《高等数学（第三版）》教案 第8章 多元函数微积分

第八章多元函数微积分§8.1.1多元函数的基本概念教学目的：1.了解平面点集维空间、区域、邻域2.理解多元函数、多元函数极限、多元函数连续性的概念3.会求多元函数的极限4.掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性5.了解有界闭区域上多元函数连续性的性质教学重点：1.多元函数定义的理解2.求多元函数的极限3.多元函数连续性定理的理解4.有界闭区域上多元函数连续性的性质教学难点：1.对多元函数极限的求解2.对多元函数连续性的理解教学内容：一、平面点集维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点与有序二元实数组之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组与平面上的点视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的有序实数组的全体,即就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质的点的集合,称为平面点集,记作.例如,平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是.如果我们以点表示,以|OP|表示点到原点的距离,那么集合可表成.邻域:设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为或，即或.邻域的几何意义:就是平面以上点为中心、为半径的圆的内部的点的全体。如果去掉领域的中心，称为点的去心邻域,记作或,即..注:如果不需要强调邻域的半径,则用表示点的某个邻域,点的去心邻域记作.点与点集之间的关系任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系中的一种(1)内点:如果存在点的某一邻域,使得,则称为的内点(2)外点如果存在点的某个邻域使得则称为的外点(3)边界点:如果点的任一邻域内既有属于的点,也有不属于的点,则称点为的边点.的边界点的全体称为的边界记作的内点必属于的外点必定不属于而的边界点可能属于也可能不属于聚点如果对于任意给定的点的去心邻域内总有中的点则称P是的聚点由聚点的定义可知点集的聚点本身可以属于也可能不属于例如设平面点集满足的一切点都是的内点满足的一切点都是的边界点它们都不属于满足的一切点也是的边界点它们都属于点集以及它的界边E上的一切点都是的聚点开集:如果点集的点都是内点,则称为开集.闭集如果点集的余集为开集则称为闭集开集的例子:.闭集的例子:.集合既非开集也非闭集连通性:如果点集内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于则称为连通集区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如.闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如.有界集:对于平面点集如果存在某一正数,使得其中是坐标原点则称为有界点集无界集:一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合是有界闭区域集合是无界开区域集合{(x,y)|x+y1}是无界闭区域2.n维空间我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组一一对应，从而二元数组全体表示平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元数组（）一一对应，从而三元数组（）全体表示空间一切点的集合，即空间。一般地，设为取定的一个自然数，我们称元数组（）的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标。维空间记为Rn。维空间中两点及间的距离规定为。容易验知，当时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点的距离。前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到维空间中去。例如，设，是某一正数，则维空间内的点集=就定义为点的邻域。以邻域概念为基础，可定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念。二.、多元函数概念1.引入引例１：圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系.这里,当、在集合内取定一对值时,对应的值就随之确定.引力2：设是电阻、并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系，对应值就随之确定。上面两个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽出这些共性就可得出以下二元函数的定义。定义1设是平面上的一个点集,如果对于每个点，变量按照一定法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数（或点的函数），记为（或）。点集称为该函数的定义域，称为自变量，也称为因变量。数集称为该函数的值域。是的函数也可记为，等等。类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集换成维空间内的点集，则可类似地可以定义元函数。元函数也可简记为，这里点。当时，元函数就是一元函数。当时，元函数就统称为多元函数。于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以使这个算式有确定值的自变量所确定的点集为这个函数的定义域。例如：x+y=0函数的定义域为（如图8-1），就是一个无界开区域；又如，的定义域为（如图8-2），这是一个有界闭区域。x+y=0图8-2图8-1图8-2图8-1例1求下列二元函数的定义域。（1）；（2）；（3）.解：（1）要使函数有意义，则有函数的定义域为.要使函数有意义，则有函数的定义域为（3）要使函数有意义，则有即函数的定义域为设函数的定义域为。对于任意取定的点，对应的函数值为。这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点。当遍取上的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形（图8-3）。