8.1.2 偏导数的概念及计算

多元函数微积分§8.1.2偏导数的概念及计算教学目的：1.理解偏导数的定义，记号，几何意义2.会求多元函数的偏倒数3.会求多阶偏倒数教学重点：1.偏导数的定义2.判断二元函数偏导数的存在性3.计算二元、多元函数的偏导数教学难点：1.判断二元函数偏导数的存在性2.计算多元函数的偏导数。教学内容：一、导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数为例，如果只有自变量变化，而自变量固定（即看作常量），这时它就是的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，即有如下定义：1、定义设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有关于的偏增量，记为，即 如果 存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数，记作 ,,或 即. (1)类似地，函数在点处对的偏导数定义为 (2)记作 ,,或偏导函数:如果函数在开区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作,,或 偏导函数的定义式.类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记作,,或 偏导函数的定义式注：偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数在点处对的偏导数定义为其中是函数的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。2、二元函数在点的偏导数有下述几何意义。图8-4图8-4设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率（见图8-4）。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。3、偏导数与连续性:对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如在点有,但函数在点并不连续.提示当点P(x,y)沿x轴趋于点(00)时有当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(00)时有.因此,不存在故函数在处不连续.二、偏导数的计算由偏导数的概念可知，在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数。至于实际求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求时，只要把暂时看作常量而对求导数；求时，则只要把暂时看作常量而对求导数。例1求在点(1,2)处的偏导数。解把y看作常量，得把x看作常量，得将(1,2)代入上面的结果，就得，。例2求的偏导数解:例3设求证：证因为，，.所以例4求的偏导数。解:例5已知理想气体的状态方程(为常量)，求证： 证因为 ,;, ,所以说明的问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.三、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数,,那么在内都是的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数。,,,.其中,称为混合偏导数.,,,.同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6设，求、、、及。解=,=；=, =； =,=； =由例6观察到的问题:这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。例7验证函数满足方程.证因为,所以,,,.因此.例8证明函数满足方程,其中.证:,.由于函数关于自变量的对称性，所以,.因此