x1<=3因x1<x2，则3x即函数gx=3由gx2+4x所以x2+4x>6−x，即x2+5x−6>0，解得故所求不等式的解集为−∞（3）因为px=3x−2当x→−∞时，px→−1又因为ℎ=3令t=3x−而函数φ(t)=t故当t=1时，φ(t)min=2m−2因为对于∀x1∈R，∃故需使2m−2≤−1解得m≤1因此，实数m的取值范围是−∞【巩固练习3】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数fx=a·(1)求实数a,b的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)当x∈[1,2]时，2+mf(x)+2x>0【答案】(1)a=1，b=3(2)函数f(x)在[−3,3]上单调递增，证明见解析(3)(−2【分析】（1）根据f−x=−fx求得a（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）令2x−1=t，t∈1,3，转化为−m<t+6t【详解】（1）∵fx=a·∴f(−x)=−f(x)，即a×2∴a−2x2x+1=故−a−2=−3，∵函数的定义域为−a−2,b，则−a−2+b=0，解得b=3，所以a=1，b=3；（2）由（1）可知fx=2x−12x证明如下：任取x1,x则fx∵−3≤x1<∴fx1<f（3）当x∈[1,2]时，f(x)=2x−12x即当x∈[1,2]时，−m<2x+2则−m<(t+3)(t+2)又t+6t+5≥2t×6则m>−26∴实数m的取值范围−26模块二模块二学有余力·拓展提升【题型13】指数型对勾函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（对勾函数）3性质值域当时单调递减区间单调递增区间方法技巧 换元优先先换元确定再套用对勾函数性质 极值点定位极小值点对应【经典例题1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知偶函数f(x)=ex+a(1)求实数a的值；(2)已知g(x)=ex−ae−x，（i）判断函数ℎ(x)在R上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；（ii）若对∀x∈R，不等式ℎ(ℎ(x))+ℎ(−m)>0恒成立，求实数m【答案】(1)a=1(2)（i）ℎ(x)在R上单调递增，证明见解析；（ii）(−∞【分析】（1）利用偶函数的定义列式求解.（2）（i）由（1）可得ℎ(x)=1−2e2x+1并判断单调性，再利用单调性的定义推理证明；（ii）由单调性和奇偶性的性质可得ℎ(x)>m对所有【详解】（1）由函数f(x)=ex+ae−x即e−x+aex=所以a=1.（2）（i）由（1）知g(x)=ex−e−x函数ℎ(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1,x由x1<x2，得0<e2x所以ℎ(x)在R上单调递增；（ii）函数ℎ(x)=ex−e−xex不等式ℎ(ℎ(x))+ℎ(−m)>0⇔ℎ(ℎ(x))>−ℎ(−m)=ℎ(m)，因此ℎ(x)>m，依题意，不等式ℎ(x)>m对所有x∈R成立，而e2x>0，则e因此−1<1−2e2x+1<1所以实数m的取值范围是(−∞【巩固练习1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知e是自然对数的底数，函数fx(1)求证：fx(2)求不等式f2x【答案】(1)证明见解析(2)−【分析】（1）利用偶函数的定义证明即可；（2）结合指数函数的单调性得fx在−∞,0上单调递减，在0,+【详解】（1）因为fx是定义域为R又fx=e（2）因为函数fx是定义域为R上偶函数，所以只需判断x∈易知fx=ef=e因为0≤x1<得fx1−f所以fx=e由偶函数性质可得fx在−因此可得fx在−∞,0由fx是偶函数得知对函数fx来说，距离其对称轴因此不等式f2x≥fx+1等价于f也即(2x)2≥(x+1)2，整理可得3x所以不等式f2x≥fx+1【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx(1)若关于x的不等式f2x−mfx(2)设函数gx=fx+x−3【答案】(1)m≤1(2)证明见解析【分析】（1）由f2x−mfx≥0分离参数（2）根据函数的单调性、零点存在性定理等知识来证得不等式成立.【详解】（1）由题得32x则m≤3令t=3x+由于y=t−2tt≥2单调递增，故t−（2）3x0+x0glog则glog32对任意x2其中3x1−3x2<0,所以2+12=f【题型14】指数型飘带函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（飘带函数）3性质值域当时在上单调递增当时在上单调递减方法技巧 单调性速判外层飘带函数在恒增内层指数函数的增减性决定整体单调性 