《高等数学（第三版）》课件 第一章 函数

高等数学

第一章

函数

函数的概念

目录Contents函数的概念1函数定义域的求法2相同函数3函数的表示方法4分段函数5函数的概念1在初中我们学过哪几类函数？1、一次函数：2、二次函数：3、反比例函数：特征：有两个变量x，y;y随着x的变化而变化回顾：函数的概念

函数的三要素：定义域、对应关系、值域注：非空性：函数的定义域实数集D必须是一个非空的集合.任意性：定义域中的每一个元素都必须有对应的函数值.唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.函数的特性例1

结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.ABf1224367

ABf122436

4ABf12243

BAf1224368

一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域

练习一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，

且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：

求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义描述这个函数.

解：函数定义域的求法2（1）如果f(x)是分式，要求分母不等于零；（2）如果f(x)是二次根式，要求根号内的式子大于或等于零；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）.定义域：使表达式或实际问题有意义的自变量集合.（5）使实际问题有意义。（3）如果f(x)是对数形式，要求真数位置大于零；例2解：例3解：抽象函数求定义域例4解：已知函数

的定义域是,求

的定义域.相同函数3

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.

两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.

例5解：例6解：

函数的表示方法4函数的表示方法【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.用什么方法来表示函数呢？用列表法，不用计算，看表就知道函数值用解析法，便于研究函数性质用图像法，容易表示出函数的变化情况函数的表示方法:解析法、图像法和表格法.常用【1】解析法必须标明函数的定义域.【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”.分段函数5分段函数【题】画出函数y=|x|的图像.【解】由绝对值的概念，有y=-x，x＜0，x，x≥0.

像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.

在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.例7求：

设(1)，

，(2)的定义域(3)作的图像(4)解：常见的分段函数（1）符号函数：（2）含绝对值符号的函数：

（3）取整函数：

分段函数的实际应用练习某市出租车收费标准:行程不超过3km时,收费7元;行程超过3km,但不超过10km时,在收费7元基础上,超过3km的部分每公里收费1元;超过10km时,超过部分除每公里收费1元外,每公里再加收50%的回程空驶费.(1)求车费y(元)与路程x(公里)之间的函数;(2)作函数图像;(3)乘客乘车20km,需付费多少元?(4)某乘客下车时付费23元,乘车路程是多少公里?问：思考并讨论上述出租车收费问题，完成学习通平台的习题.课后任务课堂小结函数的定义及函数的三要素，定义域、对应关系、值域；函数定义域的求法、如何判断两个函数相同；函数的表示方法及分段函数.Thankyou高等数学

第一章

函数

函数的性质

目录Contents函数的奇偶性1函数的周期性2函数的单调性3函数的有界性4函数的奇偶性1知识引入观察下列函数的图象，完成表格，你有哪些发现？关于y轴对称-3-2-10123

关于原点对称-3-2-1123

知识引入奇偶函数定义偶函数奇函数

设函数

的定义域

关于原点对称.偶函数的图像关于y轴对称.奇函数的图形关于原点对称.例1判断下列函数的奇偶性

12345解：解：定义域关于原点对称是研究函数奇偶性的前提。

12利用定义判断函数的奇偶性奇偶函数运算性质奇函数代数和是奇函数，偶函数代数和是偶函数；奇数个奇函数相乘是奇函数，偶数个奇函数相乘是偶函数；偶函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数乘积是奇函数.1234解：练习函数的周期性2函数的周期性且若则称为周期函数,称l为周期(一般指最小正周期).例如，例2解：求下列函数的周期

【注】本题也可以直接用公式求解：函数的单调性3函数的单调性

设函数

的定义域,区间

增函数函数的单调性

设函数

的定义域,区间

减函数注：单调性是与“区间”紧密相关的概念,反映的是函数的局部性质.1任意取

，“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换.2函数单调性定义的等价形式(对于任意的)：【1】

在D上为增函数；【2】

在D上为减函数；【3】

在D上为增函数；

【4】

在D上为减函数.

即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积异号，函数为减函数.【1】判断(证明)单调性：【2】比较函数值大小：【3】已知函数值大小比较自变量：

并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.例3例4解：判断函数

在区间

内的单调性.

