《高等数学（第三版）》课件 第十章 概率

高等数学

第十章

概率

样本空间与随机事件

目录Contents随机事件的相关概念1随机事件的关系及其运算2必然现象与随机现象随机试验、随机事件随机事件的分类包含关系、等价关系和、积、差、互斥、对立事件随机事件的相关概念1必然现象与随机现象必然现象：在一定的条件下,必然会发生(或者必然不会发生)的现象,也叫作确定性现象.例如,往天空抛一个物体,达到一定高度必然会下落;在标准大气压下,把水加热到100℃,水必然会沸腾等。微积分就是研究客观世界中“必然现象”的数量规律及其存在形式的一个数学分支.随机现象：在一定的条件下,可能会发生,也可能不会发生的现象,也叫作偶然现象.例如,掷一枚硬币,可能出现正面,也可能出现反面;下周某天的天气预报,可能是晴、下雨、阴等,像这类现象我们称为随机现象.概率就是研究随机现象及其统计规律性的一个数学分支.随机试验：对某种现象或事物所进行的一次观察或测试,简称试验.随机试验的特点：试验可以重复进行.试验的结果不止一个.在试验前,不能确定究竟会出现哪一种结果.随机事件：对于随机试验下的某种结果称为随机事件，简称为事件.一般常用大写的英文字母A,B,C,D,...来表示.随机事件的分类：1.

样本点：在随机试验中,发生的每一种可能的试验结果.特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.

例如,掷一枚均匀的骰子,每一面可能出现的点数1，2，3，4，5，6就是一个样本点,也是一个基本事件.2.必然事件：每次试验都会出现的事件.例如,出现的点数是1到6中的某一个.3.不可能事件：在随机试验中,不可能发生的事件,一般记作

.例如，出现7点的事件.样本空间:样本点的集合,记作

.

例1

解：样本空间为={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8，10},C={1，2，3，4，5，6}.随机事件的关系及其运算2随机事件之间有如下的关系：（1）包含关系(或称为子集)如果事件A发生,必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作

，如图所示.（2）等价关系﹐如果事件

，同时事件

，则称事件A与事件B是等价的,记作A=B.这些相互关系可以表示为下列数学关系.（1）和事件

若“事件A与B中,至少有一个事件发生”这一新事件必然发生,则称该新事件为A与B的和事件(或称为A与B的并),记作AUB(或A＋B)，如图所示.（2）积事件

若“事件A与B同时发生”这一新事件必然发生,则称该新事件为A与B的积事件(或称为A与B的交),记作A∩B(或AB)，如图所示.（3）差事件

若“事件A发生,而事件B不发生”这一新事件必然发生，则称该新事件为A与B的差事件,记作A－B(或

)，如图所示.（4）互斥事件

若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B为互斥事件(也称为互不相容事件),记作A∩B=

(或AB=

)，如图所示.AB（5）对立事件

若两个互斥事件A与B中必有一个发生,即满足A∩B=

且AUB=

，则称事件A与B为对立事件,记为B－A，如图所示.AB16交换律:结合律:对偶律:分配律:事件的运算律：

例2用事件A、B、C分别表示某车间甲、乙、丙三台车床在同一时段正常工作.

试用事件的运算表示下列事件，并思考哪些事件为互斥事件.(1)三台车床都正常工作;(2)至少一台车床正常工作;(3)三台车床都出故障;(4)只有甲车床正常工作;(5）至少有两台车床正常工作;(6）乙车床正常工作,而甲车床与丙车床有且只有一台正常工作.解：显然，（2）和（3）互为逆事件.

例3随机抽检三件产品,设A表示“三件中至少有一件是次品”；B表示“三件中至少有两件是次品”；C表示“三件全是正品”.