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。图8-3图8-3例如，由空间解析几何知道，线形函数的图形是一张平面；由方程所确定的函数的图形是球心在圆点、半径的为球面，它的定义域是圆形闭区域。在D的内部任一点处，这函数有两个对应值，一个为，另一个为—。因此，这是多值函数。我们把它分成两个单值函数：及，前者表示上半球面，后者表示下半球面。以后除了对多元函数另做声明外，总假定所讨论的函数是单值的；如果遇到多值函数，可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论。三、二元函数的极限我们先讨论二元函数当 ，，即时的极限。这里表示点以任何方式趋于点，也就是点与点间的距离趋于零，即。与一元函数的极限概念类似，如果在的过程中，对应的函数值无限接近一个确定的常数，我们就说A是函数，时的极限。下面用“”语言描述这个极限概念。定义2设函数在区域内有定义，是的内点或边界点，是常数。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数为函数当时的（二重）极限，记作，为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。例2.设,求证.证因为,可见取,则当即时,总有|因此.必须注意:(1)二重极限存在,是指P以任何方式趋于P0时,函数都无限接近于A.(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.讨论:函数在点(0,0)有无极限？提示:当点P(x,y)沿x轴趋于点(00)时当点P(x,y)沿y轴趋于点(00)时当点P(x,y)沿直线y=kx有.因此,函数f(x,y)在(0,0)处无极限.极限概念的推广:多元函数的极限.多元函数的极限运算法则:与一元函数的情况类似.例3求.解：这里在区域和区域内都有定义，同时为及的边界点。但无论在内还是在内考虑，下列运算都是正确的：。例4求解：四.、多元函数的连续性明白了函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性。定义3设二元函数的定义域为，为的聚点，且。如果,则称函数在点连续。如果函数在区域内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数。以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到元函数上去。例5设证明是上的连续函数证设由于在处连续故当时有以上述作的邻域则当时显然即在点连续由的任意性知作为的二元函数在上连续类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的定义4设函数的定义域为是的聚点若函数在点不连续，则称为函数的间断点。这里顺便指出：如果在区域内某些孤立点，或者沿内某些曲线，函数没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数的不连续点，即间断点。前面已经讨论过的函数当，时的极限不存在，所以点是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值。这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切P∈D,有.性质2（介值定理）在有界闭区域上的多元连续函数，如果在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果是函数在上的最小值和最大值之间的一个数，则在上至少有一点，使得。一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数。多元连续函数的复合函数也是连续函数。与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）。例如，是两个多项式之商，它是多元初等函数。又例如是由基本初等函数与多项式复合而成的，它也是多元初等函数。根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即.注:间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数:与一元初等函数类似多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数,这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如sin(x+y)都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例6求.解函数是初等函数，它的定义域为。因不是连通的，故不是区域。但是区域，且，所以是函数的一个定义区域。因,故.如果这里不引进区域，也可用下述方法判定函数在点处是连续的：因是的定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以是的一个定义区域，又由于是初等函数，因此在点处连续。一般地，求，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是例7求.解：练习：已知函数，试求.求下列各极限。（1）（2）（3）函数在何处是间断的?多元函数微积分§8.1.2偏导数的概念及计算教学目的：1.理解偏导数的定义，记号，几何意义2.会求多元函数的偏倒数3.会求多阶偏倒数教学重点：1.偏导数的定义2.判断二元函数偏导数的存在性3.计算二元、多元函数的偏导数教学难点：1.判断二元函数偏导数的存在性2.计算多元函数的偏导数。教学内容：一、导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数为例，如果只有自变量变化，而自变量固定（即看作常量），这时它就是的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，即有如下定义：1、定义设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有关于的偏增量，记为，即 如果 存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数，记作 ,,或 即. (1)类似地，函数在点处对的偏导数定义为 (2)记作 ,,或偏导函数:如果函数在开区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作,,或 偏导函数的定义式.