《高等数学（第三版）》全套教案 于西昌 0预备知识、1 函数-10概率

第0章预备知识§0.1集合教学目的：（1）理解集合、元素及其关系和表示方法；（2）掌握子集、真子集的概念，并会判断他们之间的关系。（3）运用集合的思想准确描述客观世界的对象并对其进行分类研究，培养学生基本的数学素养。教学重点：（1）集合、元素、的概念及其关系（2）子集、真子集的概念及其关系教学难点：1.子集、真子集、空集的区别教学内容：集合的概念定义1由某些指定的对象集在一起所组成的整体就叫做集合，简称集.组成集合的每个对象称为元素.集合一般采用大写英文字母A、B、C…来表示，它们的元素一般采用小写英文字母a、b、c…来表示.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作.集合分哪几类呢？------共两类：1.有限集；2.无限集定义2根据集合所含有元素个数可以将其分为有限集和无限集两类.含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.集合的性质：（1）集合的元素具有确定性；（2）集合的元素具有互异性.由数所组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常用的一些数集：所有非负整数所组成的集合叫做自然数集，记作N；所有正整数所组成的集合叫做正整数集，记作N+；所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z；所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q；所有实数组成的集合叫做实数集，记作R；不含任何元素的集合叫做空集，记作.练习11.11．用符号“”或“”填空：（1）−3，0.5，3；（2）1.5，−5，3；（3）−0.2，，7.21；（4）1.5，−1.2，．2．指出下列各集合中，哪个集合是空集？（1）方程的解集；（2）方程的解集．二、集合的表示方法1.列举法把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号“｛｝”中用来表示集合，这种方法即为列举法.例如，由小于5的自然数所组成的集合用列举法表示为：自然数集N为无限集，用列举法表示为：2.描述法把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫做描述法.例如，由大于2的所有实数所组成的集合用描述法表示为：花括号内竖线左侧的表示这个集合中的任何一个元素，元素从实数中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.提示用列举法表示集合可以明确地看到集合中的每一个元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性质，因此在具体的应用中要根据实际情况灵活选用.练习1.1.21．用列举法表示下列各集合：（1）方程的解集；（2）方程的解集；（3）由数1，4，9，16，25组成的集合；（4）所有正奇数组成的集合．2．用描述法表示下列各集合：（1）大于3的实数所组成的集合；（2）方程的解集；（3）大于5的所有偶数所组成的集合；（4）不等式的解集．一、子集定义3一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子集，记作AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”.任意一个集合A都是它自身的子集，即AA.规定空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合，都有练习1.1.3用符号“”、“”、“”或“”填空：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）．二、真子集定义4如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”，可用下图直观地表示.三、集合的相等定义5一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，或者集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.例1写出集合的所有子集和真子集.解：集合A的所有子集为：，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.在上述子集中，去掉集合A本身，即{1,2,3}，剩下的集合都是A的真子集.例2说出以下两个集合之间的关系：（1）A={2,4,5,7},B={2,5}（2）S={x|x2=1},T={-1,1}（3）C={x|x是奇数}，D={x|x是整数}.解：（1）（2）S=T（3）练习1.1.4用适当的符号填空：=1\*GB2⑴{1，3，5}{1，2，3，4，5，6}；=2\*GB2⑵{3，-3}；=3\*GB2⑶{2}{x||x|=2}；=4\*GB2⑷2N；=5\*GB2⑸a{a}；=6\*GB2⑹{0}；=7\*GB2⑺.第0章预备知识§0.2集合的运算教学目的：（1）理解交集、并集的概念；（2）理解全集与补集的概念；（3）会求出集合的交集、并集和补集．教学重点：（1）交集与并集及集合的补运算（2）用描述法表示集合的交集与并集，集合并、交、补的综合运算教学难点：用描述法表示集合的交集与并集，集合并、交、补的综合运算教学内容：一、交集定义6一般地，像上述那样给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有共同元素构成的集合叫做集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.集合A和集合B的交集可以用下图的阴影部分来形象地表示.由交集的定义可知，对于任意两个集合A,B，都有：（1）（2）（3）（4）如果,那么例1设集合A={x|x<1},B={x|x<2},求.解：={x|x<1}{x|x<2}={x|x<1}例2已知集合A={x|x是奇数}，B={x|x是偶数}，Z={x|x是整数}，求，，.解：因为,,所以={x|x是奇数}{x|x是偶数}=练习1.2.11．设，，求．2．设，，求．3．设，B={x|0<x<4}，求．二、并集定义7一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A和B的所有元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.集合A和集合B的并集可以用下图中的阴影部分来表示.由并集的定义可知，对于任意两个集合A,B，都有：（1）（2）（3）（4）如果,那么例3已知集合A={1,3,4},B={2,4,5},求.解：={1,3,4}{2,4,5}={1,2,3,4,5}例4设集合A={x|x>3},B={x|x>5},求，.解：因为,所以=={x|x>3}.=={x|x>5}.练习1.2.21．设，，求．2．设，{x|0<x<3}，求．三、补集在研究集合与集合的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示.在研究数集时，常常把实数集R作为全集.定义8如果给定某一集合A是全集U的一个子集，则U中不属于A的所有元素组成的集合叫做A在全集U中的补集，记作UA，读作“A在U中的补集”，即UA=｛x︱x∈U且xA｝.全集U与它的任意一个真子集A之间的关系可用下图来表示，其中阴影部分表示A在U中的补集.归纳:由补集的定义可知，对于任意集合，都有(1)(2)(3)U（UA）=A例5设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},求.解：.例6设全集U={x|x是实数},集合Q={x|x是有理数}，求解：={x|x是无理数}例7设全集U=R,A={x|x>5},解：={x|x5}.练习1.2.31．设，，求．2．设，A={x|-2<x<5}.，求．巩固练习1．设，，，求，，，，（）∪（）,（）∩（）2.设，，，求，，（）∪（）,（）∩（）第0章预备知识§0.3不等式教学目的：（1）理解不等式的性质和解法；（2）掌握一元二次不等式的解法；（3）了解含绝对值不等式的解法．教学重点：（1）不等式的性质

（2）一元二次不等式的解法教学难点：（1）一元二次不等式的解法（2）绝对值不等式的解法教学内容：一、不等式的基本性质性质1(传递性)如果a>b,且b>c，那么a>c.性质2(加法法则)如果a>b,那么a+c>b+c.性质3(乘法法则)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.推论1如果a+b>c,那么a>c-b.推论2如果a>b,且c>d，那么a+c>b+d.推论3如果a>b>0,且c>d>0，那么ac>bd.二、不等式的解法不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数值的全体所组成的集合.各个区间的含义及表示方法，完成表格一元二次不等式的解法导入：一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系一元二次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式.由二次函数的零点入手观察图像解一元二次不等式.根据之前所学知识和二次函数的图像，完成表格.

