双曲线及其标准方程

双曲线及其标准方程第1页，共24页。课标要求素养达成1.了解双曲线的定义及其焦距的概念;2.了解双曲线的几何图形、标准方程.通过对双曲线及其标准方程的学习,渗透数形结合与类比的思想,提高学生分析问题和解决问题的综合能力.第2页，共24页。新知探求课堂探究第3页，共24页。新知探求素养养成知识点一问题1:在平面直角坐标系中,若A(-5,0),B(5,0),当||PA|-|PB||=6,||PA|-|PB||=10,||PA|-|PB||=12时,点P的轨迹分别是什么图形?答案:当||PA|-|PB||=6时,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线;当||PA|-|PB||=10时,点P的轨迹是两条射线;当||PA|-|PB||=12时,点P的轨迹不存在.梳理平面内与两个定点F1,F2的距离

等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的

,两焦点间的距离叫

.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.双曲线的定义差的绝对值焦点焦距第4页，共24页。知识点二双曲线的标准方程问题2:怎样利用双曲线的标准方程确定焦点的位置?答案:如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.问题3:双曲线标准方程中a,b,c之间的关系如何?答案:双曲线标准方程中a,b,c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2.名师点津:(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.(2)求双曲线方程时一是注意标准形式判断;二是注意a,b,c的关系易错易混.第5页，共24页。题型一利用双曲线的定义求轨迹方程课堂探究素养提升【例1】如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.第6页，共24页。方法技巧

利用定义法求双曲线的标准方程的步骤(1)找出两个定点(即双曲线的两个焦点).(2)根据条件确定动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)等于常数.(3)确定c和a的值,再由c2=a2+b2求出b2.(4)写出双曲线(或双曲线一支)的标准方程.第7页，共24页。即时训练1:动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.第8页，共24页。【备用例1】

(2017·绵阳高二期末)已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是2和4,且|O1O2|=8,若动圆M与圆O1内切,又与O2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是()(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线一支 (D)抛物线解析:设动圆圆心为M,半径为R,由题意|MO1|=R-2,|MO2|=R+4,所以|MO2|-|MO1|=6(常数)且6<8=|O1O2|,故M点的轨迹为以O1,O2为焦点的双曲线的一支.故选C.第9页，共24页。题型二求双曲线的标准方程第10页，共24页。第11页，共24页。方法技巧

(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似,也是“先定型,后定量”,利用待定系数法求解.(2)当焦点位置不确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论.(3)当已知双曲线经过两点,求双曲线的标准方程时,把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解.第12页，共24页。第13页，共24页。第14页，共24页。第15页，共24页。第16页，共24页。题型三双曲线定义的应用第17页，共24页。方法技巧双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据.在应用时,一是注意条件||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|)的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体思想的应用.第18页，共24页。即时训练3:若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交右支于A,B两点,若|AB|=5,则△AF1B的周长为

.

解析:由双曲线定义可知|AF1|=2a+|AF2|=4+|AF2|,|BF1|=2a+|BF2|=4+|BF2|,所以|AF1|+|BF1|=8+|AF2|+|BF2|=8+|AB|=13.△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=18.答案:18第19页，共24页。答案:48第20页，共24页。题型四易错辨析——双曲线定义理解不清致误第21页，共24页。错解:A(或B)纠错:双曲线定义理解不清,没有考虑到点P可能在左右两支上,仅仅考虑其中一种情况导致丢解.正解:双曲线的左右焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23.故选D.第22页，共24页。学霸经验分享区求双曲线标准方程的方法(1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x轴上或是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个