高等基础数学1.1 函数的概念

高等数学

第一章

函数

函数的概念

目录Contents函数的概念1函数定义域的求法2相同函数3函数的表示方法4分段函数5函数的概念1在初中我们学过哪几类函数？1、一次函数：2、二次函数：3、反比例函数：特征：有两个变量x，y;y随着x的变化而变化回顾：函数的概念

函数的三要素：定义域、对应关系、值域注：非空性：函数的定义域实数集D必须是一个非空的集合.任意性：定义域中的每一个元素都必须有对应的函数值.唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.函数的特性例1

结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.ABf1224367

ABf122436

4ABf12243

BAf1224368

一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域

练习一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，

且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：

求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义描述这个函数.

解：函数定义域的求法2（1）如果f(x)是分式，要求分母不等于零；（2）如果f(x)是二次根式，要求根号内的式子大于或等于零；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）.定义域：使表达式或实际问题有意义的自变量集合.（5）使实际问题有意义。（3）如果f(x)是对数形式，要求真数位置大于零；例2解：例3解：抽象函数求定义域例4解：已知函数

的定义域是,求

的定义域.相同函数3

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.

两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.

例5解：例6解：

函数的表示方法4函数的表示方法【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.用什么方法来表示函数呢？用列表法，不用计算，看表就知道函数值用解析法，便于研究函数性质用图像法，容易表示出函数的变化情况函数的表示方法:解析法、图像法和表格法.常用【1】解析法必须标明函数的定义域.【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”.分段函数5分段函数【题】画出函数y=|x|的图像.【解】由绝对值的概念，有y=-x，x＜0，x，x≥0.

像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.

在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.例7求：

设(1)，

，(2)的定义域(3)作的图像(4)解：常见的分段函数（1）符号函数：（2）含绝对值符号的函数：

（3）取整函数：

分段函数的实际应用练习某市出租车收费标准:行程不超过3km时,收费7元;行程超过3km,但不超过10km时,在收费7元基础上,超过3km的部分每公里收费1元;超过10km时,超过部分除每公里收费1元外,每公里再加收50%的回程空驶费.(1)求车费y(元)与路程x(公里)之间的函数;(2)作函数图像;(3)乘客乘车20km,需付费多少元?(4)某乘客下车时付费23元,乘车路程是多少公里?