第16讲导数概念与求导公式、法则（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第16讲导数概念与求导公式、法则（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值导数四则运算、幂函数求导，考查(x填空题5分综合考查四则运算法则、复合函数求导yx解答题12分导数定义辨析、基础求导公式判断，考查(ln多选题6分乘法求导法则应用[f(x)g(x)]填空题5分乘法求导法则应用[f(x)g(x)]解答题12分平均变化率公式Δy单选题5分除法求导法则(f(x)多选题6分【知识点01】导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'|xf'(x0)＝limΔ(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f'(x)＝y'＝limΔ【例1】求函数f(x)=2x2在区间解析：Δy【知识点02】基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f'(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f'(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf'(x)＝cosxf(x)＝cosxf'(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f'(x)＝axlnaf(x)＝exf'(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f'(x)＝1f(x)＝lnxf'(x)＝1【例2】求函数f(x)=2x解析：f(x)=2f'【知识点03】导数的运算法则若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)；[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)；f(x)g(x)'＝f'[cf(x)]'＝cf'(x).【例3】求函数y=(x+1)sin解析：y【知识点04】复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【例4】求函数y=ln解析：y'【题型一】瞬时变化率与导数的概念【例1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案.【详解】由题可得瞬时速度,当位移时，可得，解得：,所以,所以,则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为，故选：A【变式1】（多选）（2025·广东湛江·一模）设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（

）．A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用已知得出的图象关于对称，又得出是偶函数，从而它的周期性，然后通过的值计算出相应的值，判断各选项．【详解】由得．又，所以，即，所以关于对称，．又因为是奇函数，故是偶函数，所以满足条件．对于选项A，因为，所以，所以，选项A正确；，选项B正确；因为，所以，所以，选项C正确；对于选项D，，但不一定为0，选项D错误．故选：ABC．【变式2】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（

）A． B．C．是周期为3的函数 D．【答案】ACD【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.【详解】对于A：令，得，因为，所以，A正确；对于B：令，得①，所以，因为是奇函数，，所以，即是偶函数，所以②，由①②，得，即，所以，所以，是周期为3的函数，所以，所以B错误，C正确；对于D：因为，在①中令得，，所以，，所以D正确．故选：ACD．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求_____；________.【答案】【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①；②，因为，，可得，则；又因为，令，可得，所以.故答案为：；.【题型二】基本初等函数的导数公式【例1】（2025·云南·模拟预测）已知斜率为2的直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过导数的对称轴求得曲线的对称中心，由题意求得点坐标，即可求得直线方程.【详解】由得，导数关于对称，令，此时，由三次函数的对称性可知曲线的对称中心为，由知，点、关于点对称，即，故直线过点，斜率为2，其方程为，故选：B.【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位）注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即．A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95【答案】C【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解．【详解】在处n阶可导，求出，令，故选：C.【变式2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）设，，.若与分别是与的导函数，则（

）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】ACD【分析】根据余弦函数的特殊值求角判断A；应用导函数结合复合函数计算判断B；应用等比数列求和公式计算判断C，D.【详解】对于A，由可得，，即，所以，所以，，故A正确；对于B，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故B错误；对于C，由于，故C正确；对于D，由于，取，则，从而，当时，，故D正确.故选：ACD.【变式3】已知函数，设，则__________．【答案】【分析】先令，可求出，然后对等式两边同时求导，并赋值即可.【详解】由，取，得到；等式两边同时求导，得到，取，得到.于是.故答案为：【题型三】导数的运算法则【例3】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________【答案】【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.【详解】由题意有，所以，因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以.故答案为：.【变式1】（2026·河北·模拟预测）已知函数则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】由求导法则计算可得答案.【详解】求导得：令，得：，解得：，因此，令，得：.故选：A【变式2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解.【详解】设，对于A，，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，若，则，c是常数，的定义域为，且，所以也是偶函数，故A正确；对于B，若，则，c是常数，所以不成立，故B错误；对于C，是非奇非偶函数，故C错误；对于D，若，则，c是常数，所以不成立，故D错误.故选：A.【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则___________．【答案】【分析】根据导函数的奇偶性，代入求值即可.【详解】由，得，又，所以为奇函数，所以.故答案为：.【题型四】简单复合函数的导数【例4】（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得，据此求解即可.【详解】因为定义在上的奇函数，所以，两边取导数可得，即，所以，因为时，，所以时，，所以.【变式1】（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（

