第12讲 对数运算及对数函数的应用（原卷版及解析）2027届高考数学一轮精准复习

第12讲对数与对数函数TOC\o"1-2"\h\u题型一对数式的运算 2题型二对数型函数的定义域 4题型三对数型函数的值域 5题型四对数函数的单调性及解不等式 6题型五对数函数的比较大小 8题型六对数函数的图像及应用 9课时精练 11【基础回顾】知识点1：对数的概念一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。以10为底的对数叫作常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫作自然对数，记作lnN.知识点2：对数的性质与运算性质（1）对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．（2）对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．（3）对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．知识点3．对数函数的图像与性质图像定义域(0，＋∞)值域R性质过定点（1,0），即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数知识点4：反函数指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称。【必备知识】1.logab·logba＝1（a>0，且a≠1，b>0，且b≠1），＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)2.如图，给出4个对数函数的图像。则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图像从左到右底数逐渐增大。可以令y=1得到x值，即为底数。题型一对数式的运算解决对数运算问题的常用方法（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简。（2）将同底对数的和、差、倍合并。（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用。【例题精讲】1．（25-26高一下·云南·开学考试）若log4log3log2A．8 B．27 C．64 D．32．（25-26高一上·福建三明·期末）已知2a=3,log25=bA．45 B．95 C．59 3．（25-26高一上·贵州毕节·期末）823−A．2 B．1 C．0 D．−14．（25-26高三下·浙江嘉兴·月考）设a>0,a≠1,x>y>0，下列等式：①loga②loga③loga④loga其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（25-26高一上·广西钦州·期末）lg12−A．2 B．1 C．−1 D．−26．（25-26高三上·全国·月考）log42026logA．14 B．12 C．27．（24-25高一上·山东滨州·期末）式子31+log3A．5 B．6 C．7 D．88．（25-26高一上·全国·单元测试）计算下列各式：(1)log4(2)lg25+9．（24-25高一上·湖北恩施·期末）（1）若xlog32=1（2）计算：lg2+10．（2024高三·全国·专题练习）求下列各式的值．(1)12(2)lg(3)2lg(4)log(5)log(6)log5题型二对数型函数的定义域定义域：1.真数，即解不等式（若对数函数为）。2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解。值域：1.先确定内层函数的取值范围（）。2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导的值域。【例题精讲】1．（25-26高一上·广东深圳·期末）函数fx=x+1A．0,5 B．1,5 C．−1,5 D．−1,+2．（25-26高一上·广东佛山·期末）函数fx=logA．2,3 B．2,3C．−∞,2∪3．（2026·湖南郴州·三模）已知集合A=x∈N∣x2−7x−18<0,B=A．−2,9 B．−2,3 C．0,1,2 D．1,24．（25-26高一上·贵州·期末）函数f(x)=log2(x+2)A．(2,+∞) C．(1,+∞) 5．（25-26高三上·河南·月考）函数fx=logA．4,6 B．−C．[4,6] D．(6,+∞)6．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知集合A=xx2A．−1,0,1 B．−1,0 C．0,1 D．17．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合A=xy=log21−2x，B=A．−∞,12 B．12,+（多选）8．（25-26高一上·重庆·期中）关于函数fx=logA．函数fx的定义域为B．函数fx的单调递增区间为C．函数fxD．函数fx的图像恒在x（多选）9．（25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数fx=logA．函数fx的定义域为0,+∞ B．当0<x<1C．fx>1的解集为12（多选）10．（25-26高三上·河北保定·月考）已知函数f(x)=ln|x−a|，则（A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为RC．f(x)在(a,+∞)上单调递增 D．f(x)的图像关于直线题型三对数型函数的值域【例题精讲】1．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）函数fx=1−eA．1,+∞ B．−∞,1 C．0,+2．（2025·湖北宜昌·二模）已知a>1，函数f(x)=14x3,x≤2logaA．[2,+∞) B．(1,2] C．3．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知a>1，函数fx=−x+a+1,x≤alogaA．R B．0,+C．1,+∞ D．4．（25-26高三上·重庆南岸·月考）下列函数中最小值为2的是（

）A．y=2x+C．y=x2+2+5．（25-26高三下·青海西宁·月考）函数f(x)=lgx2A．(1,+∞) B．(lg5,+∞)6．（2026·湖南·三模）已知函数f(x)=1ax−logax（a>0且a≠1）A．4 B．2 C．12 D．7．（25-26高一上·天津滨海新·期末）已知函数f(x)=log2(x2A．当m=0时，函数f(x)的值域为RB．若函数f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+C．若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增，则实数mD．对任意的m∈R，函数f(x)（多选）8．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列说法正确的是（

）A．若函数f1−x的定义域为0,2，则函数fxB．y=1C．fx=D．“a=2”是“函数fx=x−a（多选）9．（25-26高一下·河南·月考）已知函数fx=lnx2A．fxB．当m2−4n≥0时，若fC．fx在定义域内的区间−D．当m2−4n<0时，f（多选）10．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数fx=lnA．fx为偶函数 B．fC．fx在区间1,+∞上单调递减 D．f题型四对数函数的单调性及解不等式1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：当时，；当时，．2.若底数a不确定，需分和两种情况讨论。3.比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如、）辅助判断。【例题精讲】1．（25-26高一上·北京延庆·期末）下列函数在其定义域内是增函数的是（

