2026年江苏扬州市高二第二学期期末调研数学试卷（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的值是（

）A．11 B．17 C．126 D．1322．下列函数中存在极值点的是（

）A． B． C． D．3．若水池的排水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（

）A．4秒时水池的排水量 B．4秒内水池的排水总量C．4秒时水池排水量的瞬时变化率 D．4秒内水池排水量的平均变化率4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．5．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为（

）A．11 B．14 C．30 D．486．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的有（

）A．若随机变量，，则B．若随机变量的数学期望，则C．研究两个变量的相关性时，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强D．进行独立性检验时，统计量的值越大，判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小10．某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（

）A．从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案B．从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案C．8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案D．8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案11．如图，已知正方体的棱长为4，点，，分别是棱，，的中点，点在四边形及其内部运动，则下列选项中正确的有（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．若平面，则直线与所成的角可能为D．三棱锥的外接球半径的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）．13．已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____．14．从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则：（1）_____；（2）_____．（结果用最简分数表示）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知．(1)求展开式中含项的系数；(2)求证：能被整除．16．为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析．(1)将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表：施肥不施肥合计发育正常7030发育不正常40合计200请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由．(2)对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降．从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量（g）与产量（g），数据如下表：农作物编号12345678910过量施肥量（g）00.5111.52222.52.5产量（g）100858585807575707075经计算，，，，，求关于的线性回归方程．附：，0．0500．0100．0013．8416．63510．828对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面侧面，是正三角形，是的中点．