一元二次不等式实际的应用实例.

绝对值不等式绝对值的定义、几何意义、函数y＝|x|的图象绝对值不等式的解法利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论两边同时平方去掉绝对值符号利用函数图象观察不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}第0章预备知识§0.4指数与对数教学目的：（1）理解集合、元素及其关系和表示方法；（2）掌握子集、真子集的概念，并会判断他们之间的关系。（3）运用集合的思想准确描述客观世界的对象并对其进行分类研究，培养学生基本的数学素养。（1）掌握指数的概念与运算性质（2）掌握对数的概念与运算性质（3）会把对数与指数进行互相转换．教学重点：（1）指数与对数的概念（2）指数与对数的运算法则教学难点：（1）指数与对数相互转换（2）对数的运算性质教学内容：一、指数根式：分数指数幂实数指数幂对数一般地，如果ax的对数,其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数.（以a为底，N的对数.）特殊对数常用对数、自然对数课堂小结第0章预备知识§0.5数列教学目的：（1）掌握等差、等比数列的概念与通项公式（2）掌握等差、等比数列的前n项和公式教学重点：（1）等差、等比数列以及等差中项、等比中项的概念（2）等差、等比数列的通项公式及前n项和公式教学难点：等差、等比数列通项公式及前n项和公式的推导过程教学内容：数列定义定义0.16按一定顺序（或规律）排列的一列数a1,a2,a3,⋯,an,⋯称为数列，简记为{an}.数列通项公式定义0.17一个数列的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可用一个解析式来表示，则这个解析式就称为该数列的一个通项公式，简称通项公式.§0.7等差数列等差数列定义定义0.18如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数d，则此数列称为等差数列，d称为公差.练习等差数列的通项公式导入推导一：迭代法推导二：累加法3.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d4.练习思政：教导学生数学是一门十分严谨的学科，做题时一定要细致认真，拓展不光是在学习中在生活中也应该如此，养成严谨细致的好习惯。等差中项定义0.19如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，则称A为a与b的等差中项.A=a+b/2等差数列前n项和公式导入思政：通过数学家高斯计算1+2+3+...+100的和引入等差数列的前n项和，学生感悟我国数学家伟大的数学智慧，增强学生的自信心和爱国主义情怀。推导：倒序相加法公式一：S公式二：S§0.8等比数列等比数列定义定义0.20如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个不为零的常数q，则此数列称为等比数列，q称为公比.二、等比数列的通项公式推导一：不完全归纳法推导二：累积法（累乘法）等比数列的通项公式：a三、等比中项定义0.21如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，则称G为a与b的等比中项.G^2=ab(ab>0).四、等比数列前n项和公式推导：错位相减法第一章函数§1.1函数的概念教学目的：1.理解函数的概念2.会计算函数的定义域3.会判断两个函数是否相同4.了解函数的表示方法5.了解分段函数的概念并会求其定义域、值域教学重点：1.函数的概念2.计算函数的定义域3.分段函数教学难点：对函数概念的理解对分段函数的理解教学内容：一、函数的概念：1、函数的概念设x,y是两个变量，D是一个实数集.如果对于D内的每一个数x，按照某个对应法则f，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x叫作自变量，y叫作因变量，或者函数值，实数集D叫作这个函数的定义域.函数的三要素：定义域、对应关系、值域.函数的特性非空性：函数的定义域实数集D必须是一个非空的集合.任意性：定义域中的每一个元素都必须有对应的函数值.唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.3、例题例1．结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.练习：一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义描述这个函数.解:二、函数定义域的求法1、定义域：使表达式或实际问题有意义的自变量集合.（1）如果f(x)是分式，要求分母不等于零；（2）如果f(x)是二次根式，要求根号内的式子大于或等于零；（3）如果f(x)是对数形式，要求真数位置大于零；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）；（5）使实际问题有意义.2、例题例2．解:.例3．解：例4．已知函数的定义域是,求的定义域.解：三、相同函数1、由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.2、例题例5.解:例6．求函数f(x)=log_3x^2与g(x)=2log_3x的定义域，并判断它们是否是同一函数.解：f(x)的定义域为D(f)=(−∞,0)∪(0,+∞).g(x)的定义域为D(g)=(0,+∞).由于f(x)与g(x)的定义域不同，所以它们不是同一函数.四、函数的表示方法【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.注意：【1】解析法必须标明函数的定义域.【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”.分段函数1、概念在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.2、常见的分段函数设3、例题设例7.求：解：第一章函数§1.1函数的性质教学目的：1.理解函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性的定义2.会判断函数的奇偶性、单调性教学重点：1.函数奇偶性的判断2.函数单调区间的判断教学难点：对函数奇偶性概念的理解对函数有界性概念的理解教学内容：一、函数的奇偶性：1、概念设函数的定义域关于原点对称.偶函数：奇函数：2、图像特征3、例题例1．判断下列函数的奇偶性解：注意：定义域关于原点对称是研究函数奇偶性的前提.4、奇偶函数运算性质（1）奇函数代数和是奇函数，偶函数代数和是偶函数；（2）奇数个奇函数相乘是奇函数，偶数个奇函数相乘是偶函数；（3）偶函数的乘积是偶函数；（4）奇函数与偶函数乘积是奇函数.5、总结：利用定义判断函数的奇偶性步骤：二、函数的周期性1、定义：2、例题例2．求下列函数的周期解：三、函数的单调性1、定义设函数的定义域,区间增函数：减函数：注意：单调性是与“区间”紧密相关的概念,反映的是函数的局部性质.任意取x1,x2，“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换.