《高等数学（第三版）》第四章习题及自测题参考答案

第四章习题及自测题参考答案习题4.1.1一、填空题1fa=f6π2至少；平行于x轴7π3f8174平行于弦AB925110e二、计算题11.解因为fx在区间1，4上连续，在区间(1，4)内可导，所以由拉格朗日中值定理得，存在ξ∈112.证明：设Fx=x因为fx在区间0，2上连续，在区间(0，2)内可导，所以Fx在区间0，2上连续，在区间(0，2)内可导，且F0=0，F2=4f2=13.证明：设Ft=ln1+显然，Ft在区间0，x上连续，在区间(0，x)内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点ξ∈0又因为ξ∈0，x，所以x14.证明：设Fx=f因为fx在区间0，2上连续，在区间(0，2)内可导，所以Fx在区间0，2上连续，在区间(0，2)内可导，且F0=f0-0=0，F2=f习题4.2.1一、填空题126021723182419553101二、计算题11.解(1)limx(2)lim(3)lim(4)lim12.解limx→a13.解limx→114.解limx→015.解lim=lim习题4.2.2一、选择题12345678910CCDABBDADA二、计算题11.解lim=lim12.解limx→0+13.解limx→014.解limx→015.解limx→0+由于limx→所以limx→0+习题4.3.1一、填空题1>0；单调增加；<0；单调减少6在0,+∞上单调增加2f7x=3驻点8x=34先减后增90,+∞5单调减少100,+∞二、计算题11.解(1)该函数的定义域为0,+∞.f令f'x=0，解得x当x∈0,1时，f'x<0，所以，函数fx在0,1上单调递减，在[1,+∞)(2)该函数的定义域为(-∞,0)∪0,+∞f令f'x=0，解得x当x∈-∞,-3∪(x∈-3,0所以，函数fx在-3,0∪(0,12.解该函数的定义域为(-∞,+∞f当x=0时，函数的导数不存在，在区间-∞,0上f'x<0；在区间(0,所以，函数fx在-∞,0上单调递减，在上(0,+∞13.解该函数的定义域为(-∞,+∞f令f'x=0，解得x当x∈-∞,0时f'x>0，x∈(0,43所以，在-∞,0、43,+∞上单调递增;在0,,14.解f令f'x由于f-3=-3+210，故函数fx在-3,0上的最大值为f(-83)=10习题4.3.2一、选择题12345678910CCDDABCDDC二、计算题11.解该函数的定义域为(-∞,+∞f'令f'x=0，解得x当x∈-∞,-1时f'x>0，x∈(-1,1)所以，函数fx在-∞,-1、1,+∞上单调递增12.解该函数的定义域为(-∞,+∞f令f'x=0，解得x当x∈-∞,-1时f'x>0，x∈(-1,1)所以，函数fx在x=-1处取得极大值f-1=23，在x=13.解该函数的定义域为(-∞,+∞f令f'x=0，解得x当x∈-∞,-1时f'x<0，x∈(-1,1)所以，函数fx在x=-1处取得极小值f-1=-1，在x=114.解f令f'x=0，解得x由于f-1=-1-3=-4，f0=0故函数fx在-1，4上的最大值为f三、证明题15.证明：设Fx=e2x-2ex，则F'x=2e2x-2e=2e2x-e.当x>12时，F习题4.4.1一、填空题1>0，凹的，<0，凸的6凸的2拐点71,+∞3凸的8-∞,04凹的9(0,5)5凹的10(0,1)二、计算题11.解(1)该函数的定义域为(-∞,+∞).y'=在(-∞,+∞)内，恒有y''>0，故函数y定义域内始终是凹(2)该函数的定义域为(-∞,1y'=在(-∞,13)内，恒有y''<0(3)该函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).y'=在(-∞,-1)内，恒有y''>0，在(-1,+∞)内，恒有y''<0故函数y在(-∞,-1)内是凹的，在12.解该函数的定义域为(-∞,+∞).y'=f''x的定义域为在(-∞,-1)内，恒有y''>0，在(-1,+∞)内，恒有y''<0故函数y在(-∞,-1)内是凹的，在(-1,+∞)内是凸的13.解该函数的定义域为(-∞,+∞).y'=12令f''x=0，解得x在(-∞,0)内，恒有y''>0，在(0,23)内，恒有y''<0，在(23,+∞)内，恒有y''>0.14.解该函数的定义域为(-∞,+∞).y'=3ax点1,0是曲线y的拐点，则由y又f1=a-b+6=0，解得15.解该函数的定义域为(-∞,+∞).y'=3令f'x=0，解得x1=-1，x2=当x∈-∞,-1时f'x>0，x∈(-1,13所以，函数fx在x=-1处取得极大值f-1=0，在x=1点-13习题4.4.2一、选择题12345678910BBDDDCABBC二、计算题11.解(1)该函数的定义域为(0,+∞).y'=2x+令f''x=0当x∈0,1时f'x<0，故函数y在(1,+∞)内是凹的，在0,1内(2)该函数的定义域为(-∞,+∞).y'=f''x的定义域为当x∈(-∞,3)时f'x<0，故函数y在(3,+∞)内是凹的，在(-∞,3)(3)该函数的定义域为(-∞,-1y'=在(-∞,-12)内，恒有y''>0，在(-12,+∞)内，恒有y''<0故12.解该函数的定义域为(-∞,+∞).y'=-2xe令f''x=0，解得x在(-∞,-22)内，恒有y''<0，在(-22,22)内，恒有y''>0，在(2213.解该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).y'=2x+令f''x=0在(-∞,0)内y''>0，在(0,1)内y''<0，在(1,+∞)内y''>0.故函数y在1,+自测题一、填空题1165237x=-3-∞,-38单调减少4-190,50,7102一、选择题11121314151617181920ABDCDABBCDDA二、计算题21.解limx→222.解limx→023.解limx→又limx→所以limx→24.解该函数的定义域为(-∞,+∞f令f'x=0，解得x当x∈-∞,0时f'x>0，x∈(0,4)所以，函数fx在-∞,0和(4,+∞)上单调递增，在(0,4)上单调