第20讲 导数中的同构（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

函数中的构造问题TOC\o"1-2"\h\u题型一公式同构 5题型二轮换式同构 7题型三指对同构 8【基础回顾】一、构造函数的基础理论1.利用导数公式构造(1)乘积构造：．若出现，可构造．(2)商的构造：．若出现，可构造．(3)复合函数求导：若，，则．如可令，构造关于u的函数．(4).常见函数的导数特征：常与其他函数乘积构造（如），简化导数形式．：若出现，可构造（需注意）．：用于幂函数与其他函数的组合构造（如）．2.结构同构导数的同构其本质就是构造函数,构造形式大致可分为两类：（1）双变量轮换式构造当,形如可等价变换为：构造新函数,研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单,对不等式移项或变形即可得到,难度不大.（2）指对混合构造解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂,则将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式:=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③;=4\*GB3④;=5\*GB3⑤.方法1：直接变形指对跨阶时使用,何谓指对跨阶？比如在中,指数增长最快属于第一阶,其次属于第二阶,对数增长最慢属于第三阶.（1）积型:（同左）;（同右）;（取对数）.说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知.（2）商型:（同左）;（同右）;（取对数）.（3）和差型:（同左）;（同右）.方法2：先凑再变形若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有:=1\*GB3①;可构造,等价于.=2\*GB3②;可构造,等价于.=3\*GB3③可构造,等价于.④可构造,等价于.⑤可构造,等价于.二．切线放缩基础知识点1:重要的切线不等式由图像可以分析得到:①（当时,等号成立）②（当时,等号成立）③（当时,等号成立）④（当时,等号成立）说明:这4个不等式为切线放缩中较为重要的不等式,尽量掌握.知识点2:其他放缩不等式（作为了解即可）对数放缩放缩为一次函数放缩为双撇函数放缩为二次函数放缩为类反比例函数指数放缩放缩成一次函数放缩成类反比例函数放缩成二次函数三角函数放缩以直线为切线的函数万能放缩：当0<x<1时，x1+x说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可,不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型,也基本都会在前一问中给提示,所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法.题型一公式同构分为指数函数的构造、幂函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造。【例题精讲】1．已知函数f（x）的定义域为（−π2，π2），其导函数是f′（x），且满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（πA．（π3，π2） B．（−π2，−π3） C．（−π2，2．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则（）A．f（1）＞f（2） B．f（1）＞2f（2） C．f（2）＞﹣2f（﹣1） D．f（﹣2）＞﹣2f（1）3．已知定义在(0，π2)上的可导函数f（x）满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0恒成立，且f(π3)=3A．(0，π3) B．(π3，4．设f（x）为定义在R上的可导函数，e为自然对数的底数．若f′(x)lnx＞f(x)A．f（2）ln2＜f（e） B．f（2）＞f（e）ln2 C．f（2）ln2＞f（e） D．f（2）＜f（e）ln25．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）＝0，当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（2，+∞）6．定义在R上的奇函数f（x），满足f（2）＝0，且当x＜0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）＝lg|x﹣1|﹣xf（x）的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知f（x）是定义在（﹣5，0）∪（0，5）的偶函数，当x＞0时，xf′（x）﹣2f（x）＜0，且f（2）＝0，则（x﹣1）f（x）＞0的解集为（）A．（﹣5，﹣2）∪（1，2） B．（﹣2，﹣1）∪（2，5） C．（﹣5，﹣2）∪（2，5） D．（﹣2，0）∪（0，2）8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（）A．f（4）＞ef（3） B．f（4）＞e2f（2） C．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．ef（﹣4）＞f（﹣3）9．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）﹣f'（x）＞2，f（0）＝2026，则不等式f（x）＞2024•ex+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（2026，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2026，+∞）10．f（x）是定义在R上的可导函数，且满足xf′（x）+f（x）＜0，对任意实数a，b，若a＜b，则必有（）A．af（a）＜bf（b） B．bf（a）＜af（b） C．af（b）＜bf（a） D．af（a）＞bf（b）题型二轮换式同构同构原则：物以类聚。【例题精讲】1．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．(−∞，e2] C．（﹣∞，e]2．已知函数f（x）=exx−ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式A．（﹣∞，e212] B．（﹣∞，eC．．（−∞，e2） D．．（﹣∞，3．若对0＜x1＜x2＜a都有ln(x2x1)x1x2A．1 B．2 C．e D．2e4．已知a=ln66，b=1e，c=2ln39，则A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a5．已知a＝ln2，b=2ln33，A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a6．已知实数x1，x2满足x1exA．e B．4e﹣1 C．4e﹣2 D．4e27．已知正数x，y，z满足9logA．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜x＜z D．x＜z＜y8．已知函数f（x）＝x3+mx2，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有f(x1)−f(A．(−6，6)C．[−23，239．若对于0＜x1＜x2＜a，都有x2lnx1﹣x1lnx2≤x1﹣x2成立，则a的最大值为（）A．12 B．1 C．e D．210．已知函数f（x）=12x2−ax+lnx，a∈R．若f（x）有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＜λ（x1+A．[−32，+∞) B．[32，+∞)题型三指对同构同构原则：指对分离，物以类聚，缺啥补啥，多啥除啥。【例题精讲】1．已知函数f(x)=aex−ln(x−1a)+1(a＞0)，若不等式A．[1e2，+∞) B．[1e2．已知不等式ekx+1＞(x+1)lnxkx对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数A．（﹣∞，0）∪（1e，+∞） B．（1eC．（﹣∞，0）∪（e，+∞） D．（e，+∞）3．已知a＜0，若x＞1时，e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa恒成立，则a的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2e D．﹣e4．若ex﹣a≥lnx+a对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(−∞，1e) B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] 5．已知函数f（x）＝e（a+1）x+ax，若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥lnx恒成立，则实数a的最小值为（）A．1e2−1 B．1e−1 C．e﹣16．若关于x的不等式lnx+k≤eex﹣k﹣1恒成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．(−∞，1e] 7．设实数λ＞0，对任意的x＞1，不等式λeλx≥lnx恒成立，则λ的取值范围为．8．若不等式ex+a≥lnx﹣a恒成立，则实数a的取值范围是．9．已知方程mxemx﹣xlnx＝0（m≥0）有两个解，则实数m的取值范围为．10．已知不等式aex≥lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是