2025-2026学年湖南自考本科教学设计

2025-2026学年湖南自考本科教学设计学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解的是《高等数学》教材中的“函数的极限”这一章节，包括极限的概念、性质以及求极限的方法。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的教学内容与学生在初中阶段学习的函数、极限有关。学生已经掌握了函数的基本概念和性质，为本节课的学习奠定了基础。同时，本节课将引导学生回顾和巩固初中阶段学习的极限知识，进一步深化对极限概念的理解。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过学习函数的极限概念，学生能够提升对数学抽象的理解能力，学会运用逻辑推理分析问题，培养通过数学建模解决实际问题的能力，增强直观想象在数学中的应用，以及提高精确计算和运算求解的技能。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了基本的函数概念、导数初步以及极限的基本性质。他们能够识别和描述函数图像，理解函数的单调性和连续性，以及如何利用导数来分析函数的变化趋势。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学的学习兴趣因人而异，部分学生对高等数学中的抽象概念较为感兴趣，而另一部分学生可能更倾向于具体的应用。学生的能力水平也不尽相同，一些学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够快速掌握新概念；而一些学生可能在理解和应用抽象概念时遇到困难。学习风格上，有学生偏好通过视觉和图形来理解数学概念，而有的学生则更习惯于通过文字和符号进行逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习函数的极限时可能遇到的困难包括对极限概念的理解不够深入，难以区分极限存在与极限不存在的情形，以及在实际计算中如何正确运用极限的性质。此外，学生可能对从直观到抽象的过渡感到困惑，以及如何在复杂的函数表达式中找到合适的计算方法。这些挑战需要教师通过恰当的教学策略和个体化的辅导来帮助学生克服。教学资源-软硬件资源：电子白板、计算机、投影仪、笔记本电脑

-课程平台：在线教学平台（如慕课平台、学校内部教学系统）

-信息化资源：函数极限相关的教学视频、动画演示、电子教材

-教学手段：多媒体课件、极限计算器、数学软件（如MATLAB、Mathematica）

-实物教具：函数图像模型、极限概念的教学模型或教具教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们已经学习了函数和导数的基本概念，那么大家知道导数和极限之间有什么联系吗？

2.学生回答：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，而极限是函数在某一点附近的变化趋势。

3.老师总结：很好，今天我们就来探究函数的极限与导数之间的关系，以及如何求解函数的极限。

二、新课讲授

1.老师讲解：首先，我们来回顾一下极限的概念。极限是指当自变量无限接近某个值时，函数值所趋近的值。

2.老师举例：例如，当x无限接近0时，函数f(x)=1/x的极限是无穷大。

3.老师讲解：接下来，我们学习如何求解函数的极限。首先，我们要判断极限是否存在，然后才能求解极限的值。

4.老师讲解：判断极限是否存在的方法有：

a.直接代入法：将自变量的值代入函数中，如果函数值有定义，那么极限存在。

b.派生法：利用导数的定义和性质，将函数的极限转化为导数的极限。

c.洛必达法则：当分子和分母同时趋近于0或无穷大时，可以利用洛必达法则求解极限。

5.老师讲解：求解极限的值的方法有：

a.代入法：将自变量的值代入函数中，求出函数值。

b.派生法：利用导数的定义和性质，将函数的极限转化为导数的极限，然后求解导数的极限。

c.洛必达法则：当分子和分母同时趋近于0或无穷大时，可以利用洛必达法则求解极限。

6.老师举例：求解函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)当x趋近于1时的极限。

a.直接代入法：将x=1代入函数中，得到f(1)=0。

b.派生法：求出函数的导数f'(x)=2x，将x=1代入导数中，得到f'(1)=2。

c.洛必达法则：分子和分母同时趋近于0，利用洛必达法则，求出极限为2。

7.老师总结：通过以上讲解，我们学会了如何判断函数的极限是否存在，以及如何求解函数的极限。

三、课堂练习

1.老师提问：同学们，请尝试求解以下函数的极限：

a.lim(x→0)(sinx/x)

b.lim(x→∞)(x^2/e^x)

c.lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)