类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记作,,或 偏导函数的定义式注：偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数在点处对的偏导数定义为其中是函数的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。2、二元函数在点的偏导数有下述几何意义。图8-4图8-4设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率（见图8-4）。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。3、偏导数与连续性:对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如在点有,但函数在点并不连续.提示当点P(x,y)沿x轴趋于点(00)时有当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(00)时有.因此,不存在故函数在处不连续.二、偏导数的计算由偏导数的概念可知，在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数。至于实际求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求时，只要把暂时看作常量而对求导数；求时，则只要把暂时看作常量而对求导数。例1求在点(1,2)处的偏导数。解把y看作常量，得把x看作常量，得将(1,2)代入上面的结果，就得，。例2求的偏导数解:例3设求证：证因为，，.所以例4求的偏导数。解:例5已知理想气体的状态方程(为常量)，求证： 证因为 ,;, ,所以说明的问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.三、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数,,那么在内都是的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数。,,,.其中,称为混合偏导数.,,,.同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6设，求、、、及。解=,=；=, =； =,=； =由例6观察到的问题:这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。例7验证函数满足方程.证因为,所以,,,.因此.例8证明函数满足方程,其中.证:,.由于函数关于自变量的对称性，所以,.因此.提示例7例8中这两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。练习：1.求下列函数的偏导数。（1）（2）（3）（4）2.设，求及3.验证：（1）满足（2）满足多元函数微积分§8.2全微分教学目的：1.学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义2.掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系3.求多元函数的全微分教学重点：1.可微与偏导数存在之间的关系2.多元函数的全微分教学难点：1.计算多元函数的全微分教学内容：全微分的定义偏增量与偏微分:根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有为函数对的偏增量,为函数对的偏微分;f(x,y+Dy)-f(x,y)»fy(x,y)Dy,为函数)对的偏增量,为函数对的偏微分.全增量:计算全增量比较复杂,我们希望用的线性函数来近似代替之.定义如果函数在点的全增量 （1）可表示为，（2）其中、不依赖于、而仅与有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即 。如果函数在区域内每一点处都可微分，那么称这函数在内可微分。可微与连续:可微必连续,但偏导数存在不一定连续.这是因为,如果在点可微,则,从而.因此函数在点处连续.二、可微分的条件下面讨论函数在点可微分的条件。定理1（必要条件）如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且=+。（3）证设函数在点可微分。于是，对于点的某个邻域的任意一点，（2）式总成立。特别当时（2）式也应成立，这时，所以（2）式成为 。上式两边各除以，再令而取极限，就得 从而偏导数存在，且等于。同样可证=。所以（3）式成立。证毕。偏导数、存在是可微分的必要条件,但不是充分条件.例如,函数在点(0,0)处虽然有fx(0,0)0及fy(0,0)0,但函数在不可微分,即不是较高阶的无穷小.这是因为当沿直线趋于时,.由于自变量的增量等于自变量的微分，即，于是习惯上的全微分表示为=+。例1讨论在点处的偏导数存在性及可微性。解：由偏导数的定义，有即在处的两个偏导数都存在。但是函数在点处不可微，这是由于从而如果选取点沿直线趋于点，则于是，由全微分定义可知，函数在点处不可微。由此可见，偏导数存在是可微的必要条件，而不是充分条件。定理2（充分条件）如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）。设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量 。在第一个方括号内的表达式，由于不变，因而可以看作是的一元函数的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到 = 又假设，在点连续，所以上式可写为 =， （4）其中为、的函数，且当，时，。同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5）其中为的函数，且当时，。由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量△z可以表示为 。 （6）容易看出 ||，它是随着，即而趋于零。这就证明了在点是可微分的。以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。例如，如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即例2计算函数的全微分．解因为，，所以．例3计算函数在点处的全微分．解因为所以 ．例4计算函数的全微分.解因为 所以 全微分在近似计算中的应用由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当在点的两个偏导数和连续且都较小时，就有近似等式上式也可写成例5计算的近似值。