问

各表示什么事件?解：练习1观察一次打靶试验中击中的环数,若击中1环记作{1},并设事件A={奇数环},事件B={小于9环},求练习2一位工人生产3个零件,设事件Ai={第i个零件是不合格品}(i=1，2，3).请用Ai(i=1,2,3)表示如下事件:（1）全是合格品;（2）全是不合格品;（3）恰好有一个零件是不合格品;（4）至少有一个零件是不合格品.课堂小结必然现象与随机现象；随机试验、随机事件的概念以及随机事件的分类；随机事件的关系；和、积、差、互斥、对立事件的概念.总结本节课所学知识，完成习题.课后任务高等数学

第十章

概率

随机事件概率

目录Contents概率的相关概念1古典概型2频率的概念、性质概率的概念、性质频率、概率的关系概念计算概率的相关概念1事件的频率定义10.1频率的性质推广：当试验的次数n不断增加时，频率稳定于某个常数p，称常数p为事件A发生的概率---这就是概率的统计定义.概率的定义定义10.2概率的性质频率、概率的区别与联系

（1）概率是事件的内部一成不变的本质属性，频

率只是随机性很大的表面现象；（2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限.例1

某人想外出旅游两天,据天气预报,第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1.试求下列事件的概率:(1)第一天下雨而第二天不下雨的概率;(2)第一天不下雨而第二天下雨的概率;(3)至少有一天下雨的概率;(4)两天都不下雨的概率;(5)至少有一天不下雨的概率.解：设Ai（i=1,2）表示第i天下雨的事件，由题意，得古典概型2定义10.3若试验具备以下两个特点:（1）有限性

每次试验的样本空间只有有限个基本事件(即有限个样本点).（2）等可能性

每次试验中各基本事件发生的可能性相同.则将具有上述两个特点的试验称为古典概型,也称为等可能性概型.

在古典概型中,

若试验的基本事件总数为n,

而事件A包含了m个基本事件,

则事件A的概率为例2

掷—枚骰子,

观察出现的点数,设事件A={点数小于3},

事件B={点数为偶数},

求P(A)，P(B).解：掷—枚骰子,

因

所以由古典概率的计算公式，得例3

两封信随机地向标号为1，2，3，4，5的五个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入一封信的概率.解：

例4

有100件商品,其中97件是合格品.从中任取⒉件进行检验,求以下事件概率:(1)2件都是次品;

(2)1件是次品,1件是正品.解：

于是,由古典概率的计算公式,得

于是,由古典概率的计算公式,得练习2.有5名女同学和3名男同学决定用抽签的方法分配4张电影票,问分到电影票的恰是2名女同学和2名男同学的概率是多少?至少有1名男同学分到电影票的概率又是多少?课堂小结频率的概念及性质；概率的概念及性质；频率、概率的区别与联系；古典概型的概念及其计算.总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第十章

概率条件概率与事件的独立性

目录Contents条件概率1概率的运算公式2加法公式乘法公式伯努利概型3条件概率1条件概率条件概率是在随机试验基础上附加限制条件的一类概率.对于A、B两个事件,

如果P(B)>0,

在事件B已经发生的条件下,

事件A发生的概率,

叫作事件A对事件B的条件概率,

记作P(A│B).根据条件概率的定义,

其计算公式如下特别地,

如果事件A、B互相不影响另一事件发生的概率,则称事件A、B互相独立,

简称A与B独立.

此时,条件概率的计算公式可简化为在实际应用中,对事件的独立性常常根据事件的实际意义来判断.例1解：

掷一枚骰子2次,问:在第一次出现点数6的条件下,“两次掷得点数之和大于8”的概率有多大?设x，y分别为第一次和第二次掷得的点数,

于是，在已知x=6的条件下,可能的结果为(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)这6个样本点.中元素具有6×6=36(个)，而使两次掷得点数之和大于8的样本点为(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)这4个.

也可以用条件概率公式求解:

记A表示“第一次掷得点数6”,B表示“两次掷得点数之和大于8”，所以概率的运算公式2加法公式对于任意两个事件A、B,有特别地,

若事件A与事件B为互不相容事件,则若B为A的对立事件,即

，则

这表明,如果P(A)计算比较困难,可以考虑求其对立事件A的概率.加法公式可以推广到有限多个事件相加的情形，如若事件A、B、C两两互不相容,

则乘法公式特别地,

若A与B为相互独立事件,

则

可以作为A与B相互独立的充要条件.注意：若事件A与事件B独立,则

中的每一对事件都相互独立.例2解：

某商店出售来自甲、乙两个工厂的产品,

其中,甲厂的产品占70%，乙厂的产品占30%，它们的合格率分别为0.9和0.85.