）．A．y=12x B．y=−log2x2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数fx=−x2+2x+3，gA．−1,3 B．3,+∞ C．−∞,−13．（2026·安徽安庆·二模）已知集合M=x0≤log2x+1A．0, 2 B．−∞, 04．（2026·江西抚州·二模）已知函数fx=2−log2−x+2,0≤x<2A．−12,1 B．12,+∞5．（2026·江苏·二模）若loga12a−1<1，则A．1,2 B．1,4 C．2,+∞ D．6．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数y=lgx2−ax−2a在区间2,+∞A．(1,2) B．(−∞,1] C．(−∞7．（25-26高一下·湖南长沙·月考）设a>0且a≠1，函数f（x）＝−x+112,x≤23+logax,x>2的定义域为RA．2,+∞ B．[4,+∞) C．(1,2（多选）8．（25-26高一上·四川遂宁·期末）下列说法正确的有（

）A．函数y=1B．任取x∈R，都有C．fx=D．在同一坐标系中，函数y=2x与函数y=log2x（多选）9．（2025·辽宁·模拟预测）已知实数a,b满足log12(a−1)>A．3a<3C．12a−1>1（多选）10．（25-26高一上·重庆·月考）“给出下列结论，其中正确的结论有（）A．函数y=14B．已知函数y=loga3−ax(a>0且a≠1)在(0,1)C．函数y=fx的定义域为1,2，则函数y=f2D．若函数fx=lgax2题型五对数函数的比较大小【例题精讲】1．（25-26高一下·河南开封·开学考试）设a=ln0.2,b=2A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b2．（25-26高三上·海南海口·期中）已知a=log35,b=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．a<c<b3．（北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知a=ln2，b=log23A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a4．（江西2026届高三5月月考数学试卷）若实数x、y、z满足1+2x=3y=5z，则A．x>y>z B．y>z>x C．x>z>y D．y>x>z5．（25-26高三下·北京海淀·期末）已知a=log3e,A．c>a>b B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a6．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知函数fx的定义域为R,且f2−x=fx,当x>1时,函数fx单调递增,若a=fA．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b7．（25-26高一下·海南海口·期中）已知a=−log216，b=log24.9，c=20.8A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b（多选）8．（24-25高一上·新疆·月考）下列大小关系正确的是（

）A．logB．logC．logD．log（多选）9．（25-26高一上·山东青岛·期末）若b>a>1，则（

）A．12b>12a B．ab+1>a+b（多选）10．（2026·湖南·三模）若0<a<b<1，则下列结论正确的是（

）A．logab2C．logab<log题型六对数函数的图像及应用对数函数图像的识别及应用方法（1）在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项。（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解。【例题精讲】1．（25-26高二下·江苏常州·期中）函数y=xlnx的图像大致为（A．B．C． D．2．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1A．0<a<1，−1<b<0 B．0<a<1，b<−1C．a>1，−1<b<0 D．a>1，b<−13．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数fx=loga2x−1+1（a>0且a≠1）的图像经过定点Px0,y0A．3+223 B．2+323 C．4．（2026·陕西·模拟预测）已知函数fx=2x+1,x≤0lnx+1,x>0，若fxA．2−32ln32 B．2+35．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知函数fx=2x,x≤0A．函数y=fx的零点为B．若k(x)=gx−t有四个零点，则tC．不等式fx−2>1D．若方程fgx+gx−a=06．（25-26高一下·湖北十堰·月考）已知fx=log2x2−mx+m+3A．若D=R，则B．对任意m∈R，使得C．对任意m∈R，fx的图像恒过一定点D．若fx在−∞,3上单调递减，则7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数fx=2x+2+1，函数gx=3x+1+1，若y=fx与y=mx的图像关于直线A．mt<ntC．mt>nt（多选）8．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数fx=logax+ba>0且a≠1A．1a<1C．ab<b（多选）9．（25-26高三下·重庆·开学考试）若loga3a2−5a+2>2（a>0，且a≠1），则函数A．B．C．D．（多选）10．（25-26高一上·广东深圳·期末）下列结论中，正确的是（

