解题大招05 解决不等式问题的四大秘密武器：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

4/4知识点01权方和不等式1．二维形式的权方和不等式对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．2．一般形式的权方和不等式若，，，则，当时等号成立．知识点02琴生不等式1.凹(凸)函数的定义设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f

x1+x22≤f(x1)+反之，若有f

x1+x22≥f(x1)+f2.琴生不等式(1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有fx1+x2+…+xnn≤1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2(2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，=1，有.说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式.知识点03糖水不等式1.糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;糖水不等式的倒数形式:设,则有:2.对数型糖水不等式(1)设,且,则有(2)设,则有(3)上式的倒数形式：设,则有知识点04万能K法对给定关于x,y的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于k,然后用y表示x或x表示y,代入原式，得到一个关于x的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出k的范围即可,此方法称之为万能k题型01权方和不等式的应用(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.(3)关于带根号的式子，将分子变为32次，分母为12【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．39 B．52 C．49 D．36【跟踪训练】1．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．492．（2026·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．493．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49题型02琴生不等式的应用琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值.【典例2-1】半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是.

【跟踪训练】1．设x1，x2，…，x2027>0，且x1+x2+…+x2027=1，则的最小值为__________.2．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．(1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)试判断在上的凹凸性，并说明理由；(3)设，，且，求的最小值．题型03糖水不等式定理的应用熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误.【典例3-1】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【典例3-2】设a=log52,b=log64,c=log13540,则a,b【跟踪训练】1.(多选)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式ba<b+ma+m.若b+ma+m=x,b2.(多选)生活经验告诉我们：a克糖水中含有b克糖(a>0,b>0，且a>b)，若再添加m克糖(m>0)后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：ba<b+ma+m，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是()

A.若3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式”（1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；（2）利用（1）的结论比较的大小.题型04对数糖水不等式的应用在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.【典例4】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（

）A． B．C． D．2．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．题型05万能K法的应用设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程.利用方程有实根，由判别式Δ≥0建立不等式求解k范围.适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值.技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零.局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算.【典例5-1】若存在正实数y,使得xyy−x=15xA.B.C.1D.2【典例5-2】1.已知实数x,y满足x2+y2【跟踪训练】1.若实数x,y满足x2+A.1B.C.D.22．实数x,y满足4x2-5xy3．已知实数a,b,c满足a+b+1．已知，，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c3．已知a=log32,b=log44,c4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．39 B．52 C．49 D．365．在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是()A.32 B.3 C.32 D6.(多选)在a克的糖水中含有b克的糖(a>b>0)，再添加少许的糖m克(m>0)，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式ba<b+ma+m.若b+ma+m=x,b7．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为．8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为．9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为．10．若正实数m,n满足m+2n=11．已知正实数x,y满足4x-y12．已知实数x,y满足x+2x13．设分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则的取值范围为14．（24-25高一上·河北·期中）若，