利用定义判断函数单调性的步骤：12345总结函数在某个区间上图像从左向右呈上升趋势,则该区间为单调递增区间;若从左向右呈下降趋势,则该区间为单调递减区间.例5函数的有界性4函数的有界性设函数且有区间使称

在I上有界.使称

在I上无界.

oyxM-My=f(x)有界M-MyxoI无界I例如，因此，有界性是针对某一区间而言的.函数是否有界与所给区间有关.例6在实数范围内，下列函数中为有界函数的是()答案：A课堂小结函数奇偶性概念、如何判断函数的奇偶性；函数周期性概念；函数单调性概念、如何利用定义和图像判断函数的单调性；函数有界性概念.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

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函数

反函数

目录Contents反函数1反函数定义反函数与直接函数的关系求直接函数的反函数反三角函数2反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数反函数1知识引入华氏温度(℉)与摄氏温度(℃),是两大国际主流的计量温度的标准.假设用

表示摄氏温度,用

表示华氏温度,则

显然0℃=32℉.那么当温度为50℉，用摄氏温度表示应该是多少呢？

所以50℉为10℃.知识引入任取

存在唯一的

与

对应,是

的函数.自变量因变量因变量自变量

称新函数为原函数

的反函数

记为

为方便改写为

反函数定义设函数

的定义域是

，值域是

，如果对于任意一个

，都有唯一的

，使得成立，这时

也是

的函数，称它为

的反函数，记作

，而称

为直接函数.

习惯上常用

表示自变量,用

表示因变量,因此,经常把反函数

写成.

反函数与直接函数的关系直接函数与反函数的定义域、值域相互交换.1

直接函数与其反函数的图像关于直线

对称.2直接函数反函数定义域值域例1求函数

的反函数.解：由

解得交换

和

，得即

的反函数为

例2解：例3解：

求的反函数求反函数的步骤：1将

看成方程,解出2

将

互换得3写出反函数的定义域.解：思考是否所有函数都存在反函数?讨论

的反函数.函数

的定义域为

，值域

因为任取

有两个

值与之对应，所以

不是

的函数，即函数

在区间

上不存在反函数.

反三角函数2知识引入正弦函数在定义域内存在反函数吗？正弦函数

在整个定义域

上不存在反函数.反正弦函数正弦函数

在区间

上的反函数，称为反正弦函数，记作反正弦函数的图像及性质12在定义域范围内为增函数;34y=arcsinxy=sinxy=x例4求下列反正弦函数的值.

3124解：例5求函数

的定义域.解：反余弦函数余弦函数

在区间

上的反函数，称为反余弦函数，记作反余弦函数的图像及性质12在定义域范围内为减函数;34反正切函数正切函数

在区间

上的反函数，称为反正切函数，记作反正切函数的图像及性质12在定义域范围内为增函数;3反余切函数余切函数

在区间

上的反函数，称为反余切函数，记作反余切函数的图像及性质12在定义域范围内为减函数;3例6求下列反三角函数的值.

3124解：例6

设

求：解：（2）由故的定义域是得课堂小结反函数的定义、如何求原函数的反函数、

直接函数与其反函数的关系；反三角函数的概念及其性质.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

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函数

复合函数与初等函数

目录Contents基本初等函数1复合函数2常数函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数3初等函数基本初等函数1基本初等函数1.常数函数2.幂函数幂函数常见幂函数的性质

奇函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数增函数增函数增函数

3.指数函数（1）过定点（0，1）(2)减函数(3)增函数4.对数函数过定点（1，0）减函数增函数①图像都在y轴右侧②都经过点（1，0）③无限靠近y轴但不相交④时，图像上升⑤时，图像下降

5.三角函数RR[-1，1][-1，1]最小正周期为2π最小正周期为2π奇函数偶函数

正切函数的图像

奇函数

正切函数的性质余切函数正割函数余割函数6.反三角函数这六种函数统称为基本初等函数.例1下列函数是基本初等函数的是().

例2下列函数哪个是基本初等函数().

答案：B、C复合函数2

知识引入

在实际问题中常见的函数并非都是基本初等函数.在工程技术和经济活动中，有些函数关系比较复杂.

例如,某商店经营一种商品，若不考虑其