等价形式：即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积异号，函数为减函数.2、例题例3.例4．判断函数在区间内的单调性.解：例5.总结利用定义判断函数单调性的步骤：四、函数的有界性1、概念注意：函数是否有界与所给区间有关.2、例题例6.在实数范围内，下列函数中为有界函数的是()答案：A第一章函数§1.3反函数教学目的：1.理解反函数的定义2.会求反函数3.了解直接函数与反函数的关系4.理解反三角函数的概念5.掌握反三角函数的图像及性质教学重点：1.求反函数2.反三角函数的图像及性质教学难点：对反函数、反三角函数概念的理解反三角函数的图像及性质教学内容：一、反函数：1、引入华氏温度(℉)与摄氏温度(℃),是两大国际主流的计量温度的标准.假设用x表示摄氏温度,用y表示华氏温度,则y=32+1.8x.显然0℃=32℉.那么当温度为50℉，用摄氏温度表示应该是多少呢？当y=50时，得x=10.所以50℉为10℃.称新函数为原函数的反函数，记为为方便改写为.2、概念设函数的定义域是，值域是，如果对于任意一个，都有唯一的，使得成立，这时也是的函数，称它为的反函数，记作，而称为直接函数.注意：习惯上常用x表示自变量,用y表示因变量,因此,经常把反函数写成直接函数与反函数的关系（1）直接函数与反函数的定义域、值域相互交换.（2）直接函数与其反函数的图像关于直线y=x对称.4、例题例1．求函数的反函数.解：由解得交换x和y，得即的反函数为解：求的反函数.解：总结：求反函数的步骤：（1）将看成方程,解出（2）将x，y互换得（3）写出反函数的定义域.5、思考：是否所有函数都存在反函数?讨论的反函数.函数的定义域为R，值域因为,任取有两个x值与之对应，所以x不是y的函数，即函数在区间R上不存在反函数.二、反三角函数1、引入：正弦函数在定义域内存在反函数吗？正弦函数在整个定义域R上不存在反函数.概念反正弦函数正弦函数在区间上的反函数，称为反正弦函数，记作反余弦函数余弦函数在区间上的反函数，称为反余弦函数，记作反正切函数正切函数在区间上的反函数，称为反正切函数，记作反余切函数余切函数在区间上的反函数，称为反余切函数，记作3、例题例4．求下列反三角函数的值.解：例5.求函数的定义域.解：设求：解：第一章函数§1.1复合函数与初等函数教学目的：1.掌握六类基本初等函数2.掌握复合函数的分解及简单函数的复合3.理解初等函数的概念教学重点：1.基本初等函数的图像及性质2.复合函数的分解3.初等函数的概念教学难点：复合函数的分解教学内容：一、基本初等函数：1、常数函数幂函数常见幂函数的性质：指数函数：对数函数：三角函数：正切函数余切函数正割函数余割函数反三角函数：这六种函数统称为基本初等函数.3、例题例1．下列函数是基本初等函数的是().答案：B例2.下列函数哪个是基本初等函数().答案：C二、复合函数1、引入：在实际问题中常见的函数并非都是基本初等函数.在工程技术和经济活动中，有些函数关系比较复杂.例如,某商店经营一种商品，若不考虑其他因素，那么利润L是营业额Q的函数,而营业额Q又是价格P的函数,因此对于在确定范围内的每一个价格P,通过Q都有唯一确定的L与之对应，这样,就可以把L看成P的函数.概念复合函数分解：从外向里，分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算.3、例题例3．指出下列函数由哪几个简单函数复合而成.解：试求函数复合而成的复合函数.分析：将中间变量的表达式来代换中间变量，消去中间变量，就得到了关于自变量的函数，很容易得到复合函数.解：注：并不是任意几个函数都可以构成复合函数的，例如就不能构成复合函数.讨论下列函数的复合过程.解：解：三、初等函数1、定义由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.注意：分段函数一般不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但有的分段函数可以通过形式转化，用一个式子表示，是初等函数.2、例题例7．下列是初等函数的是答案：C第一章极限与连续§2.1极限的概念教学目的：1.理解数列极限、函数极限的概念2.会计算简单的极限3.了解极限的性质教学重点：1.数列极限、函数极限的概念2.极限的计算教学难点：对极限概念的理解对极限性质的理解教学内容：一、数列极限：1、引入庄子截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第一天截下的木棒长为x1=1/2第一天截下的木棒长为x2=1/22………第n天截下的木棒长为xn=1/2n当n无限增大时，1/2n无限接近于0.把0称为数列1/2n的极限.割圆术:我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用.割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失.用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:正六边形的面积A1正十二边形的面积A2………正边形的面积An说明：当n的取值无限增大时，面积An无限接近一个确定的常数S.—数列的极限2、概念对于数列，若当自然数n无限增大时，能无限地趋近于一个确定的常数A，则称数列为收敛数列，常数A称为它的极限，记作反之，如果数列的极限不存在，则称数列发散.3、例题例1．判断下列数列的极限是否存在解：（1）无限增大，极限不存在解：由等比数列求和公式可知由于，所以当无限增大时，无限趋近于零，所以无限趋近于，因此4、结论函数极限对于y=f(x)，自变量的变化过程有两种形式：自变量趋于无穷大时函数的极限；自变量趋于有限值x0时函数的极限.概念：对于函数y=f(x),如果当自变量x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,称常数A为函数f(x)当时的极限,记作对于函数y=f(x),如果当自变量x从左、右两侧无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,称函数在x0处的极限为A,记作左、右极限的定义：当自变量时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为时的左(右)极限,记作定理的充分必要条件是即左、右极限存在并相等.—判断分段函数在分界点处的极限方法.3、例题例3．设讨论该函数当时的极限.解：例4．观察当时，函数的变化趋势，并求时的极限.解：从图像可看出，当x从的左、右两侧同时无限趋近于-1时，函数的值无限趋近于-2，故注意：当时并不要求函数在点处有定义.例5．设求当时的极限.解：函数极限的性质1、性质2、例题例6.解：第一章极限与连续§2.1极限的四则运算教学目的：1.掌握极限的四则运算法则2.会计算几种特殊形式的极限教学重点：1.极限的四则运算法则2.几种特殊形式极限的计算教学难点：几种特殊形式极限的计算教学内容：一、极限的四则运算法则：1、法则说明：（1）定理中的(1)、(2)都可推广到有限个函数的情形；（2）在(3)除法运算中,要求分母的极限不为零;（3）表示该定理对于自变量的各种变化趋势都成立，但是运算前后极限过程需保持一致.2、例题例1．求解：几种特殊形式的极限1、例题例2．求分析：这两个题分母的极限为0，分子的极限为不等于0的常数，不能直接使用四则运算法则，通过对分子分母进行分析可以知道整个分式的极限为.