解：设，取所以例6有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm，高度由100cm减小到99cm。求此圆柱体体积变化的近似值。解：设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V，则有记r、h和V的增量依次为、、和。应用公式有把代入，得即此圆柱体在受压后体积约减少了。练习：1.求函数当时的全增量和全微分。2求下列函数的全微分。（1）（2）（3）3.计算的近似值。第八章多元函数微积分§8.3二元函数的极值教学目的：1.理解多元函数极值和条件极值的概念，2.掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件3.会求二元函数的极值4.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1.会求多元函数的极值2.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学难点：1.多元函数极值存在的必要条件和充分条件2.求多元函数的极值和最大值和最小值教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数在点及其附近有定义,如果对于异于的点满足不等式，则称函数在点处取得极大值，是其极大值点；若满足不等式，则称函数在点处取得极小值，是其极小值点；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1函数在点处有极小值.当时,,而当时,.因此是函数的极小值.从几何上看，这是显然的，因为点是开口朝上的抛物面的顶点。例2函数在点处有极大值.当时,,而当时,.因此是函数的极大值.点是位于平面下方的锥面的顶点。例3函数在点处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点处的函数值为零,而在点的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.以上关于二元函数的极值概念,可推广到元函数.设元函数在点的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于的点,都有则称函数在点有极大值(或极小值).定理1(必要条件)设函数在点具有偏导数,且在点处取得极值,则必有证明不妨设在点处有极大值依极大值的定义,对于点的某邻域内异于的点,都有不等式.特殊地,在该邻域内取而的点,也应有不等式这表明一元函数在处取得极大值,因而必有.类似地可证.从几何上看,这时如果曲面在点处有切平面,则切平面成为平行于坐标面的平面。类似地可推得,如果三元函数在点具有偏导数,则它在点具有极值的必要条件为仿照一元函数,凡是能使同时成立的点称为函数的驻点.从定理1可知,具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如,函数在点处的两个偏导数都是零,函数在既不取得极大值也不取得极小值.定理2(充分条件)设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又，令，则在处是否取得极值的条件如下:(1)时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值;(2)时没有极值;(3)时可能有极值,也可能没有极值.在函数的驻点处如果则函数具有极值,且当时有极大值,当时有极小值.极值的求法:第一步解方程组，求得一切实数解,即可得一切驻点.第二步对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值。第三步定出的符号,按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值.例4求函数的极值.解解方程组,求得。于是得驻点为。再求出二阶偏导数在点处,,又,所以函数在处有极小值;在点处,,所以不是极值;在点处,,所以不是极值;在点处,,又,所以函数的处有极大值。应注意的问题:不是驻点也可能是极值点,例如,函数在点处有极大值,但不是函数的驻点.因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.最大值和最小值问题:如果在有界闭区域上连续,则在上必定能取得最大值和最小值.这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在的内部,也可能在的边界上.我们假定,函数在上连续、在内可微分且只有有限个驻点,这时如果函数在的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是:将函数在内的所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数的最大值(最小值)一定在的内部取得,而函数在内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值(最小值).例5某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省.解设水箱的长为m,宽为m,则其高应为m.此水箱所用材料的面积为.令,,得。根据题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域内取得.因为函数在内只有一个驻点,所以此驻点一定是的最小值点,即当水箱的长为m、宽为m、高为m时,水箱所用的材料最省.因此在内的唯一驻点处取得最小值,即长为m、宽为m、高为m时,所用材料最省.例6有一宽为cm的长方形铁板,把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折法才能使断面的面积最大？解设折起来的边长为cm,倾角为,那么梯形断面的下底长为,上底长为,高为,所以断面面积,即。可见断面面积是和的二元函数,这就是目标函数,下面求使这函数取得最大值的点.令，，由于,上述方程组可化为解这方程组,得。根据题意可知断面面积的最大值一定存在,并且在内取得,通过计算得知时的函数值比时的函数值为小.又函数在内只有一个驻点,因此可以断定,当时,就能使断面的面积最大.练习：1.求下列函数的极值。（1）（2）2.要造一个体积等于定数的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。第八章多元函数微积分§8.4二重积分的概念与性质教学目的：1.