《高等数学（第三版）》教案 第5章 不定积分

第五章不定积分§5.1不定积分的概念教学目的：1.理解原函数的概念2.掌握不定积分的概念3.掌握不定积分的性质4.熟练掌握基本积分表5.熟练掌握直接积分法教学重点：1.不定积分的概念2.不定积分的性质3.直接积分法教学难点：1.利用直接积分法求不定积分教学内容：5.1不定积分的概念与性质5.1.1原函数与不定积分定义5.1：设是定义在区间上的函数，如果存在函数，使得对任一，都有，则称为在区间上的一个原函数.一般地，如果与都为在区间上的原函数，则，，.因此，同一个函数的原函数只差一个常数.定义5.2：的所以原函数的全体称为的不定积分，记为.其中“”称为积分号，称为积分变量，为被积函数，称为被积表达式.由定义5.2可知，如果是的一个原函数，则（为任意常数）.例：，所以练习：求下列不定积分：（1）______________.【】（2）________________.【】（3）_________________.【】5.1.2不定积分的几何意义若把函数的一个原函数的图像叫作函数的积分曲线，则不定积分咋几何上表示由积分曲线沿轴上下平移而得到的无数多条曲线（称为积分曲线族）.且积分曲线族上横坐标相同的点处的切线斜率相等，即切线平行（如图5-2所示）.5.1.3不定积分的性质性质1：，，或性质2：性质3：性质4：（为常数，）5.1.4基本积分公式基本积分公式导数公式1.（为常数），（为常数）2.（）3.4.（）5.6.7.8.9.10.11.5.1.5简单的不定积分计算例：求下列不定积分：（2）解（1）（2）练习：求下列不定积分________________.【】______________________.【】（3）________________________.【】第五章不定积分§5.2.1第一类换元积分法教学目的：1.熟练掌握第一换元法2.理解第一换元法的注意事项3.掌握第一换元积分法解析技巧教学重点：1.第一换元法2.第一换元积分法解析技巧教学难点：1.第一换元积分法解析技巧教学内容：5.2.1第一类换元积分法（凑微分法）定理5.1：设具有原函数，可导，则有换元公式：称为第一类换元积分公式.思路：要求，把分解成的函数与导数的乘积即的形式，便凑成。注：由，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。例：求不定积分.解：.例：求不定积分.解：.例：求不定积分.解：第一类换元积分法的常见积分类型：；.，；.（3），.（4），（5），.（6），.（7）.（8）.练习：求下列不定积分：_____________________.【】（2）______________________.【】（3）______________.【】】第五章不定积分§5.2.2第二类换元积分法教学目的：1.掌握第二类换元积分法2.掌握三角函数换元的思想教学重点：1.掌握第二类换元积分法2.掌握三角函数换元的思想教学难点：1.掌握三角函数换元的思想教学内容：5.2.2第二类换元积分法定理5.2：设是单调的可导函数，且，则称为第二类换元积分公式.例：求.解：令，则，代入原积分，得例：求不定积分解：令，则，于是.练习：求下列不定积分：（1）________________.【】（2）____________________.【】利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分。（思想：去根号）例解：令则是单调的、可导的函数，并且内不等于0，（取到整个值域，保证单调即一一对应，导数不为0，故不取等号。因不定积分有意义的地方就能求，以后不必细抠的范围）因，故故sin2t=2·所以原式注：1）、一般：若被积函数中含有，则令（因）令。或令，。2）、做三角函数代换时，最后变量还原即回代时可利用辅助三角形示意图，如图：显然，。例解：令，，则原式=由基本积分表得到，由，有三角形，原式等于。注：1）、若被积函数中含有，则令（因），令。2）、此结果可作为基本积分公式表的补充，可以直接用。3）、此题也可令。例，（因为定义域）解：①当时，令，则原式由，由三角形原式②当时，令，则,由①得原式所以原式注：1）、若含有，则当时令（因）令。当时，令代入时即可。2）、此结果可作为基本积分公式表的补充，可以直接用。三角代换的一般规律如下:当被积函数中含有a)可令b)可令c)可令常用凑微分公式以下介绍倒代换法，用此方法常可以消去被积函数分母中的变量因子。例24、求解：令，则，故当x>0时，①当x<0时，同理可得此结果② 综上，原式。]注：当分母中的最高次幂大于分子中的最高次幂时，用倒代换可望成功。例25、解例26、，解：令，则，原式。例27、解：，利用公式，则原式例28、解：，利用公式，则原式=。课堂练习：1.下列积分应如何换元才使积分简便?（令）（）（）2、已知求解:两边求导,得则第五章不定积分§5.3分部积分法教学目的：1.理解分部积分法的思想2.掌握分部积分法中U、V的选取3.会利用循环法求不定积分教学重点：1.分部积分法中U、V的选取2.利用循环法求不定积分教学难点：1.四种类型中U、V的选取教学内容：5.3分部积分法设，，则有.两边求不定积分，得，即称为不定积分的分部积分法.例1求．解令u=x，余下的sinxdx=－d(cosx)=dv，则=－=－[xcosx－]=－xcosx+sinx+C．注意本题如果令u=sinx，xdx=d(x2)，则==[x2sinx－]=x2sinx－．u，v的选择原则：(1)由(x)dx=dv，求v比较容易；(2)比更容易计算．例2求．解令u=x2，cosxdx=d(sinx)=dv，则==x2sinx－=x2sinx－2=x2sinx－2［－］=x2sinx＋２[xcosx－]=x2sinx+2xcosx－2sinx＋Ｃ．例3求．解令u=x，exdx=d(ex)=dv，则==xex－=ex(x