第11讲函数的对称性与图象变换（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）（原卷版）

第11讲函数的对称性与图象变换（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值对称性质判定、对称与周期综合、图像翻折/平移变换单选、多选5分/6分基础平移变换、对称求值、简单对称性质应用单选、填空5分单一图像变换、基础对称性判断，难度偏低单选、填空5分对称性推导周期、结合零点/单调性综合考查单选、填空、解答5分/6-10分【知识点01】奇函数、偶函数的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称；(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称.(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0).【例1】已知f(x)=x3+2x【知识点02】两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称.【例2】判断函数y=2x与y=2−x的对称关系，并写出【知识点03】利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x).③y＝f(x)y＝－f(－x).④y＝ax(a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1).(3)翻折变换①y＝f(x)y＝|f(x)|.②y＝f(x)y＝f(|x|).【例3】已知y=f(x)=x2，作出下列函数的图象（写出变换过程）：（1）y=(x−2)【题型一】判断或证明函数的对称性【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【例2】（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（

）A． B．的最小值为C． D．的图象关于点对称【例3】（2025·重庆·二模）函数的值域为________．【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（

）A．关于y轴对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_________________.【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知函数，则曲线的对称中心为___________．【题型二】函数对称性的应用【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例5】（多选）（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（

）A． B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．是的周期【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则______．【变式1】（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，f3+x+f−1−x=0，且在上单调递增，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当时，则_______.【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，且函数与的图象关于直线对称.(1)求函数的解析式；(2)若成立，求实数的取值范围；(3)若且，求的取值范围.【题型三】函数图像的识别【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【例8】（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【例9】（多选）（2025·山西临汾·二模）函数的图象可以是（

）A． B．C． D．【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（

）A． B．C． D．【变式2】（2026·四川自贡·三模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【变式3】（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【题型四】函数图象的应用【例10】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（

）A． B． C． D．【例11】（多选）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．6个零点之和是6【例12】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设函数，若函数图像关于直线对称，求曲线的长度为__________．【变式1】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______．【变式3】（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是______．【题型五】函数图象的变换【例13】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【例14】（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递减【例15】（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称【变式3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，曲线与函数的图象关于直线对称，则__________．【解题大招01】奇偶性+对称性快速求值利用奇偶性的对称性质（偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称），跳过复杂计算，直接转化函数值，快速求解。【例1】已知f(x)=x5+3x3+2x是奇函数，且f(1)=6【解题大招02】两个函数对称，快速求解析式记准3类高频对称结论，直接代入公式，无需画图，快速推导对称函数解析式。关于y轴对称：y=f(x)↔y=f(−x)；关于原点对称：y=f(x)↔y=−f(−x)；关于x=a轴对称：y=f(x)↔y=f(2a−x)。【例2】已知f(x)=log2⁡(x+1)，求：（1）与f(x)关于y轴对称的函数解析式；（2）与f(x)【解题大招03】图象变换“一步到位”法遵循“先平移、后翻折”的顺序，避免变换顺序错误，结合公式快速写出变换后的解析式。关键规律：1.平移+翻折：左移ℎ→f(x+ℎ)，右移ℎ→f(x−ℎ)；关于x轴对称→−f(x)；2.易错提醒：先翻折再平移，平移方向易反向（如先关于y轴对称再左移，需注意x的符号）。【例3】已知f(x)=x【解题大招04】对称性+周期性快速推导利用对称性质推导周期，熟记2个高频结论，快速转化函数值，简化计算。核心结论：1.函数关于x=a和x=b（a≠b）对称，则周期T=2|a−b|；2.函数关于x=a和点(b,0)对称，则周期T=4|a−b|。【例4】已知f(x)的图象关于直线x=1和x=3对称，且f(2)=5，求f(8)的值。【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．2．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数定义域为，下列是无最小值的充分条件的是（

）A．为偶函数且图象关于直线对称 B．为偶函数且图象关于点对称C．为奇函数且图象关于直线对称 D．为奇函数且图象关于点对称二、多选题4．（2025·江西新余·模拟预测）下列函数中，的图象可以由的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：（

）．A．， B．，C．， D．，5．（2025·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（）A． B． C． D．三、填空题6．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________．7．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则______________.四、解答题8．（2024·陕西西安·二模）设函数.(1)在坐标系中画出函数的图象；(2)若对任意恒成立，求的取值范围.【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·吉林·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．三、填空题4．（2025·湖南·三模）已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为______.5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为________．四、解答题6．（2025·河北唐山·模拟预测）已知函数．(1)若函数的图象关于点对称，求的值；(2)若是的极大值点，求的值；(3)设是的极值点，且满足，求的取值范围.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A．2 B．1 C． D．2．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（202