）A．关于对称 B．关于对称C．关于对称 D．关于对称【答案】B【分析】由题意得，求导得，即可求解.【详解】因为是奇函数，所以，即，对其求导，则有，所以关于直线对称.故选：B【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：（1）对于，若，则函数周期为；（2）对于，若，则函数关于直线对称；（3）对于，若，则函数关于点对称.【变式2】（2025·河北·模拟预测）函数的极小值点为__________.【答案】/【分析】先将函数进行变形得到，再利用复合函数的求导法则进行求导，然后判断函数的单调性即可.【详解】因，则，令，则，则则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的极小值点为.故答案为：【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，及其导函数的定义域均为，若，，且，则______．【答案】5【分析】根据给定条件，变形并求导，再探讨函数的特征，进而赋值求解.【详解】函数的定义域均，由，得，求导得，则，又，因此；由，得，由，得，因此，解得，所以.故答案为：5【题型五】导数的加减法【例5】（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】逐一判断各选项中导函数的奇偶性即可.【详解】对于选项A，为奇函数，A错误；对于选项B，为非奇非偶函数，B错误；对于选项C，，且，，，则不是偶函数，C错误；对于选项D，为偶函数，D正确.故选：D.【变式1】已知函数，若，则（

）A．36 B．12 C．4 D．2【答案】C【分析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.【详解】解：根据题意，，则，则，若，则，则有，即，故选：C.【变式2】已知函数，则函数___________.【答案】【分析】由导数的运算法则与赋值法求解【详解】由题意得，且，令，得，故故答案为：【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)当时，若直线与曲线相切，求；(2)若直线与曲线恰有两个公共点，求．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可；（2）由已知问题等价于方程，即方程有两个不等实根，显然是方程的一个根，所以当时，方程可化为（*），它还有不等于的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题．【详解】（1）当时，，，因为直线与曲线相切，设切点为，则切线斜率，可得，解得或，所以或．（2）因为直线与曲线恰有两个公共点，所以方程，即方程有两个不等实根，因为是方程的一个根；当时，方程可化为（*），依题意，方程（*）有不等于的唯一根，因为，若，则（*）即，，满足条件；若，则由，解得：．综上所述，或．【题型六】导数的乘除法【例6】（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解.【详解】由函数，可得，令，即，可得或，因为，可得，当时，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增，所以在上递增，在上递减，在上递增，在上递增，在上递减，在上递增，其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点，所以在区间的极值点为，共有4个.故选：A.【变式1】（多选）（2024·黑龙江大庆·一模）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用辅助角公式将函数化简，再由诱导公式判断A、B；求出函数的导函数，即可判断C；根据正弦函数的性质判断D.【详解】因为，则，故A错误；，故B正确；又，当，则，所以，所以，即，故C正确；当，则，所以，所以，故不使得，故D错误.故选：BC【变式2】已知，则____________.【答案】24【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解.【详解】令，则，所以，所以.故答案为：24.【变式3】求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用导数的求导法则以及基本初等函数的导数公式逐个求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以；（2）因为，所以，所以；（3）因为，所以，所以.【题型七】求某点处的导数值【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解.【详解】函数，则，令，则，则；【变式1】（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B．1C．ln3 D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出函数及导数，进而求出导数值.【详解】由函数与函数的图象关于直线对称，得，求导得，所以.故选：D【变式2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则______．【答案】0【分析】借助导数运算法则计算即可得解.【详解】，则，故.【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的值；(2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，代入即可求解，（2）求导，将问题转化为在上仅有一个不为1的，实数根构造函数由导数求解函数的单调性，进而求解最值得解.【详解】（1），，故（2）令，则在上有且仅有两个实数根，由于，所以在上仅有一个实数根，则在上仅有一个不为1的实数根，令则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，且而故【解题大招01】平均变化率快速求解技巧方法核心：无需化简原函数，直接套固定公式，代入区间端点函数值即可，是导数最基础秒杀方法。万能公式Δ解题步骤：求端点函数值→作差→作商，三步直接出结果。【例1】求函数f(x)=3x2−2在区间[2,4]解析：f(4)=3×16−2=46,f(2)=3×4−2=10Δ【解题大招02】导数定义极限式解题技巧方法核心：抓住导数定义式结构，极限增量无限趋近于0，统一变形为标准定义式求解，无需复杂极限运算。标准定义式f【例2】利用导数定义求f(x)=3x2在解析：f【解题大招03】基础初等函数求导秒杀技巧方法核心：熟记8大基础求导公式，幂函数降次、对数取倒数、指数不变、正余互换符号，直接口算求导。高频速记公式((【例3】求函数y=x解析：y【解题大招04】四则运算求导避错技巧方法核心：和差直接分项求导；乘法“前导后不导+前不导后导”；除法“上导下不导减上不导下导”，顺序绝对不能颠倒。核心公式乘法：[f(x)g(x)除法：(【例4】求y=(x2+1)解析：y【解题大招05】复合函数逐层求导技巧方法核心：由外到内、逐层求导、层层相乘，绝不遗漏内层导数，多层复合重复使用法则。核心法则y【例5】求y=ln解析：y【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2024·湖北·一模）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解.【详解】因为，所以，则，得，故B错误；所以，，则，，，故AD错误，C正确.故选：C.2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（