）A．函数y=logax−3+2（a>0且a≠1B．幂函数y=m+2C．不等式log12D．若函数fx=−x课时精练一、单选题1．（25-26高三下·江西赣州·期中）设集合A=xlog3x<1，B=eA．∅ B．e C．π D．e2．（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数y=lgx+1的图像，只需将函数y=lgx的A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度3．（2026·山东菏泽·二模）已知函数fx=log2xA．1 B．2 C．3 D．44．（25-26高二下·云南昭通·期中）设a=ln0.3，b=1，c=3A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b5．（25-26高一上·山东潍坊·月考）函数gx=logA．B．C． D．6．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为R的偶函数fx在−∞,0上单调递减，若a=f−13log32A．c>a>b B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a7．（2026·山西太原·二模）已知函数fx=x2−a2A．1 B．32 C．2 D．8．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数fx是定义在0,+∞上的递增函数，且对∀x∈0,+∞，都有ffx−logax=1，若关于x的方程fA．8 B．4 C．2 D．1二、多选题（多选）9．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知lga>lgbA．2a−b>1 B．πa−b>ea−b（多选）10．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数fx=lnA．gx在22,44上单调递增 B．gxC．gx的图像关于直线x=44对称 D．g（多选）11．（2026·湖南永州·三模）已知函数fx=lnA．fx的图像关于yB．fxC．不等式fx<fD．若fa+fb=0三、填空题12．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·月考）已知f(x)=log2(4x−3)，则函数f13．（25-26高一上·上海·期中）已知f(x)=lna−6x+3是奇函数，则实数14．（2026·江苏·模拟预测）已知A,B两点在函数fx=4xx>0的图像上，C,D两点在函数gx=2xx>0的图像上，且AD平行于x轴，AC和BD平行于四、解答题15．（25-26高一下·新疆和田·月考）计算：(1)2(2)2716．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知函数fx(1)若fx的定义域为R，求实数m(2)当m=3时，若fx在a,+∞上单调递增，求实数(3)设函数gx=2x+12x17．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知函数fx=logax（a>0，且a≠1(1)求函数fx(2)当x∈1,9，求函数gx=f18．（25-26高二下·浙江宁波·期中）设函数fx=log(1)若a=1，求函数fx(2)若函数fx在区间0,1上存在零点，求实数a(3)设gx=fx+x，ℎx=3−x，若对任意的19．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知函数fx=logax(1)求实数m的值；(2)求fx在0,a(3)已知t>0，若对任意x∈0,+∞，任意θ∈0,π2

第12讲对数与对数函数题型一对数式的运算1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】(1)0(2)-7【分析】（1）（2）根据对数的运算法则计算即可.【详解】（1）原式==5故答案为：0（2）原式==2lg5+lg故答案为：-79．【答案】（1）3；（2）7【分析】（1）根据对数运算性质先求出2x（2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果.【详解】（1）∵xlog∴4（2）原式==lg10．【答案】(1)−12(2)19(3)1(4)1(5)7【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得所给各对数式的值.【详解】（1）1=lg5+（2）lg=（3）2=2==（4）log==（5）log===3−2（6）log=log题型二对数型函数的定义域1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】BCD9．【答案】ABD10．【答案】BCD题型三对数型函数的值域1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】AD9．【答案】BD10．【答案】ABD题型四对数函数的单调性及解不等式1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】B7【答案】D8．【答案】AD9．【答案】AC10．【答案】ABD题型五对数函数的比较大小1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】CD9．【答案】BCD10．【答案】ABC题型六对数函数的图像及应用1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】BCD6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】BC9．【答案】BD10．【答案】AD课时精练1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】AB10．【答案】AC11．【答案】ABD12．【答案】3【详解】由题意得4x−3>0，解得x>34，故fx13．【答案】1【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程并检验得到符合条件的值.【详解】不确定0是否在定义域内，故不能令f(0)=0，由0=f(x)+f(−x)=lna−得a−6x+3a+(ax)2−(3a−6)2=14．【答案】log【分析】设Ax1,【详解】解：设Ax1,线段AC的长度为4x1−2x因为BD=12AC，所以：4x又因为AD平行于x轴，所以点A与点D的纵坐标相等，即4x1=2x∴44x即222x∵x1>0∴2x1线段AD长度为x215．【答案】(1)−7(2)100【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可；（2）根据指数幂的运算公式计算化简即可.【详解】（1）由题意得2==log（2）由题意得2===5【答案】(1)−22,22(2)2,+【分析】（1）应用对数函数定义域结合二次函数恒成立计算求解参数；（2）应用对数复合函数单调性列式计算求解参数；（3）先应用指数函数单调性把恒成立及存在问题转化为最值问题，方法一：分类讨论对称轴求解参数范围；方法二：先参数分离，再应用函数单调性结合基本不等式计算求解最值得出参数范围.【详解】（1）因为函数fx的定义域为R所以∀x∈R,x2−mx+2>0所以实数m的取值范围为−22（2）当m=3时，fx令ux=x2−3x+2>0又ux=x2−3x+2=x−322所以fx在2,+因为题中fx在a,+∞上单调递增，所以实数a的取值范围为（3）因为∀x1∈1,2,∃因为gx=2所以g(x)即∀x1∈方法一：设t=x2−mx+2,x∈1,2，其当m2≤1时，只需12当1<m2≤2时，只需1当m2≥2时，只需综上，得−1≤m<22，即实数m的取值范围为−1,2方法二：∀x∈1,2,x所以m≥x记μx=x2−6xx∈1,2，则∀x∈1,2,x所以m<x记φx=x2+2xx∈1,2，则综上，−1≤m<22，即实数m的取值范围为−1,217．【答案】(1)fx=log3