把这种形式的极限称为解：求分析：这两个题分母、分子的极限都为0，不能直接使用四则运算法则.解决方法：（1）分子、分母有公因子，需约分之后进行计算；（2）分子含有根式，先将分子有理化再求极限.把这种形式的极限称为解：练习：答案：3/5、1/3、1求分析：当时，分子与分母的极限为，极限不存在，不能直接使用四则运算法则来计算.解决方法：考虑到分子与分母都是多项式，可以先将分子、分母同时除以(其中n为分子、分母中自变量的最高次幂)，然后利用法则求极限.把这种形式的极限称为解：总结：练习：答案：5/2、∞求分析：当时，括号中两项极限为，极限不存在，故不能直接用极限的减法计算.解决方法：（1）可以先通分转化为分式再求极限;（2）可以先有理化再求极限.把这种形式的极限称为解：练习：答案：-1、1第一章极限与连续§2.3两个重要极限教学目的：1.灵活掌握第一、第二重要极限2.会利用两个重要极限计算极限教学重点：1.两个重要极限的特点及变形2.利用两个重要极限计算极限教学难点：两个重要极限的变形及灵活运用教学内容：一、第一重要极限：1、引入从表中可以看出，当x→0时，sinx/x的值无限趋近于1，所以证明3、例题例1．解：解：解：解：解：练习：计算下列极限答案：3/2、3、-1第二重要极限1.证明—第二个重要极限第二重要极限注意：在利用求函数极限时，要注意使用条件：的变量一致，且括号内3、例题例6．求解：例7．求解：例8．解：求解：练习：求答案：第一章极限与连续§2.4无穷小与无穷大教学目的：1.理解无穷小与无穷大的概念2.理解无穷小的性质3.了解无穷小与无穷大的关系4.掌握无穷小的比较5.会利用等价无穷小替换定理计算极限教学重点：1.无穷小与无穷大的概念2.等价无穷小替换定理教学难点：对无穷小、无穷大概念的理解利用等价无穷小替换定理计算极限教学内容：一、无穷小与无穷大：1、概念无穷小量的定义：如：无穷大量的定义：如：注意：（1）无穷小不是很小的数.（2）0是唯一的无穷小常数.描述一个函数是无穷小、无穷大时，一定要指明自变量的变化趋势.无穷大不是一个数,不可与很大的数混为一谈.2、无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积是无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积是无穷小.注意：性质1,2只针对有限项成立，无穷多项是不成立的。3、无穷小与无穷大的关系如：注：对无穷大的研究往往归结为对无穷小的研究.4、例题例1．求解：求解：练习：答案：1.×、√、×、×、×2.（1）、（2）是无穷小；（3）为无穷大无穷小的比较引入：比值极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.概念等价无穷小替换定理该定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小来替换.4、例题例3．解：求分析：解：注意：用等价无穷小代换求极限时，一般只适用于乘、除，不能在加、减中使用.如上题若对分子的每项作等价替换，则会产生错误的结果.（×）练习：求下列极限答案：3/5、2、1/2第一章极限与连续§2.5函数的连续性教学目的：理解函数连续的概念会判函数的连续性3.会求函数的间断点并判断其类型4.了解初等函数的连续性5.掌握最值定理、介值定理、零点定理教学重点：1.函数连续的概念2.判断间断点的类型3.闭区间上连续函数的性质教学难点：对连续概念的理解间断点类型的判断最值定理、介值定理、零点定理的应用教学内容：一、函数的连续性：1、函数的增量定义1在某过程中,变量u由初值u1变为终值u2,则称差u2-u1称为变量u的增量,记为△u=u2－u1.注意：△u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.当初值大于终值时，增量就是负的.定义2自变量由x0变化到x，则称△x=x-x0为自变量x在x0点处的增量.f(x)在点x0点处有函数增量△y：函数连续的概念定义3定义4设f(x)在U(x0)内有定义,若则称函数f(x)在x0处连续.函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：左、右连续：定义5设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.定理1：函数在点x0连续的充要条件是它在点x0处既左连续又右连续.注：此定理判定分段函数在分段点处的连续性.3、例题例1．解：解：解：函数的间断点概念：定义6函数的不连续点叫做函数的间断点.f(x)在点x0处出现如下三种情形之一:函数间断点的分类第一类间断点：第一类间断点：3、例题例4．初等函数的连续性1、概念应用连续函数的概念可以验证,所有的基本初等函数在其定义域内是连续的.根据连续函数的上述性质,还可以得到一个很有用的结论:一切初等函数在其定义区间内是连续的。结论表明：连续函数的极限符号与函数符号可以相互交换位置.2、例题例5.解：例6.解：闭区间上连续函数性质定理最值定理：闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.此定理说明，如果函数推论：闭区间上连续函数在该区间上有界.注意：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，如果缺少一个，定理5不一定成立.介值定理：函数f(x)在[a,b]上连续，M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则至少存在一点零点定理：且，则至少有一点使例题例7.证明：证明：设函数f(x)=x3-x-3.由f(x)是初等函数，故f(x)在[-1,2]上连续，证明：注：在应用零点定理时，一定要注意检验函数是否满足定理使用的条件.第三章导数与微分§3.1导数概念教学目的：1.理解导数的定义2.了解左、右导数3.会用定义计算导数4.了解导数的几何意义5.知道函数可导性与连续性的关系教学重点：1.导数的定义2.利用导数定义计算导数教学难点：1.对导数概念的理解教学内容：一、导数的定义：1、导数的定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即.若极限不存在，则称在点处不可导.若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为.2、求导数举例例1．求函数f(x)C（C为常数）的导数.解:.即(C)¢0.例2．按定义求y=10在x=-1处的导数。例3．求函数f(x)sinx的导数.解:f¢(x).即(sinx)¢cosx.用类似的方法,可求得(cosx)¢sinx.例4．求函数f(x)ax(a>0,a¹1)的导数.解:f¢(x).特别地有(ex)ex.例5．求函数f(x)logax(a>0,a¹1)的导数.解:.解:.即.:二、左导数与右导数1、函数在点处的左导数＝.函数在点处的右导数＝.2、函数在点处可导的充分必要条件是：存在；存在；且=。3、举例例6．求函数f(x)x|在x0处的导数.解:,,因为f¢(0)¹f¢(0),所以函数f(x)|x|在x0处不可导.三、导数的几何意义1、导数的几何意义函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率，即可知曲线在点M(x0,y0)处的切线方程为：过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f¢(x0)¹0,法线的斜率为,从而法线方程为：2、举例例7.