(1)求证：平面；(2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，（i）求的值；（ii）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．18．袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个．(1)若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差；(2)若每次取出的小球不放回，（i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值；（ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望．19．已知函数，．(1)若，求在点处的切线方程；(2)若在上存在唯一零点，（i）求的取值范围；（ii）求证：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】2．D【分析】求出导数，利用极值的定义依次判断可解．【详解】对于A，的定义域为，因为，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，不存在极值点，故A不符合题意；对于B，的定义域为，因为，所以在上单调递增，不存在极值点，故B不符合题意；对于C，的定义域为，因为，所以在上单调递增，不存在极值点，故C不符合题意；对于D，因为是周期函数，不妨取其中一个周期，而，当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在处取到极大值，在处取得极小值，所以存在极值点，故D符合题意.3．C【分析】根据导数的实际意义即可得解.【详解】由导数的实际意义可知，的实际意义是4秒时水池排水量的瞬时变化率.4．A【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果.【详解】点关于平面对称的点的坐标为.5．B【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理计算求解.【详解】第一类：甲先到乙地再到丁地，此时共有种不同的走法；第二类：甲先到丙地再到丁地，此时共有种不同的走法；所以甲地到丁地不同的走法总数为.6．C【详解】易得，，设平面的法向量为，则，令，则，则点到平面的距离为.7．B【分析】设事件后，求出相关事件的概率，再由全概率公式计算即得.【详解】设从甲小组中抽出1名男生为事件，从甲小组中抽出1名女生为事件，从乙小组中抽出的学生是女生为事件.则，故.8．A【分析】根据已知分离参数，求出导函数，进而根据正负得出函数单调性，最后结合根的唯一性得出参数范围.【详解】由题可得，令,分离参数可得,若存在唯一整数，使得,即存在唯一整数使得，设,则,当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值也是最大值为，且时，，时，，又因为,如下图由图可知只有满足条件。9．ACD【详解】选项A：正态分布的对称轴为，由于和关于对称，根据正态曲线的对称性可得，A正确；选项B：根据期望的性质得，B错误；选项C：根据线性相关系数的性质：相关系数的绝对值越接近，两个变量的线性相关性越强，越接近相关性越弱，C正确；选项D：独立性检验中，统计量越大，说明原假设“两个分类变量无关”成立的概率越小，因此判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小，D正确.10．BCD【分析】对于A：相当于求从8个人中取2个人的排列数；对于B：先从人中选人参加语文知识竞赛，再选两人参加余下两科竞赛；结合分步乘法计数原理求解，对于C：先排甲乙，再排其余学生；对于D：先排男生，再排女生甲，最后排其余女生即可.【详解】对于选项A：从个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；对于选项B：从个人中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人的选法共有种，故B正确；对于选项C：满足条件的安排方法可分两步完成，第一步先排甲乙，因为甲乙间隔2人，故甲乙的位置可能为，且甲乙可交换，故甲和乙的排列方法有种；第二步，将剩余6人排入余下的位置，满足条件的排法有种；由分步乘法计数原理可得8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人的总方案数为，C正确，对于选项D：满足条件的安排方法可分三步完成，第一步，先排名男生，有种排法，个男生产生个空（含两端），第二步，将女生甲排入两端空位中的一个，共种排法；第三步，将剩余两名女生从剩下个空位选个排列，共有种排法；由分步乘法计数原理可得总方案数为，D正确.11．AD【分析】对于A，建系后利用向量数量积的坐标运算即可判断；对于B，通过对称作图，利用三点共线时线段和最短求出待求式的最小值即可判断；对于C，利用条件运算推得点的轨迹，结合图形找到异面直线所成角，借助于三角函数的值域求出角的范围判断；对于D，依题意设外接球球心为，利用球的半径相等推得，利用该式的几何意义求出的范围即得半径的范围判断即可.【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.则.依题意，设点.对于A，因，则由，可得，当取时，，即存在点，使得，故A正确；对于B，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点，则，且，于是，即的最小值为，故B错误；对于C，因，则，，设平面的法向量为，则，故可取，因平面，则，即，分别取的中点，连接，则点的轨迹即线段.因，则直线与所成的角等于，又因平面，在中，，易得，则，因，而，因在第一象限单调递增，则有，故C错误；对于D，如图，取的中点为点，则点为的外心，设三棱锥的外接球球心为点，半径为，则平面，因，则，故可设，，又因，则由可得，化简得，而，设，，则可理解为如图正方形内（包括边界）的点到点的距离.由图知，，即，由可得，故得，即三棱锥的外接球半径的最小值为，故D正确.12．【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得.【详解】由，则，即，则.13．【分析】根据函数单调性与导函数的关系，求出导函数，条件可转化为导函数大于等于在区间上恒成立，根据恒成立的解法，求出参数范围.【详解】由题意得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，当时，，变形得，令，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，在处取得最小值，，当在上恒成立，可得，所以实数a的最大值为.14．【分析】应用组合数及古典概型计算求解.【详解】四位正整数有个，；满足可以重复不降序的排法为，．15．(1)(2)．因为上式的每一项都能被整除，所以能够被整除．【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令的指数等于，解出，再代入即可；（2）将代入后化为，用二项式定理展开，可证得被整除．【详解】（1）由二项式定理可知，在的展开式中，第项为，令，解得，因此二项展开式中含的项系数为．（2）略．16．(1)施肥不施肥合计发育正常7030100发育不正常4060100合计11090200能有的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关．(2)．【分析】（1）补全列表，再计算与临界值比较判断即可；（2）先根据公式计算，再应用样本中心点计算，最后得出回归直线.【详解】（1）补全列联表如下：施肥不施肥合计发育正常7030100发育不正常4060100合计11090200所以所以有99．9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关．（2）已知，，，所以，，则，所以关于的线性回归方程是．17．(1)为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，又在正中，为的中点，故，又，平面，，平面．(2)（i）；（ii）【分析】（1）借助面面垂直的性质定理可得平面，再利用线面垂直性质定理及线面垂直判定定理即可得证；（2）（i）建立适当空间直角坐标系，再表示出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得；（ii）利用的值可求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解.【详解】（1）略（2）（i）取的中点，的中点，连接，，由平面平面，平面平面，，平面，可得平面，又由为正方形，，分别为，的中点，可得，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，由，得，，又平面的一个法向量为，由，解得或（舍去），即有；（ii）由，则，，设面的法向量为，则，可取，，，则，由（1）知，平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．

18．(1)，，，，．(2)（i）；（ii）【分析】（1）由题意可得，根据二项分布的概率计算公式及方差公式计算求解即可；（2）（i）根据题意结合超几何分布可得，利用作商法计算可得最大值；（