2.学生独立完成练习，老师巡视指导。

3.学生展示解题过程，老师点评并纠正错误。

四、课堂小结

1.老师总结：今天我们学习了函数的极限与导数之间的关系，以及如何求解函数的极限。希望大家能够掌握以下知识点：

a.极限的概念和性质

b.判断极限是否存在的方法

c.求解极限的值的方法

2.老师强调：函数的极限是高等数学中的重要概念，希望大家能够熟练掌握，为后续学习打下坚实的基础。

五、布置作业

1.老师布置作业：请同学们完成以下习题，巩固今天所学的知识：

a.习题1：求解以下函数的极限：

i.lim(x→0)(cosx-1)/x^2

ii.lim(x→∞)(lnx)/x

b.习题2：证明以下极限存在：

i.lim(x→0)(1-cosx)/x^2

ii.lim(x→∞)(e^x-1)/x

2.老师提醒：请同学们认真完成作业，遇到问题及时向老师请教。知识点梳理1.极限的概念

-极限的定义：当自变量x无限接近某一点a时，函数f(x)的值无限接近某一点L，则称L为函数f(x)当x趋向于a时的极限。

-极限的表示方法：lim(x→a)f(x)=L。

2.极限的性质

-极限的唯一性：如果一个函数在某一点a的极限存在，那么这个极限是唯一的。

-极限的保号性：如果函数在某一点的极限存在且为正数（或负数），那么函数在该点的函数值也保持同号。

-极限的连续性：如果函数在某一点的极限存在，那么该点的函数值也必须存在。

3.极限的计算方法

-直接代入法：如果函数在自变量趋近于某一点时，函数值有定义，可以直接将自变量的值代入函数中求极限。

-派生法：利用导数的定义和性质，将函数的极限转化为导数的极限。

-洛必达法则：当分子和分母同时趋近于0或无穷大时，可以利用洛必达法则求解极限。

-有理化方法：通过乘以共轭式来消除根号、三角函数等非标准形式。

4.无穷大量与无穷小量

-无穷大量：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大。

-无穷小量：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于0。

-无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量乘以无穷小量等于无穷小量。

5.极限的运算法则

-和差法则：lim(f(x)±g(x))=lim(f(x))±lim(g(x))。

-积法则：lim(f(x)*g(x))=lim(f(x))*lim(g(x))。

-商法则：lim(f(x)/g(x))=lim(f(x))/lim(g(x))，前提是g(x)的极限不为0。

6.极限存在的条件

-极限存在的一阶条件：函数在自变量趋近于某一点时，左极限和右极限相等。

-极限存在的二阶条件：函数在自变量趋近于某一点时，左极限存在且等于右极限。

7.无穷小量的阶

-无穷小量的阶数：无穷小量与其阶数的关系，即无穷小量的阶数越高，其趋近于0的速度越快。

8.函数的连续性

-函数在某一点的连续性：如果函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值，则称函数在该点连续。

-函数在某一区间上的连续性：如果函数在某一区间上的每一点都连续，则称函数在该区间上连续。

9.极限的应用

-求函数在某一点的导数：利用极限的定义，可以求出函数在某一点的导数。

-求函数在某一点的积分：利用极限的定义，可以求出函数在某一点的积分。教学反思与总结今天这节课，我们探讨了函数的极限这一重要概念，感觉收获颇丰。在教学过程中，我尝试了多种教学方法，比如通过提问引导学生思考，利用实例帮助学生理解抽象概念，以及通过练习巩固知识点。以下是我的一些反思和总结。

首先，我觉得在教学方法上，我注重了理论与实践的结合。比如，在讲解极限的概念时，我不仅仅停留在定义层面，还通过具体的函数例子让学生直观感受到极限的存在和求解过程。这样的教学方式似乎效果不错，学生们能够更好地理解和掌握极限的概念。

其次，我在课堂管理上也做了一些尝试。为了提高学生的参与度，我鼓励他们积极提问和回答问题，并且在回答问题时给予及时的反馈。我发现，这种方法不仅让学生更加专注于课堂，而且也增强了他们的自信心。

当然，在教学过程中也暴露出了一些问题。比如，有些学生对极限的概念理解不够深入，我在讲解时可能需要更加细致和耐心。此外，部分学生在计算极限时显得有些吃力，这说明我在教学过程中对计算技巧的讲解和练习还不够充分。

针对这些问题，我计划在今后的教学中采取以下改进措施：一是加强对极限概念的理论讲解，通过更多的实例和类比来帮助学生理解；二是增加计算技巧的练习，尤其是对那些容易出错的情况进行重点讲解和练习；三是关注学生的个体差异，针对不同学生的学习进度和能力水平，提供个性化的辅导。板书设计①极限的概念

-极限的定义：lim(x→a)f(x)=L

-极限的表示方法：当x趋近于a时，f(x)趋近于L

②极限的性质

-唯一性：极限存在且唯一

-保号性：极限为正（或负）时，函数值保持同号

-连续性：极限存在时，函数在该点连续

③极限的计算方法

-直接代入法：直接将自变量值代入函数求极限

-派生法：利用导数求解极限

-洛必达法则：分子分母同时趋近于0或无穷大时使用

-有理化方法：乘以共轭式消除根号、三角函数等

④无穷大量与无穷小量

-无穷大量：函数值趋近于无穷大

-无穷小量：函数值趋近于0

-无穷小量的阶：无穷小量与其阶数的关系

⑤极限的运算法则

-和差法则：lim(f(x)±g(x))=lim(f(x))±lim(g(x))

-积法则：lim(f(x)*g(x))=lim(f(x))*lim(g(x))

-商法则：lim(f(x)/g(x))=lim(f(x))/lim(g(x))（g(x)≠0）

⑥极限存在的条件

-一阶条件：左极限等于右极限

-二阶条件：左极限存在且等于右极限

⑦函数的连续性

-函数在某一点的连续性：极限存在且等于函数值

-函数在某一区间上的连续性：每一点都连续

⑧极限的应用

-求导数：利用极限定义求导

-求积分：利用极限定义求积分典型例题讲解1.例题：求函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)当x趋近于1时的极限。

解答：首先，我们尝试直接代入法，发现当x=1时，函数无定义。接下来，我们尝试有理化方法，将分子分母同时乘以(x+1)得到：

\[\lim_{x\to1}\frac{(x^2-1)}{(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\]

2.例题：求函数f(x)=(sinx)/x当x趋近于0时的极限。

解答：这个极限是一个著名的“0/0”型未定式，我们可以使用洛必达法则：

\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=\cos(0)=1\]

3.例题：求函数f(x)=e^x-1当x趋近于0时的极限。

解答：这是一个“∞-∞”型未定式，我们可以将函数改写为：

\[\lim_{x\to0}(e^x-1)=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-0}{1}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^0}{1}=e^0-e^0=0\]

4.例题：求函数f(x)=x^2/ln(x)当x趋近于0时的极限。

解答：这是一个“∞/∞”型未定式，我们可以使用洛必达法则：

\[\lim_{x\to0}\frac{x^