求双曲线在点处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.解:,所求切线及法线的斜率分别为,.所求切线方程为,即4xy40.所求法线方程为,即2x8y150.四、可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导.第三章导数与微分§3.1导数概念教学目的：1.了解导数的几何意义2.知道函数可导性与连续性的关系教学重点：1.会求曲线的切线方程和法线方程教学难点：1.函数可导性与连续性的关系教学内容：一、导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数f¢(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率,即f¢(x0)tan,其中是切线的倾角.如果yf(x)在点x0处的导数为无穷大,这时曲线yf(x)的割线以垂直于x轴的直线xx0为极限位置,即曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x轴的切线xx0.:由直线的点斜式方程,可知曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为yy0f¢(x0)(xx0).过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f¢(x0)¹0,法线的斜率为,从而法线方程为.例1.求等边双曲线在点处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.解:,所求切线及法线的斜率分别为,.所求切线方程为,即4xy40.所求法线方程为,即2x8y150.例2求曲线的通过点(0,-4)的切线方程.解设切点的横坐标为x0则切线的斜率为.于是所求切线的方程可设为.根据题目要求,点(0,-4)在切线上,因此,解之得x0=4.于是所求切线的方程为即3xy40二、函数的可导性与连续性的关系设函数yf(x)在点x0处可导,即存在.则.这就是说,函数yf(x)在点x0处是连续的.所以,如果函数yf(x)在点x处可导,则函数在该点必连续.另一方面,一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.x例3．函数在区间(,)内连续,但在点x0处不可导.这是因为函数在点x0处导数为无穷大x.第三章导数与微分§3.2求导法则教学目的：1.熟练掌握导数的四则运算法则教学重点：1.会求四则运算法则求初等函数的导数教学难点：1.利用四则运算法则推导导数公式教学内容：一、四则运算求导：定理1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且。证明：==所以。注1：本定理可推广到有限个可导函数上去。2：本定理的结论也常简记为。定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。证明：====即。注1：若取为常数，则有：；2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：等。定理3：若都在点可导，且，则在点也可导，且。证明：===即注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；2：本公式简化为；3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。设，求。解：。设，求。解：。【例3】第三章导数与微分§3.2求导法则教学目的：1.熟练掌握复合函数的分解2.熟练掌握复合函数的求导思想（链式法则）3.了解反函数的导数求法教学重点：1.复合函数求导法则教学难点：1.反函数的导数教学内容：一、反函数的导数法则：定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。证明：以故。注1：，因为在点附近连续，严格单调；2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义；3：和的“′”均表示求导，但意义不同；4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。求的导数，解：由于，是的反函数，由定理1得：。注1：同理可证：；2：。二、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或证明：==所以。注1：若视为任意，并用代替，便得导函数：，或或。2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：等。求的导数。解：可看成与复合而成，，，。【例3】，求。解：【例4】，求。解：。第三章导数与微分§3.2求导法则教学目的：1.掌握隐函数求导2.掌握对数求导法教学重点：1.隐函数求导法则。教学难点：1.隐函数求导法则。教学内容：一、隐函数求导法则：如果变量x，y之间的对应规律，是把y直接表示成x的解析式，即熟知的y=f(x)的形式的显函数．如果能从方程F(x，y)=0确定y为x的函数y=f(x)，则称y=f(x)为由方程F(x，y)=0所确定的隐函数．例1求由方程x2+y2=4所确定的隐函数的导数．解在等式的两边同时对x求导．注意现在方程中的y是x的函数，所以y2是x的复合函数．于是得2x+2yy=0，解出y=－．例2求x2－y3－siny=0,(0y,x0)所确定的隐函数的导数．解在方程两边同时对x求导，得2x-3y2y-cosyy=0，解得y=．二、对数求导法为了求y=f(x)的导数y，两边先取对数，然后用隐函数求导的方法得到y．常称这种求导方法为对数求导法．根据对数能把积商化为对数之和差、幂化为指数与底的对数之积的特点，对幂指函数或多项乘积函数求导时，用对数求导法必定比较简便．例3利用对数求导法求函数y=(sinx)x的导数．解两边取对数，得lny=xlnsinx；两边对x求导，得y=lnsinx+xcosx，故y=y(lnsinx+xcotx)，即y=(sinx)x(lnsinx+xcotx)．注意例7也能用下面的方法求导：把y=(sinx)x改变为y=exlnsinx，则y=(exlnsinx)=exlnsinx(xlnsinx)=exlnsinx(lnsinx+xcotx)=(sinx)x(lnsinx+xcotx)．例4设y=，求y．解两边取对数，得lny=ln(3x－1)+ln(x－1)－ln(x－2)，两边对x求导，得y=+－，所以y=[+－]．第三章导数与微分§3.3高阶导数教学目的：1.了解高阶导数的定义并会求简单的高阶导数2.会求参数方程确定函数的导数教学重点：1.熟练求解高阶导数教学难点：1.参数方程求二阶导数教学内容：一、参数方程求导：曲线的参数方程(t为参数，atb)．当(t),(t)都存在，且(t)0时，可以证明由参数方程所确定的函数y=f(x)的导数为y==．例1求由方程(0<t<)所确定的函数y=f(x)的导数y．解y==－cott,(0<t<)．例2求摆线(a为常数)上对应于t=的点M0处的切线方程．解：摆线上对应于t=的点M0的坐标为(,a)，又==cot，=1，即摆线在M0处的切线斜率为1，故所求的切线方程为y-a=1(x-)，即x-y+(2-)a=0．