奇偶性判断当时为奇函数其余情况非奇非偶【经典例题1】（25-26高一上·北京西城·期末）已知函数fx=2x+a⋅2条件①：fx是奇函数；条件②：f(1)求实数a的值；(2)判断fx在区间0,+(3)设gx=lnfx注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)答案见解析(2)fx在区间0,+(3)gx在0,+【分析】（1）选择条件①，根据奇函数的性质，得到f0=0，求得a=−1；选择条件②：根据f−x=fx，得到(a−1)(（2）分a=−1和a=1，两种情况，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可得证；（3）当a=−1，得到gx=ln(2x−2−x)+x−2，求得若a=1，得到gx=ln(2【详解】（1）解：若选择条件①：fx因为fx=2x+a⋅2−x若选择条件②：fx因为fx=2x+a⋅即(a−1)(2x−2−x)=0对任意（2）证明：若a=−1，可得fx任取x1,x则f=(2因为x1<x2，可得即fx1<fx2若a=1，可得fx任取x1,x则f=(2因为x1<x2所以fx1−f所以函数fx在区间0,+（3）解：当a=−1，可得fx=2因为函数fx=2又因为函数y=x−2和y=lnx在所以函数gx在0,+因为g1=ln所以g1⋅g2<0，根据零点的存在性定理，可得即函数gx在0,+若a=1，可得fx=2因为函数fx=2又因为函数y=x−2和y=lnx在所以函数gx在0,+因为g1=ln所以g1⋅g2<0，根据零点的存在性定理，可得即函数gx在0,+【巩固练习1】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数fx=3(1)若集合A=x∣fx≥0，B={x(2)设gx=f2x−2afx，且g【答案】(1)A∩B={x∣0≤x<3}(2)a=3【分析】（1）由题意可得f0=0可求出m，然后再验证即可求出f(x)的解析式，再解不等式求出集合A,B，从而可求出（2）令t=3x−3−x，则将gx=f2【详解】（1）因为fx是定义域为R所以f0=0，可得当m=2时，fx所以f−x=3所以fx=3由fx≥0，得3x因为3x>0，所以所以x≥0，即A=x∣x≥0B={x|2x−m所以A∩B={x∣0≤x<3}（2）令t=3x−3−x，因为y=所以t=3x−所以x≥1时，t≥8gxℎt=t当a>83时，ℎt在8ℎ所以a=3或−3,又a>83，所以当a≤83时，ℎtℎtmin=ℎ综上可知a=3.【巩固练习2】（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知定义在R上的函数f(x)=ax−a−x(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；(2)若f(1)=32，函数g(x)=a2x+(3)若a>1，ℎ(x)=a|x|−|f(x)|，对任意x∈[λ,λ+1]，不等式ℎ(x+λ)≤【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)[−2,17(3)λ≤−3【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断并证明.（2）求出a值，判断f(x)的单调性，并求出x∈[1,2]时f(x)的范围，再变形g(x)并借助二次函数求出值域.（3）化简函数ℎ(x)并探讨其性质，进而脱去函数不等式中法则“h”转化为二次函数在闭区间上恒成立问题求解.【详解】（1）函数f(x)是R上的奇函数，证明：由∀x∈R，得−x∈R，f(−x)=a所以函数f(x)是R上的奇函数.（2）由f(1)=32，得a−1a=32函数f(x)=2x−2−x因此f(x)是R上的增函数，故当x∈[1,2]时，f(x)∈[3g(x)=2则当f(x)=2时，g(x)min=−2，当f(x)=所以函数g(x)的值域是[−2,17（3）当a>1时，函数y=ax,y=−因此f(x)=ax−a−x当x<0时，ℎ(x)=a−x+f(x)=ax因此ℎ(x)=a−|x|，ℎ(−x)=a−|−x|=ℎ(x)，故函数ℎ(x)不等式ℎ(x+λ)≤[ℎ(x)]因此3x2−2λx−λ2则φ(λ)≤0φ(λ+1)≤0，即3(λ+1)2所以实数λ的取值范围是λ≤−3【点睛】关键点点睛：本题第3问，化简函数ℎ(x)，并探讨其性质是求解问题的关键.【题型15】指数型一次/一次函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（一次分式函数）3核心方法分离常数法再结合分析值域和单调性方法技巧 分离常数法拆分出常数项简化分式部分的分析 值域分析结合的范围求分式部分的取值范围再确定整体值域【经典例题1】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数fx=a−(1)求a的值；(2)解不等式：fx(3)若实数m满足f2m2【答案】(1)a=1(2)−(3)−【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解；（2）将不等式等价化简得2x（3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一元二次不等式即可得解．【详解】（1）由题意函数fx是定义在R上的奇函数，所以f即a−12x2+2所以a=1；（2）由（1）知fx=1−所以2x<3=2log2（3）由（1）可得fx取任意x1,x则f=1因为x1<x2，所以所以fx1−f因此函数fx由f2m2由fx为单调递减可知2m2解得−12<m<2，所以m【经典例题2】（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）已知fxA．