使学生了解二重积分的概念及二重积分的几何意义:；2.掌握二重积分的性质教学重点：1.二重积分的性质教学难点：1.二重积分的性质教学内容：引例引例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是面上的有界闭区域，侧面是以的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，顶是有二元非负连续函数所表示的曲面，如图8-5所示，这个立体称为上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。解：对于平柱体的体积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域任意划分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，如图8-5所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成个小曲顶柱体。(2)近似在每一个小闭区域上任取一点，以为高，为底的平顶柱体的体积近似代替第个小曲顶柱体的体积。(3)求和这个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值(4)取极限将区域无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即其中表示这个小闭区域直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。yyxzz=f(x,y)oD(i,i)△i·图8-5图8-5引例2平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的有界闭区域，它的面密度为上的连续函数，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域）任意划分成个小薄片，其中表示第个小薄片，也表示它的面积，如图8-6所示。(2)近似在每一个小薄片上任取一点，以为其密度，当很小时，认为小薄片是均匀的，则近似代替第个小薄片的质量。即(3)求和这个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值(4)取极限将薄片无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即其中表示这个小薄片直径中最大值的直径。图8-6图8-6二重积分的定义定积分与曲边梯形的面积有关。上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。1、定义设是有界闭区域上的有界函数（1）将闭区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。（2）在每个上任取一点，作乘积（=1，2，…，）（3）并作和（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作即.其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。【注意】对二重积分定义的说明（1）直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域的边长为和,则，因此在直角坐标系中,有时也把面积元素记作，而把二重积分记作（2）二重积分的存在性当在闭区域上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数在上的二重积分必定存在.我们总假定函数在闭区域上连续,所以在上的二重积分都是存在的.2、几何意义若，函数在闭区域上的二重积分表示为以为底面，为曲顶的曲顶柱体的体积；若，表示柱体在面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的；若函数在闭区域上既有正的，又有负的，则二重积分表示在面的上、下方的柱体体积的代数和。如图8-7所示。图8-7图8-7三、二重积分的性质性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即性质2（线性性）有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。即推论设、为常数，则性质3（可加性）若闭区域被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（）。性质4若在上，为的面积，则推论性质5（不等式性）若在上，，则【特别地】，则性质6（有界性）设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则性质7（二重积分的中值定理）设函数在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点使得RD例1设为圆域，则二重积分RD为多少？解：投影区域为圆域，被积函数为上半球面，由二重积分的几何意义可知，上述积分等于上半球体的体积：图8-8图8-8例2不作计算估计的值，其中是圆域：．解：的面积为．由于，所以有性质6有，．例3比较积分与的大小，其中是圆域：．解：积分域的边界为圆周：，它与轴交于点，与直线相切，而圆域位于直线的上方，如图8-9所示，故在上，从而图8-9由性质5有图8-9例4：设，其中，其中利用二重积分的几何意义说明和之间的关系。由二重积分的几何意义知，表示底为，顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为，顶为曲面的曲顶柱体的体积；由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，如图8-10所示，其中位于第一卦限的部分即为。由此可知xyxy1-1-22图8-10练习：图8-101.利用二重积分定义证明：（1）（2）2.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小；（1）与其中积分区域是由圆周所围成；（2）与其中3.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）其中（2）其中第八章多元函数微积分§8.5二重积分的计算教学目的：1.使学生掌握利用直角坐标计算二重积分的方法教学重点：1.将二重积分化为二次积分教学难点：1.将二重积分化为二次积分教学内容：一、积分区域的分类1.[X-型域]用不等式，来表示的区域，其中函数、在区间上连续，如图8—12、图8-13所示，称为—型区域；【X—型区域的特点】穿过