二、高阶导数定义设函数y=f(x)存在导函数f(x)，若导函数f(x)的导数[f(x)]存在，则称[f(x)]为f(x)的二阶导数，记作y或f(x)或,，即y=(y)==．若二阶导函数f(x)的导数存在，则称f(x)的导数[f(x)]为y=f(x)的三阶导数，记作y或f(x)．一般地，若y=f(x)的n-1阶导函数存在导数，则称n-1阶导函数的导数为y=f(x)的n阶导数，记作y(n)或f(n)(x)或,，即y(n)=[y(n-1)]或f(n)(x)=[f(n-1)(x)]或=．因此，函数f(x)的n阶导数是由f(x)连续依次地对x求n次导数得到的．函数的二阶和二阶以上的导数称为函数的高阶导数．函数f(x)的n阶导数在x0处的导数值记作记作y(n)(x0)或f(n)(x0)或等．例2求函数y=3x3+2x2+x+1的四阶导数y(4)．解y=(3x3+2x2+x+1)=9x2+4x+1；y=(y)=(9x2+4x+1)=18x+4；y=(y)=(18x+4)=18；y(4)=(y)=(18)=0．例3求函数y=ax的n阶导数．解y=(ax)=axlna；y=(y)=(axlna)=lna(ax)=ax(lna)2；y=(y)=[ax(lna)2]=[lna]2(ax)=ax(lna)3；……y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n．例4若f(x)存在二阶导数，求函数y=f(lnx)的二阶导数．解：y=f(lnx)(lnx)=；y=[]=．例4设函数y(x)的参数式为,(t2n,nZ)，求y的二阶导数．解=cot,(t2n,nZ)，因为=，所以=,(t2n,nZ)．第三章导数与微分§3.4微分教学目的：1.了解微分的概念2.掌握微分的计算3.微分的近似计算教学重点：1.准确计算函数的微分2.导数和微分的关系教学难点：1.理解微分的概念2.微分的几何意义教学内容：一、微分的概念：1、微分的定义如果函数在点处的改变量，可以表示成，其中是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，称为的线性主部，又称为函数在点处的微分，记为或，即.注：（1）A是与x无关（2）如果函数y=f(x)在点x0处可微，按定义有y=Ax+o(x)，上式两端同除以x，取x0的极限，得[A+]=A，这表明若y=f(x)在点x0处可微，则在x0处必定可导，且A=f(x0)．二、微分的计算Th：函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是在点x0处可导，且dy=f(x0)x．注：由于自变量x的微分dx=(x)x=x，所以y=f(x)在点x0处的微分常记作dy=f(x0)dx．例1求函数y=x2在x=1处，对应于自变量的改变量x分别为0.1和0.01时的改变量y及微分dy．解y=(x+x)2-x2=2xx+(x)2，dy=(x2)x=2xx．在x=1处，当x=0.1，y=210.1+0.12=0.21，dy=210.1=0.2；当x=0.01，y=210.01+0.012=0.0201，dy=210.01=0.02．三、微分的几何意义xxTyM(x0,y0)N(x0+x,y0+y)ydyQP设函数y=f(x)的图像如图所示，点M(x0,y0),N(x0+x，yxxTyM(x0,y0)N(x0+x,y0+y)ydyQPQP=MQtan=xf(x0)=dy．因此函数y=f(x)在点x0处的微分dy，在几何上表示函数图象在点M(x0,y0)处切线的纵坐标的相应改变量．由图还可以看出：(1)线段PN的长表示用dy来近似代替y所产生的误差，当|x|=|dx|很小时，它比|dy|要小得多；(2)近似式ydy表示当x0时，可以以PQ近似代替NQ，即以图象在M处的切线来近似代替曲线本身，即在一点的附近可以用“直”代“曲”．这就是以微分近似函数四、复合函数的微分法则设y=f(u),u=(x)，则复合函数y=f[(x)]的微分为dy=dx=f(u)(x)dx=f(u)du．注意最后得到的结果与u是自变量的形式相同，这说明对于函数y=f(u)，不论u是自变量还是中间变量,y的微分都有f(u)du的形式．这个性质称为一阶微分形式的不变性．例2求d[ln(sin2x)]．解d[ln(sin2x)]=d(sin2x)=cos2xd(2x)=2cot2xdx．例3已知函数f(x)=sin()，求df(x)．解df(x)=d[sin()]=cos()d()=cos()=cos()=cos()dx．第四章导数的应用§4.1微分中值定理教学目的：1.了解罗尔定理2.了解拉格朗日中值定理3.掌握微分中值定理的应用教学重点：1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理教学难点：微分中值定理的应用教学内容：4.1中值定理定理4.1（罗尔定理）：若函数y=fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则在开区间a,b内至少存在一点ξ罗尔定理的几何意义是：在满足条件的曲线弧上至少能找到一点M，使其在该点的切线平行于x轴.定理4.2（拉格朗日定理）：若函数y=fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得拉格朗日定理的几何意义：在满足条件的光滑曲线弧AB上至少能找到一点C，使其在该点的切线平行于弦AB.例1：已知函数，说明方程有几个实根，并说出它们各自所在的区间.解：显然在上连续且可导，，故在区间与上都满足罗尔定理的条件，从而方程在及内至少各有一个根.又为二次多项式，所以方程只能有两个根.例2：证明当时，.证明：设，显然，在上满足拉格朗日定理的条件，有，.由于，所以，即.练习：下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的所以条件？（1）【是】（2）【是】第四章导数的应用§4.2洛必达法则教学目的：1.理解洛必达法则2.熟练使用洛必达法则判断“00”或“∞3.会求其他型未定式的极限教学重点：1.洛必达法则2.其他型未定式教学难点：其他型未定式极值的判断教学内容：4.2洛必达法则定理4.3：设函数满足：（1）；（2）在附近都可导，且；（3）.则.例1：求极限.解:.例2：求极限.解：.例3：求极限.解：原式不是分式，要化为分式，使之符合洛必达法则模型.注意：在使用洛必达法则时，如果遇到既不是有限数也不是无穷大，不能断定原极限也不存在，只是这时不能用洛必达法则，而需要用其他的方法来求.例4：求极限.解：此题为“”型未定式，由于，极限不是有限数，也不是无穷大，因而不能用洛必达法则.由于时，为无穷小，是有界函数，故.练习：求下列极限：（1）【1】（2）【】（3）【1】（4）【】三、对于“0∙∞”，∞-∞（同时为+∞或同时为-∞型），“00”，“1∞”，“∞解决方法：取倒数，通分，取对数例5：求limx→0+解：lim注：对0∙∞型未定式，可以化为00或∞∞型未定式，但为计算简便，一般把它变化成分子分母易求导的类型（即颠倒那个易求导的，此类题要活，颠倒极限为0的不易求，就颠倒极限为对上式或化为型，则例6：求例7：求limx→0+注：计算“00”，“1∞”，“∞0”型的未定式，一般对y=fxgx两边同时取对数，则右边为gx∙ln⁡解：设y=xx，则limx→又y=elny例8：解：令，则，故=，故.注：求未定式极限时，最好将洛必达法则与其它求极限方法结合使用，能化简时尽可能化简，能应用等价无穷小或重要极限时，尽可能应用.