a=1 B．fx在x∈C．f0.3x>f0.3的解集为−∞【答案】AD【分析】根据奇函数的定义，列出方程，求出参数值，判断选项A的正误；根据复合函数单调性，判断选项B的正误；根据基本初等函数的性质，对函数解析式进行分离常数，判断函数值域，判断D的正误；根据函数单调性，解不等式即可，判断C的正误.【详解】因为fx=2所以当x≠0时，f−x=−fx化简得a−12x−1可得fx=2x+1当x>0时，u=2x−1单调递增，y=1+由复合函数的单调性可知fx在0,+因为0.3x>0,0.3>0，且所以f0.3x>f0.3，等价于因为y=0.3x单调递减，所以所以f0.3x>f因为2x>0且2x≠1，所以2x−1>−1且所以1+22x−1<−1或1+故选：AD.【巩固练习1】（25-26高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数fx=2A．函数fx的定义域为R B．函数fxC．fx+f−x=0【答案】ABC【分析】fx【详解】fx对于A：2x+1≠0恒成立，函数fx对于B：2x所以−2<−2所以函数fx的值域为−1,对于C：f(x)+f−x对于D：当x越大，2x+1越大，−22x故选：ABC.【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数fx=2A．不等式fx<B．fx的图图像关于yC．fx是RD．fx的值域为【答案】ACD【分析】化去绝对值再利用指数函数的单调性解不等式可判断A；判断函数f(x)的奇偶性可判断B；根据复合函数单调性判断C；通过求含指数函数的复合函数的值域判断D.【详解】f对于A，由fx<13得−1对于B，因为f(−x)=2−x−12−x对于C，因为函数y=2x+1是增函数，因为y=因此函数f(x)=1−2对于D，由2x>0⇒2x+1>1⇒0<故选：ACD.【巩固练习3】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数f(x)=2x−1A．f(x)是偶函数B．f(x)的值域为(−2,2)C．f(x)的图象关于原点对称D．∀x1,x2【答案】CD【分析】利用函数的奇偶性判断AC；由指数函数的值域求解原函数的值域判断B；结合指数函数的单调性分类讨论判断D.【详解】因为f(x)=2x−1且fx+f−x所以A错误C正确；对于B：因为fx=2x−1因为2x=−fx+1对于D：当x1>x因为x1>x2，所以2x所以fx当x1<x因为x1<x2，所以2x所以fx综上，∀x1,x2故选：CD【题型16】指数型函数的方程的根核心知识1指数型方程解法换元法令转化为代数方程求解2根的个数判断结合函数图像利用单调性和值域判断交点个数方法技巧 换元法步骤换元转化为关于的方程求解的解再解 图像法画出指数型函数与直线的图像观察交点个数判断方程根的个数【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数f(x)=|2x−1|,x≤2−x+5,x>2，若关于x的方程f(x)−m=0恰有两个不同的实数解，则实数【答案】[1,3)∪{0}【分析】利用函数零点的意义，把问题转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点求解.【详解】由关于x的方程f(x)−m=0恰有两个不同的实数解，得函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象及直线y=m，如图：观察图象得，当且仅当m=0或1≤m<3时，函数y=f(x)的图象及直线y=m有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.故答案为：[1,3)∪{0}【经典例题2】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数f(x)=1+lnx,x>0|ex+2−1|,x≤0【答案】(1,2)【分析】设f(x)=t，解出关于t的一元二次方程的解，画出函数f(x)的图象，数形结合求出m的取值范围.【详解】令f(x)=t，原方程化为1−m2+2mt=t2，即[t−(m−1)][t−(m+1)]=0函数f(x)在(−∞,−2]上单调递减，函数值集合为[0,1)，在[−2,0]上单调递增，函数值集合为在(0,+∞)上单调递增，函数值集合为R，作出函数观察图象，得当t<0或t>e2−1当t=0或1≤t≤e2−1当0<t<1时，f(x)=t有3个解，由方程1−m2得0<m−1<11≤m+1≤e2−1或m−1=00<m+1<1，解得1<m<2所以实数m的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2)【巩固练习1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数fx=x+1x，x>012x，【答案】(−【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有5个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于g(t)=0有两根，其中一根t1=2，另一根【详解】法一：当x>0时，f(x)=x+1x≥2当x<0时，f(x)=2|x|在(−∞,0)单调递减且令t=f(x)，g[f(x)]=0，即g(t)=t由g[f(x)]=0有5个不等解等价于g(t)=0有两根，其中一根t1=2，另一根根据韦达定理，2+t2=−a，2t2∴a−b=−2−3t2，由t2法二：可知由g[f(x)]=0有5个不等解等价于g(t)=0有两根，其中一根t1=2，另一根所以4+2a+b=0①由①得b=−4−2a④，则a−b=4+3a将④代入②得：a2又由③得a<−4⑥，由⑤⑥可知a<−4，所以a−b=4+3a<−8.