解题大招05 解决不等式问题的四大秘密武器：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

4/4知识点01权方和不等式1．二维形式的权方和不等式对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．2．一般形式的权方和不等式若，，，则，当时等号成立．知识点02琴生不等式1.凹(凸)函数的定义设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f

x1+x22≤f(x1)+反之，若有f

x1+x22≥f(x1)+f2.琴生不等式(1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有fx1+x2+…+xnn≤1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2(2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，=1，有.说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式.知识点03糖水不等式1.糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;糖水不等式的倒数形式:设,则有:2.对数型糖水不等式(1)设,且,则有(2)设,则有(3)上式的倒数形式：设,则有知识点04万能K法对给定关于x,y的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于k,然后用y表示x或x表示y,代入原式，得到一个关于x的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出k的范围即可,此方法称之为万能k题型01权方和不等式的应用(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.(3)关于带根号的式子，将分子变为32次，分母为12【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．39 B．52 C．49 D．36【答案】B【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可.【详解】因为，因为，所以，，根据权方和不等式有：，当且仅当时，即时等号成立.所以函数的最小值为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数详解式变形，从而利用权方和不等式求最值.【跟踪训练】1．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【分析】结合所给权方和不等式计算即可得.【详解】由，则，，故，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.2．（2026·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】D【分析】根据权方和不等式，直接计算即可.【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为49．故选：D3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B题型02琴生不等式的应用琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值.【典例2-1】半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是.

【答案】【详解】设圆O的内接三角形为．显然当是锐角或直角三角形时，面积可以取得最大值（因为若是钝角三角形，可将钝角（不妨设为）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为．因此，）．设，则．由讨论知可设，而在上是凸函数.则由琴生不等式知所以，当且仅当是正三角形时，等号成立【跟踪训练】1．设x1，x2，…，x2027>0，且x1+x2+…+x2027=1，则的最小值为__________.【答案】【详解】构造函数，易证函数在上为凹函数．由琴生不等式，得即．所以，当且仅当时，的最小值为．2．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．(1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)试判断在上的凹凸性，并说明理由；(3)设，，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)在上为凹函数，理由见详解；(3)【分析】（1）利用单调性化简不等式为，再用恒成立并结合最值求解.（2）判断函数的凹凸性，再利用凹函数的定义推理证明.（3）结合（2）判断为凹函数，再利用琴生不等式求的最值.【详解】（1）函数在上单调递增，不等式，依题意，对任意，恒成立，即对任意，恒成立，而当时，，则；当，即时，，则，所以实数的取值范围是.（2）函数在上为凹函数.证明如下：，，则，所以在上为凹函数.（3）令，由（2）知在上为凹函数，因此在上为凹函数，由，得，由琴生不等式得，即，因此，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.题型03糖水不等式定理的应用熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误.【典例3-1】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】法一：，故B正确；因为，所以有，故A错误；，故C正确；，故D正确．法二：由糖水不等式的倒数形式，,则有,故B正确；以下同解法一.【典例3-2】设a=log52,b=log64,c=log13540,则a,b【答案】D【详解】由题意可知,a=b=利用糖水不等式mn<m又c=又因为5<同理根据糖水不等式,lg2lg3【跟踪训练】1.(多选题)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式ba<b+ma+m.若b+ma+m=x,b【答案】ABC【详解】由a>b>0,m>若m>n,则x−若m≤n,则x−由题设,结合不等式性质显然有b+2.(多选题)生活经验告诉我们：a克糖水中含有b克糖(a>0,b>0，且a>b)，若再添加m克糖(m>0)后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：ba<b+ma+m，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是()

A.若【答案】BCD【详解】A.由糖水不等式得：a>b>B.log3C.a1D.abab3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式”（1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；（2）利用（1）的结论比较的大小.【答案】(i)，证明见详解；(ii）【详解】因为，，所以，，，所以，，故的范围为，的范围为；（2）（i），证明：，因为，，所以，，所以，即；（ii），所以由（i）中的结论可得，即题型04对数糖水不等式的应用在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.【典例4】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解法一（对数型糖水不等式）因为,所以.在上述推论中取,可得,且.所以,即,选A.解法二（普通型糖水不等式）由已知条件,可得.同公式(2)的证明过程,可以得到,即.所以,即.,即,所以,即.综上,,选A.【跟踪训练】1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.【详解】由对数性质知，，，所以，，；由糖水不等式知：，所以,所以.2．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解法一：，所以则，，所以，所以.由对数型糖水不等式得：，，所以则，所以.3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，令，，，因为，所以，令，，在上恒成立，在2,+∞上单调递增，故，所以在2,+∞上恒成立，故在上单调递减，所以，即，故选：D.秒解：由对数糖水不等式得，即题型05万能K法的应用设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程.利用方程有实根，由判别式Δ≥0建立不等式求解k范围.适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值.技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零.局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算.【典例5-1】若存在正实数y,使得xyy−x=15xA.B.C.1D.2【答案】A【详解】∵xyy−∴y1⋅∴5解得：0<Δ=(5解得−由①②可得：x综上：x的最大值是15.故答案为1【典例5-2】1.已知实数x,y满足x2+y2【答案】3【详解】方法1:令x-y=k,则因为存在实数y,则Δ≥0,即(2k化简得：k2-2k故x-y的最大值是方法2:x2+y令x=3cosθ+2,则x-所以θ+π4∈[π4,9【跟踪训练】1.若实数x,y满足x2+A.1B.C.D.2【答案】B【详解】方法1(万能k法):令x+y=k,则整理可得：k2-2ky+y2+故−2方法2:∵x2+∵xy≤x+y故可知x+y的最大值是232．实数x,y满足4x2-5xy【答案】85【详解】方法1:令t=x+x2+y2,则t又∵x>0,y>0,∴0<x<1.

关于x的方程在(0,1)∴x+x2+y2的最小值为85.∴4x2-5xy+4y2=5.5xy=4x2+4y2-5.方法2:令x2+yΔ=25k2y2解得：1013≤k≤103．已知实数a,b,c满足a+b+【答案】63【详解】方法1:令a=k时,∵c为实数,∴Δ≥0,即8-12k方法2:b+c=-所以1-a2≥(-a)22,解得：1．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解法一：所以.解法二：由糖水不等式可得，即a<b<c。2．已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】D【详解】，因函数在上单调递增，则，.，因，则.故，（另：也可用对数糖水不等式直接得到）综上有.3．已知a=log32,b=log44,c【答案】B【详解】据糖水不等式mn<m所以log32<4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．39 B．52 C．49 D．36【答案】B【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可.【详解】因为，因为，所以，，根据权方和不等式有：，当且仅当时，即时等号成立.所以函数的最小值为.故选：B5．在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是()A.32 B.3 C.32 D【答案】D【详解】因为在区间上是凸函数，根据琴生不等式可得，得，当且仅当时等号成立，即的最大值是．则，即，另一方面，由均为锐角，则，从而．又有综上，．6.(多选)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式ba<b+ma+m.若b+ma+m=x,b【答案】ABC【详解】由a>b>0,m>若m>n,则x−若m≤n,则x−由题设,结合不等式性质显然有b+7．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为．【答案】/【分析】利用不等式构造定值求解即可.【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，，∴，则．当且仅当时取等号．解法二：（均值不等式），，，所以．当且仅当时取等号．解法三：（权方和不等式）．当且仅当时取等号．8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为．【答案】49【分析】根据题中给的不等式可求得结果.【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49，9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为．【答案】8【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，又，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故答案为：8.10．若正实数m,n满足m+2n=【答案】1+2【详解】方法1:∵正实数m,n满足