例9：求解：例10：求lim解：原式==lim原式＝例11：因.故原式注：①当求到某一步时，极限是未定式，才能应用洛必达法则，否则会导致错误结果.②当定理条件满足时，所求极限一定存在（或为）当定理条件不满足时，所求极限不一定不存在例12：求解：因分子极限不存在，故不满足洛必达法则条件.但.例13：求.解：.课堂练习：1、求型2、3、求.型4、求第四章导数的应用§4.3函数的单调性与极值教学目的：1.掌握函数的单调性2.理解极值的概念3.掌握函数极值的必要条件和充分条件教学重点：1.函数的单调性的判断2.函数极值的判断教学难点：函数极值的判断教学内容：4.3函数的单调性与极值4.3.1函数单调性的判定定理4.4：设函数fx在a,b上连续，在a,b（1）若在a,b内f'x>0，则函数fx（2）若在a,b内f'x<0，则函数fx例：讨论fx解：该函数的定义域为.令，解得，列表讨论如下：x-∞,1(1,3)3,+∞f+-+f↗↘↗x0,1f-+f↘↗x-∞,-2-2(-2,0)00,+∞f+0-0+f↗极大值4↘极小值0↗由表可知，函数在-∞,1和3,+∞上单调增加，在[1,3]上单调减少.上单调递增，练习：1.判断函数在区间内的单调性.【单调增加】2.判断函数的单调性.【单调减少】4.3.2函数的极值及其求法定义4.1：设函数fx在区间a,b内有定义，x0是a,b内一点.如果对x0附近任一有定义的点x，都有fx<fx0（或fx>fx0），就称f函数的极值与极值点如下图所示.定理4.5（极值的必要条件）：若函数fx在点x0处取得极值，则f'x将函数的一阶导数为零的点称为驻点.因此，驻点和不可导点都有可能是函数的极值点.定理4.6（极值存在的第一充分条件）：设函数fx在点x0及其附近连续且可导（在x0处可以不可导），且在x0两边的导数值异号，则（1）若f'x由正变负，则fx0（2）若f'x由负变正，则fx0（3）如果在x0的左、右两侧f'x符号相同，则求y=f（1）求出函数fx（2）求出函数fx的导数f'（3）求出函数fx（4）用上述驻点和不可导点将函数fx的定义域分成若干区间，列表讨论在每个区间上f'例：求函数的极值.解：（1）的定义域为.（2）.（3）令，得驻点，无不可导点.（4）用驻点划分的定义域，列表如下：所以函数的极大值为f-2=4e练习：求出函数的极值.【极大值为10，极小值为-22】定理4.7（极值存在的第二充分条件）：设函数fx在点x0处具有二阶导数，且f'x（1）若f''x<0，则fx（2）若f''x>0，则fx注意：以下三种情况不能使用第二充分条件，必须使用第一充分条件进行判别：（1）f'x不存在；（2）f''x=0例：求函数fx解：函数的定义域为，，.令，得驻点，又，所以由定理4.7得，是函数的极小值，的极小值为.练习：求函数fx第四章导数的应用§4.3.3函数的最值教学目的：1.理解最值的概念2.掌握闭区间函数最值的计算3.掌握函数最值的应用教学重点：1.闭区间函数最值的计算2.函数最值的应用教学难点：函数最值的应用教学内容：4.3.3函数的最值求函数fx在闭区间a,b求出函数在a,b内所有可能的极值点（即驻点和不可导点）求出这些驻点和不可导点以及闭区间端点处的函数值比较的大小，其中最大者就是fx在闭区间a,b上的最大值，最小者就是fx在闭区间a,b例：求函数fx=2x解：，令，得.由于，比较，得最大值f4=142，最小值f例：某工厂A与铁路的垂直距离为AD=21km，D到B城的距离为100km，欲将工厂A的产品运到B城，已知公路运费为10元/km，铁路运费为8元/km，想在铁路解令DC=x(km)，则AC=x2+再设总运费是y元.依题意，得y=10x2+问题就归结为求函数y=fx在[0可算出，y'=10xx2在[0，100]内，y只有一个驻点x=28y练习：求函数在上的最值。【最大值11，最小值-1】第四章导数的应用§4.4函数图形的描绘教学目的：1.了解罗尔定理2.了解拉格朗日中值定理3.掌握微分中值定理的应用教学重点：1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理教学难点：微分中值定理的应用教学内容：4.4函数图像的描绘4.4.1曲线的凹凸性与拐点定义4.2：设函数在区间上连续，如果在区间上，曲线总位于其任意一点的切线上方，则称曲线在区间上是凹的；如果在区间上，曲线总位于其任意一点的切线下方，则称曲线在区间上是凸的.定理4.8（凹凸性判定定理）：设函数在上连续，且在内具有二阶导数.（1）若在内，则曲线在上是凹的.（2）若在内，则曲线在上是凸的.例1：判断曲线的凹凸性.解：函数的定义域为.，.在定义域内，恒有，故曲线是凸的.练习：判断曲线的凹凸性.【在内是凸的，在内是凹的】定义4.3：曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点.确定曲线y=fx（1）确定函数y=f（2）求出函数的二阶导数f''x（3）求出f''x为零的点和f''（4）用上述f''x为零的点和f''x不存在的点将函数fx例2：求曲线y=x解：（1）函数的定义域为.（2），.（3）解方程，得.（4）列表分析如下：曲线在区间-∞,0和2,+∞内是凹的，在区间0,2内是凸的.点0,3和2,-13是曲线的拐点.练习：求曲线y=3x【-∞,1凹，1,+∞凸，1,2拐点】4.4.2曲线的渐近线：如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一条定直线的距离趋于0，称此直线为该曲线的一条渐近线.水平渐近线：若limx→∞fx=a（limx→+∞fx=a垂直渐近线：若limx→x0fx=∞（limx→x斜渐近线：（常数）（常数）则直线是斜渐近线例3:求曲线y=1x-1解：为水平渐近线;为铅直渐近线.例4：求曲线y=x解：所以有铅直渐近线及又为曲线的斜渐近线.[利用符号可判定在哪个区间上上升或下降及极值点，利用符号可以确定凹凸性及拐点，利用这些可以把握函数的性态，并把图形画得较确]练习：判断曲线y=2x-3【y=0为水平渐近线;x=3为垂直渐近线】4.4.3函数图形的描绘一般作函数的图形，可以按如下步骤进行：（1）确定函数的定义域.（2）求出函数的一阶导数和二阶导数.（3）求出、为零的点和不存在的点.（4）列表作图.例：作函数的图形.解：（1）函数的定义域为.（2），.（3）令，得；令，得.（4）列表分析如下：描绘图像如下：第五章不定积分§5.1不定积分的概念教学目的：1.理解原函数的概念2.掌握不定积分的概念3.掌握不定积分的性质4.熟练掌握基本积分表5.熟练掌握直接积分法教学重点：1.不定积分的概念2.不定积分的性质3.直接积分法教学难点：1.利用直接积分法求不定积分教学内容：5.1不定积分的概念与性质5.1.1原函数与不定积分定义5.1：设是定义在区间上的函数，如果存在函数，使得对任一，都有，则称为在区间上的一个原函数.一般地，如果与都为在区间上的原函数，则，，.因此，同一个函数的原函数只差一个常数.定义5.2：的所以原函数的全体称为的不定积分，记为.其中“”称为积分号，称为积分变量，为被积函数，称为被积表达式.由定义5.2可知，如果是的一个原函数，则（为任意常数）.例：，所以练习：求下列不定积分：（1）______________.【】（2）________________.【】（3）_________________.【】5.1.2不定积分的几何意义若把函数的一个原函数的图像叫作函数的积分曲线，则不定积分咋几何上表示由积分曲线沿轴上下平移而得到的无数多条曲线（称为积分曲线族）.