第13讲指数函数与对数函数（知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练）（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

第13讲指数函数与对数函数（知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值指数对数大小比较、对数运算性质loga⁡MN=单选、填空题5分对数函数单调性、对数不等式求解log单选、多选题5分/6分复合指数函数y=2填空题5分指对幂综合比大小：a=单选题5分对数换底公式loga单选、解答题5分/10分指数型偶函数判定f(x)=单选题5分复合对数函数y=log单选题5分指数不等式求解2x+1单选题5分【知识点01】根式(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a(3)(na)n＝a当n为奇数时,nan当n为偶数时,nan＝|【例1】化简下列根式：（1）(3−5)【知识点02】分数指数幂正数的正分数指数幂：amn＝nam(a>0,m,n正数的负分数指数幂：a−mn＝1amn＝1na0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.【例2】将下列根式化为分数指数幂：（1）5a3【知识点03】指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R).【例3】化简a【知识点04】对数的概念一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数,记作lgN.

以e为底的对数叫做自然对数,记作lnN.

【例4】将指数式化为对数式：（1）34=81【知识点05】对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1,alogaN＝N(a>0,且(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)对数换底公式：logab＝logcblogca(a>0,且a≠1；【例5】计算log【知识点06】指数函数及其性质(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0,＋∞)性质过定点(0,1),即x＝0时,y＝1当x>0时,y>1；当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1；当x>0时,0<y<1增函数减函数【例6】比较大小：1.80.5与【知识点07】对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0,＋∞)值域R性质过定点(1,0),即x＝1时,y＝0当x>1时,y>0；当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0；当0<x<1时,y>0增函数减函数【例7】求y=log【知识点08】反函数指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.【例8】已知指数函数y=3x过点【题型一】根式与指数幂化简求值【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．2 C． D．1【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知实数且，，函数，若，则（

）A． B．2 C． D．3【变式2】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______．【变式3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示）【题型二】对数式化简与求值【例1】（2026·河南·模拟预测）（

）A．1 B． C． D．2【变式1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________．【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______．【题型三】指数、对数函数定义域求解【例3】（2025·黑龙江·二模）已知命题；命题，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【变式1】（多选）（2024·广东·模拟预测）已知函数，则（

）A．当时，的定义域为RB．一定存在最小值C．的图象关于直线对称D．当时，的值域为R【变式2】（2026·贵州毕节·一模）函数的定义域为__________.【变式3】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________.【题型四】指数函数、对数函数的值域【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（

）

A． B．C． D．【变式1】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则______．【变式3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称.(1)求的解析式；(2)证明：.【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式【例5】（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【变式1】（多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是__________.【变式3】（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）.(1)求a的值；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【题型六】比较指数幂、对数式的大小【例6】（2026·云南·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【变式1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值：______．【题型七】反函数问题【例7】（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（

）A． B． C． D．9【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（

）A． B．C． D．【变式2】（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（

）A． B．C． D．【变式3】（2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为________.【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧技巧原理：所有根式、负指数、分数指数统一化为幂形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步出错。核心公式：a【例1】计算log【解题大招02】指对函数定义域秒杀技巧技巧口诀：对数真数必大于0，底数大于0且不为1，分母不为0，根式非负，多重限制联立求解。【例2】求f(x)=1log2【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法技巧原理：设复合函数y=f(g(x))，内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。单层单调性：a>1，y=ax、y=loga【例3】求y=log12【解题大招04】指对幂数值大小比较解题套路：找中间量0、1分层，先分层再精细对比。1.指数：a>1底数大则值大；0<a<1底数大则值小；2.对数：loga【例4】比较a=3【解题大招05】指数、对数不等式通用解法核心规则：同底函数单调性脱壳，a>1不等号不变，0<a<1不等号反向，对数必须保留真数大于0。【例5】解不等式2【解题大招06】反函数性质秒杀技巧核心结论：y=ax与y=loga⁡x互为反函数，图象关于y=x【例6】已知y=2x过点【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（

）A． B． C． D．2．（2026·山西·二模）集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2026·河北保定·三模）已知集合，，则的非空真子集的个数为（

）A．0 B．2 C．4 D．6二、多选题4．（2025·河北保定·二模）若函数，则（

）A．为减函数 B．C．的值域为 D．三、填空题5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________．6．（2026·云南·模拟预测）已知，则_______．四、解答题7．（2024·山东·模拟预测）计算：(1)；(2)8．（2024·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，．(1)求，的值(2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．二、多选题3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（

）A．是奇函数 B．C．在区间上单调递增 D．三、填空题4．（2026·江苏·模拟预测）已知两点在函数的图象上，两点在函数的图象上，且平行于轴，和平行于轴.若线段的长度是线段长度的12倍，则线段长度为__________.四、解答题5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数．(1)若是偶函数，求实数的值；(2)解不等式．6．（2025·四川·模拟预测）已知函数．(1)若函数有最大值为1，求的值；(2)对于，使得，求实数的取值范围．【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（

）2．（2026·陕西渭南·三模）若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不