某顾客从该商店购买一件产品,求他买到合格品的概率.

由乘法公式,

有所以上述解题方法推广到一般情况称为全概率公式.伯努利概型3定义10.4如果将一个试验重复做n次,

并满足:（1）每次试验条件都一样,且可能的结果为有限个.（2）各次试验的结果互不影响(即相互独立).则称此n次重复试验为n次独立试验.定义10.4

则称此n次重复试验为n次伯努利试验.伯努利试验的概率模型称为伯努利概型.

例3解：

一批产品中有20%的次品,进行重复抽样检查,

共取5件样品.

(1)计算这5件样品中恰好有3件次品的概率;(2)计算这5件样品中至多有3件次品的概率.设Ai是5件样品中恰好有i件次品的事件(i=0，1，2,3),n=5,p=0.2.（1）5件样品中恰好有3件次品的事件是A3，（2）至多有3件次品的概率是练习1.10个螺钉中有3个是坏的,从中随机抽取4个,求:(1)恰好有2个是坏的的概率;

(2)4个全是好的的概率.2.某射手的命中率为0.95,他独自重复向目标射击

5次,求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.

课堂小结条件概率的概念及计算；概率的加法、乘法公式；伯努利概型的概念以及的计算.总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第十章

概率

随机变量的分布

目录Contents随机变量1离散型随机变量的分布律2概念两点、二项、泊松分布3连续型随机变量的概率密度分布函数概率密度随机变量1随机变量

例如,

掷一枚骰子,“出现的点数”是随机的,

可能结果是:

“出现1点”,“出现2点”,……,“出现6点”,可以用变量“X”来表示事件“出现的点数”:{X=1}表示事件{出现1点},

X=2表示事件{出现2点},……，{X=6}表示事件{出现6点}．随机变量的类型随机变量按其取值的情况,

我们研究其中两类:离散型随机变量：随机变量的所有可能取值只有有限个或可列无限多个；连续型随机变量：随机变量取值不能一一列出﹐而是连续地充满某个区间.

例如灯泡的寿命,这个随机变量可以取区间[0，十∞)内的一切值.离散型随机变量的分布律2

分布律也可以用图表的形式来表示，如下:

例1

某银行举行有奖储蓄活动,发行有奖储蓄券10万张,其中一等奖100张,二等奖500张,三等奖2000张,现任抽一张储蓄券,试求中奖等级X的分布律.解：

例2

解：(1)利用随机变量概率分布列规范性的性质,即可求出α.

因为0.1＋0.1＋α＋0.3＋0.2=1,所以α=0.3.(2)P{0.5≤X<4)=P(X=1}＋P{X=2}＋P{X=3}

=0.1＋0.3+0.3=0.7.几种常见的离散型随机变量的概率分布：1.两点分布

2.二项分布

很明显，又由二项式定理知

3.泊松分布

连续型随机变量的概率密度3随机变量的分布函数

分布函数具有以下性质：连续型随机变量的概率密度

概率密度具有如下性质：几种常见连续型随机变量的概率密度

其分布函数为

指数分布有着重要应用.

在元器件寿命、动植物寿命、随机服务系统中的服务时间等数据都可用指数分布来描述.(3)正态分布正态分布是概率分布中最常见的也是最重要的一种分布,在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都服从或近似服从正态分布,例如:商品的使用寿命,零件长度,螺钉直径,人的身高、体重等随机变量都服从或近似服从正态分布.如果连续型随机变量的概率密度为

正态分布概率密度的函数图像为：

其概率密度为分布函数为练习

课堂小结随机变量的概念（离散型、连续型）离散型随机变量的分布律常见的离散型随机变量的概率分布（两点分布、二项分布、泊松分布）连续型随机变量的分布函数、概率密度常见连续型随机变量的概率密度（均匀分布、指数分布、正态分布）总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第十章

概率

随机变量的数学特征

目录Contents数学期望1方差和标准差