且积分曲线族上横坐标相同的点处的切线斜率相等，即切线平行（如图5-2所示）.5.1.3不定积分的性质性质1：，，或性质2：性质3：性质4：（为常数，）5.1.4基本积分公式基本积分公式导数公式1.（为常数），（为常数）2.（）3.4.（）5.6.7.8.9.10.11.5.1.5简单的不定积分计算例：求下列不定积分：（2）解（1）（2）练习：求下列不定积分________________.【】______________________.【】（3）________________________.【】第五章不定积分§5.2.1第一类换元积分法教学目的：1.熟练掌握第一换元法2.理解第一换元法的注意事项3.掌握第一换元积分法解析技巧教学重点：1.第一换元法2.第一换元积分法解析技巧教学难点：1.第一换元积分法解析技巧教学内容：5.2.1第一类换元积分法（凑微分法）定理5.1：设具有原函数，可导，则有换元公式：称为第一类换元积分公式.思路：要求，把分解成的函数与导数的乘积即的形式，便凑成。注：由，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。例：求不定积分.解：.例：求不定积分.解：.例：求不定积分.解：第一类换元积分法的常见积分类型：；.，；.（3），.（4），（5），.（6），.（7）.（8）.练习：求下列不定积分：_____________________.【】（2）______________________.【】（3）______________.【】】第五章不定积分§5.2.2第二类换元积分法教学目的：1.掌握第二类换元积分法2.掌握三角函数换元的思想教学重点：1.掌握第二类换元积分法2.掌握三角函数换元的思想教学难点：1.掌握三角函数换元的思想教学内容：5.2.2第二类换元积分法定理5.2：设是单调的可导函数，且，则称为第二类换元积分公式.例：求.解：令，则，代入原积分，得例：求不定积分解：令，则，于是.练习：求下列不定积分：（1）________________.【】（2）____________________.【】利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分。（思想：去根号）例解：令则是单调的、可导的函数，并且内不等于0，（取到整个值域，保证单调即一一对应，导数不为0，故不取等号。因不定积分有意义的地方就能求，以后不必细抠的范围）因，故故sin2t=2·所以原式注：1）、一般：若被积函数中含有，则令（因）令。或令，。2）、做三角函数代换时，最后变量还原即回代时可利用辅助三角形示意图，如图：显然，。例解：令，，则原式=由基本积分表得到，由，有三角形，原式等于。注：1）、若被积函数中含有，则令（因），令。2）、此结果可作为基本积分公式表的补充，可以直接用。3）、此题也可令。例，（因为定义域）解：①当时，令，则原式由，由三角形原式②当时，令，则,由①得原式所以原式注：1）、若含有，则当时令（因）令。当时，令代入时即可。2）、此结果可作为基本积分公式表的补充，可以直接用。三角代换的一般规律如下:当被积函数中含有a)可令b)可令c)可令常用凑微分公式以下介绍倒代换法，用此方法常可以消去被积函数分母中的变量因子。例24、求解：令，则，故当x>0时，①当x<0时，同理可得此结果② 综上，原式。]注：当分母中的最高次幂大于分子中的最高次幂时，用倒代换可望成功。例25、解例26、，解：令，则，原式。例27、解：，利用公式，则原式例28、解：，利用公式，则原式=。课堂练习：1.下列积分应如何换元才使积分简便?（令）（）（）2、已知求解:两边求导,得则第五章不定积分§5.3分部积分法教学目的：1.理解分部积分法的思想2.掌握分部积分法中U、V的选取3.会利用循环法求不定积分教学重点：1.分部积分法中U、V的选取2.利用循环法求不定积分教学难点：1.四种类型中U、V的选取教学内容：5.3分部积分法设，，则有.两边求不定积分，得，即称为不定积分的分部积分法.例1求．解令u=x，余下的sinxdx=－d(cosx)=dv，则=－=－[xcosx－]=－xcosx+sinx+C．注意本题如果令u=sinx，xdx=d(x2)，则==[x2sinx－]=x2sinx－．u，v的选择原则：(1)由(x)dx=dv，求v比较容易；(2)比更容易计算．例2求．解令u=x2，cosxdx=d(sinx)=dv，则==x2sinx－=x2sinx－2=x2sinx－2［－］=x2sinx＋２[xcosx－]=x2sinx+2xcosx－2sinx＋Ｃ．例3求．解令u=x，exdx=d(ex)=dv，则==xex－=ex(x－1)+C．例4：求.解：例5：求不定积分.解：练习：求下列不定积分：（1）_________________.【】（2）__________________.【】（3）____________________.【】（4）______________________.【】第六章定积分§6.1定积分的概念教学目的：1.了解定积分的实际背景2.理解定积分的定义3.了解定积分的近似计算4.掌握定积分的性质教学重点：1.定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理教学内容：一、引例：1、曲边梯形的面积在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算.但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.a=x0x1x2xi-1xixn-1xna=x0x1x2xi-1xixn-1xn=biOn12y=f(x)xy由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大.为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点.在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为.由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此,这个小曲边梯形的面积.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值,再求和,即得整个大曲边梯形面积的近似值.可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近.记，则当时，误差也趋于零.因此，所求面积.(1)二、定积分定义定义设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，.再作和.若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作.即.其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.三、定积分的基本性质性质1．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2（为常数）．性质3．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4若在区间上，，则．推论1若在区间上，，则．推论2．例１比较下列定积分和的大小.解令．故，即．故从而原不等式成立.注＜0,＞＞0.性质5(估值定理)设函数在区间上的最小值与最大值分别