故答案为：(−∞课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=ax+1x⋅3A．13 B．1 C．3 【答案】D【分析】先求得fx【详解】由题知，x⋅3x≠0⇒x≠0，f由fx是奇函数得f则fx=9故a=9.2．（2026·北京顺义·二模）把函数fx=axa>0,a≠1的图象C1向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的14倍，得到图象C2，若此时图象A．4 B．2 C．12 D．【答案】C【分析】首先根据平移变换求出图象C2的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出a【详解】把函数fx=a得到函数表达式为y=a再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的14得到图象C2的函数表达式为y=因为图象C1与C2重合，所以即14a−2=1，解得3．（2026·湖南长沙·一模）已知曲线y=2x上的点A和曲线y=2x−1−43上的两点B,CA．43 B．2 C．52【答案】B【分析】先判断BC必为斜边，再设Aa,2a，则可由题设条件得到2【详解】因为B,C在曲线y=2x−1−不妨设AB平行于y轴，AC平行于x轴，设Aa,2a令2x−1−43=因为△ABC是等腰直角三角形，故AB=所以2a整理得2a−1设ga因为y=2a−1+故ga为R上的增函数，而g故ga=0的解为故AB=4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数a，b满足a+2b=2，则2a+4A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】2a当且仅当a=2b，即a=1、b=1即2a+45．（2026·陕西咸阳·三模）函数fx=e−x−A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项.【详解】已知fxf−x因此fx是奇函数，图象关于原点对称，排除关于y当x∈0,π2时：e同时cosx>0，因此fx=负数×即x∈0,π2时，f6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数f(x)=ax−2+2(a>0,a≠1)恒过定点Q，且点Q在函数y=mx+n的图象上，则4A．22 B．8 C．4 D．【答案】D【分析】通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可.【详解】令x−2=0，即x=2，f(2)=3，所以f(x)恒过定点Q(2,3)，因为点Q在函数y=mx+n的图象上，则有3=2m+n，4m当且仅当4m=2则4m+27．（25-26高一上·青海海南·期末）已知a>0且a≠1，若函数fx=−x2−2ax−2,x<0aA．1,2 B．2,+∞ C．0,1 D．【答案】B【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解.【详解】若0<a<1，则y=ax在0,+∞单调递减，即0<当x<0时，fx=−x2−2ax−2的最大值为a若a>1，当x∈0,+∞时，ax≥1，fx≥2，当只需fx所以a2−2≥2a>18．（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为coshx=ex+e−x2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=ex−A．−1,2 B．−2,1C．−∞,−1∪【答案】A【分析】根据奇偶性的定义可得f(x)为奇函数，进而分离常数，结合指数函数的单调性可判断f(x)的单调性，进而求解即可.【详解】由题意，得f(x)=sinhxcosh则f(−x)=e−x−又f(x)=e由于y=e2x+1在R上单调递增，且e2x+1>0由fa+2+f−即a+2>a2，解得−1<a<2，则a的取值范围为9．（2026·北京昌平·二模）已知函数f(x)=1−exA．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数 B．奇函数，且在C．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数 D．奇函数，且在【答案】D【分析】先确定fx=1−ex1+ex定义域为R且关于原点对称,求出f−