）A．8m/s B．7m/s C．6m/s D．5m/s【答案】B【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度.【详解】，则质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选：B3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意结合奇函数的定义可得，求导代入运算求解即可.【详解】因为是奇函数，则，可得，即，则，，可得，解得.故选：B.二、多选题4．（2024·海南·模拟预测）已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】求导，由题意得到，再结合放缩，逐项判断.【详解】解：，由题意知.对于A，因为，，所以，所以，故A正确；对于B，同理，所以，故B错误；对于C，若，，，则，故C错误；对于D，由，得，由，得，所以，故D正确.故选：AD三、填空题5．（2024·江苏南通·二模）已知，当时，_________.【答案】1【分析】根据导数的定义即可直接求解.【详解】由导数的定义知，，由，得，所以.故答案为：16．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，则______.【答案】【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得.【详解】，则.故答案为：.四、解答题7．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解；（2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可.【详解】（1）当时，，因为正项数列，所以，由，得，两式相减得，即，因为，所以，故是一个以1为公差的等差数列，即．（2）由题意，则，所以，即．8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.【详解】（1）由题意证明如下，，在数列中，，，∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列.（2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1，∴，即，在中，，∴，当且时，∴，∴∴.【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题干条件先求出导函数，再求出未知参数，最后代入计算函数值.【详解】由题意得，因为为极值点，所以，即，解得，所以，此时是函数的极小值点，符合题意，因此.2．（2025·江苏盐城·三模）若，则（

）A．0 B．2 C．－2 D．－4【答案】C【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解.【详解】因为，所以，所以，则.故选：C.3．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（

）A．随着时间的增加，臭氧含量在增加B．当从1变化到2时，臭氧含量减少C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为【答案】D【详解】臭氧含量与时间之间满足关系式为，因为是臭氧的初始含量，所以，所以是减函数，所以A错误；当从1变化到2时，臭氧含量减少，所以B错误；当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为，所以C错误；对于，，所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为，所以D正确.二、多选题4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求导法则对等式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案.【详解】令，代入到中，得：，即：，令，得，而是定义域为的奇函数，所以，所以，故A正确；假设成立，又因为，所以，所以为偶函数，又已知是定义域为的奇函数，所以对，，与，使得矛盾，故B错误；，两边求导数，得，即，故C正确；因为是定义域为的奇函数，所以，两边求导得：，又，所以，，在中令，得，故D正确．三、填空题5．（2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______．【答案】【分析】对条件等式左右求导可判断出的对称中心，然后根据对称性可计算出结果.【详解】因为，所以，所以的对称中心为，又因为，所以，所以，故答案为：.四、解答题6．（2024·四川德阳·模拟预测）记数列的前项和为.(1)设，若，求的通项公式；(2)记，设，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，的关系即可求解，（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；【详解】（1）当时，，整理得，当时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以．（2）当时，，所以，所以，令，其前项和为，∴①∴②得：.∴.令，其前项和易知为：，所以【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（

）A．−10 B．0 C．10 D．20【答案】B【分析】利用求导思想，结合赋值法即可求解.【详解】对原等式两边求导得：，再令代入上式：，又中一次项的系数为：，所以.2．（2023·安徽亳州·模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.则关于有以下结论中不正确的是（

）A．B．C．存在使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形D．设函数，则【答案】C【分析】结合定义，根据选项，讨论的情况，即可判断选项